幾何畫板在平面向量數(shù)量積求最值中的應(yīng)用

1、    幾何畫板在平面向量數(shù)量積求最值中的應(yīng)用    王曉明【內(nèi)容摘要】隨著教育課程的不斷變革，各科的任課教師要根據(jù)現(xiàn)有的課程標(biāo)準(zhǔn)采取高效的課堂授課模式。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何畫板因其自身的優(yōu)勢(shì)，已經(jīng)成為眾多數(shù)學(xué)教師首選的教學(xué)工具。運(yùn)用幾何畫板輔助教學(xué)，不僅能增加課堂教學(xué)容量、優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，而且能增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的探究精神。高中的平面向量知識(shí)對(duì)學(xué)生是有一定難度的，尤其是對(duì)于平面向量數(shù)量積求最值問(wèn)題，學(xué)生處理起來(lái)相當(dāng)棘手。因而，借助于幾何畫板這個(gè)教學(xué)工具來(lái)進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，使得數(shù)學(xué)問(wèn)題更加形象、直觀，學(xué)生易于理解、掌握，同時(shí)增強(qiáng)學(xué)習(xí)積極性，進(jìn)而

2、提高課堂教學(xué)效率。所以，本文就幾何畫板的優(yōu)勢(shì)特點(diǎn)探討其在平面向量數(shù)量積求最值中的應(yīng)用，旨在為高中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)提供一定的借鑒意義?！娟P(guān)鍵詞】幾何畫板 平面向量數(shù)量積求最值 應(yīng)用一、幾何畫板的優(yōu)勢(shì)特征幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中是一種非常有用的教學(xué)工具，它可以被應(yīng)用到平面幾何教學(xué)，立體幾何教學(xué)甚至是高中代數(shù)教學(xué)。幾何畫板操作簡(jiǎn)單，功能強(qiáng)大，而且在任意拖動(dòng)幾何圖形的過(guò)程中保持幾何關(guān)系都不變，以一種動(dòng)態(tài)的方式來(lái)呈現(xiàn)需要學(xué)習(xí)的幾何圖形。因此，在如今以學(xué)生為主體的課堂教學(xué)中，借助于幾何畫板平臺(tái)，學(xué)生在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)過(guò)程中深化對(duì)知識(shí)的理解和掌握。幾何畫板在平面向量數(shù)量積求最值中的應(yīng)用有以下兩大優(yōu)勢(shì)：首先，數(shù)

3、學(xué)教師運(yùn)用幾何畫板有助于學(xué)生能更加直觀地了解抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，從而可以加快課堂的學(xué)習(xí)進(jìn)度，提升課堂的教學(xué)效率。其次，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用幾何畫板，可以提升學(xué)生的自主探究能力，進(jìn)而提升學(xué)習(xí)興趣和積極性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。二、幾何畫板在平面向量數(shù)量積求最值中的應(yīng)用1.引入幾何畫板，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣初中數(shù)學(xué)對(duì)于平面向量這一塊要求不高，學(xué)生只需初步了解一些概念，但是高中的平面向量教學(xué)頗有難度。況且高一學(xué)生從初中升入高中，有時(shí)無(wú)法適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有一定的恐懼心理。因而，在進(jìn)行平面向量數(shù)量積求最值的教學(xué)中引入幾何畫板，借助于幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示來(lái)突破解題難點(diǎn)，使得學(xué)生易于接受，更能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

4、和積極性，從而取得較好的教學(xué)效果。2.任務(wù)驅(qū)動(dòng)，培養(yǎng)探究能力在進(jìn)行平面向量數(shù)量積求最值的教學(xué)過(guò)程中，教師可以先讓學(xué)生了解平面向量數(shù)量積的相關(guān)理念，然后讓學(xué)生動(dòng)手操作幾何畫板來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證。在驗(yàn)證過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題，可以小組之間進(jìn)行相互討論，倘若學(xué)生在多次嘗試之后仍然無(wú)法解決，教師利用幾何畫板進(jìn)行演示，之后再讓學(xué)生自己進(jìn)行探究。在反復(fù)的嘗試中思考、分析，從而提升學(xué)生的探究能力。3.實(shí)踐應(yīng)用，關(guān)注教學(xué)成果將幾何畫板的教學(xué)工具引入到學(xué)生的群體中，讓學(xué)生自己動(dòng)手操作來(lái)解決下面習(xí)題。已知：abc的外接圓是半徑為1的0，且boc=120°，求：（1）ba·bc的最大值;（2）ab·

5、ac的最小值。分析：第一小題，作ah垂直于bc于點(diǎn)h，如圖1，ba·bc=ba·bc·cos（ba，bc）根據(jù)平面向量數(shù)量積幾何意義，ba·bc即為bc與ba在bc上的投影的乘積，由題可得bc=3，故求ba·bc的最大值就轉(zhuǎn)化為求投影的最大值。為此，借助于幾何畫板地操作，當(dāng)點(diǎn)a在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察ba在bc上的投影變化情況，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)a在點(diǎn)a1處時(shí)，即a1h1與圓相切，而a1h1垂直bc時(shí)，bhmax=bh1=1+32，所以ba·bc最大值為 3（1+32）。第二小題，取bc中點(diǎn)為點(diǎn)m，如圖2，根據(jù)極化恒等式，ab·ac

6、=am2-14bc2所以ab·ac即為第三邊bc中線長(zhǎng)與第三邊bc一半的平方差，由題可得bc=3，om=12，故求ab·ac的最小值就轉(zhuǎn)化為求中線長(zhǎng)的最小值，為此，借助于幾何畫板地操作，當(dāng)點(diǎn)a在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察中線am的變化情況，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)a在點(diǎn)a2處，即a2、0、m三點(diǎn)共線時(shí)，ammin=a2m=12，所以ab·ac最小值為-12。通過(guò)對(duì)這道習(xí)題的研究，我們發(fā)現(xiàn)讓學(xué)生參與甚至動(dòng)手操作幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，從中觀察、分析，這樣易于探究出動(dòng)點(diǎn)a在何處位置時(shí)取得最值。這樣的課堂教學(xué)學(xué)生真正做到了合作探究，發(fā)現(xiàn)新知。三、小結(jié)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難度已經(jīng)比初中要高很多，高中數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)會(huì)結(jié)合其他的知識(shí)點(diǎn)共同考核，如果學(xué)生不能夠完全地理解知識(shí)點(diǎn)的含義，很容易在綜合題的解題過(guò)程中出現(xiàn)看不懂題的情況。因而，在解決平面向量數(shù)量積求最值問(wèn)題時(shí)，借助于幾何畫板操作，使得學(xué)生能夠更加直觀地了解問(wèn)題本質(zhì)，從而快速有效地解決問(wèn)題，大大提升教學(xué)效率。所以，幾何畫板使得數(shù)學(xué)課堂教學(xué)變得更靈活，更有效，更直觀。其實(shí)幾何畫板更為學(xué)生提供了一個(gè)可以進(jìn)行幾何“實(shí)驗(yàn)”的環(huán)境，有助于發(fā)揮學(xué)生的主體性，積極性和創(chuàng)造性，充分體現(xiàn)了現(xiàn)代教學(xué)的思想?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】1劉勝利.幾何畫板與計(jì)算機(jī)輔助教學(xué).北京：科學(xué)出版社，2001.2