全概率公式和貝葉斯公式

1、 單位代碼： 005 分 類 號： o1 西安創(chuàng)新學(xué)院本科畢業(yè)論文設(shè)計 題 目： 全概率公式和貝葉斯公式 專業(yè)名稱： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué)生姓名： 行一舟 學(xué)生學(xué)號： 0703044138 指導(dǎo)教師： 程值軍 畢業(yè)時間： 二0一一年六月 全概率公式和貝葉斯公式 摘要:對全概率公式和貝葉斯公式,探討了尋找完備事件組的兩個常用方法,和一些實際的應(yīng)用.全概率公式是概率論中的一個重要的公式,它提供了計算復(fù)雜事件概率的一條有效的途徑,使一個復(fù)雜事件的概率計算問題化繁就簡.而貝葉斯公式則是在乘法公式和全概率公式的基礎(chǔ)上得到的一個著名的公式.關(guān)鍵詞:全概率公式;貝葉斯公式;完備事件組 The Full Pro

2、bability Formula and Bayes FormulaAbstract：To the full probability formula and bayes formula for complete, discusses the two commonly used methods of events, and some practical applications. Full probability formula is one of the important full probability formula of calculation, it provides an effe

3、ctive complex events of the way the full probability of a complex events, full probability calculation problem change numerous will Jane. And the bayes formula is in full probability formula multiplication formula and the basis of a famous formula obtained. Key words：Full probability formula; Bayes

4、formula; Complete event group; II目 錄引言11.全概率公式和貝葉斯公式11.1 全概率公式11.2 貝葉斯公式21.3 全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用22全概率公式和貝葉斯公式的推廣8結(jié) 束 語10參 考 文 獻(xiàn)11致 謝 詞12III延安大學(xué)西安創(chuàng)新學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）引言應(yīng)用全概率公式和貝葉斯公式是生活中和學(xué)習(xí)中經(jīng)常運(yùn)用到的兩個公式，而在計算某個事件概率的關(guān)鍵是尋找與該事件相關(guān)的完備事件組,但在日常教學(xué)中發(fā)現(xiàn)許多同學(xué)在利用這兩個公式計算某個事件的概率時,往往找不準(zhǔn)相關(guān)的事件組,因而所求答案出現(xiàn)失誤.本文針對這個問題展開討論,通過對全概率公式和貝葉斯公式相

5、關(guān)問題的分析,探討了尋找完備事件組的兩個常用方法，并發(fā)現(xiàn)貝葉斯公式和全概率公式在生活和應(yīng)用中的推廣.1.全概率公式和貝葉斯公式定義1.1 設(shè)為樣本空間 , 設(shè),，為的一個劃分組,若它滿足(1), ,=1,2,;(2)=.則稱,為一個完備事件組.1.1 全概率公式全概率公式是指若,為一完備事件組,()(=),則對于任意事件,有 .全概率公式的直觀意義是:某事件的發(fā)生有各種可能的原因(=),并且這些原因兩兩不能同時發(fā)生,如果是由原因所引起的,若發(fā)生時,必同時發(fā)生,因而與(=)有關(guān),且等于其總和.全概率的全就是總和的含義,當(dāng)然這個總和要能求出來,需已知概率,或已知各原因發(fā)生的概率及在發(fā)生的條件下的條

6、件概率 (=).通俗地說,事件發(fā)生的可能性,就是其原因發(fā)生的可能性與在發(fā)生的條件下事件發(fā)生的可能性的乘積之和.1.2 貝葉斯公式貝葉斯公式是指若,為一完備事件組,且0(=1,2,),則對任何概率非零的事件,有.在理論研究和實際中還會遇到一類問題,這就是需要根據(jù)試驗發(fā)生的結(jié)果找原因,看看導(dǎo)致這一試驗結(jié)果的各種可能的原因中哪個起主要作用,解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式.貝葉斯公式的意義是導(dǎo)致事件發(fā)生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗概率.1.3 全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用從公式結(jié)構(gòu)上看,全概率公式與貝葉斯公式關(guān)系密切,如何正確使用這兩個公式是本文的一個重要的內(nèi)容.無論全概率公式還是貝葉斯公

7、式都需要正確的找出完備事件組.如果所求概率的事件與前后兩個實驗有關(guān),且這兩個實驗彼此關(guān)聯(lián),第一個試驗的各種結(jié)果直接對第二個試驗產(chǎn)生影響,而問第二個試驗出現(xiàn)某結(jié)果的概率,這類問題是屬于使用全概率公式的問題,將第一個試驗的樣本空間分解成若干個互不相容的事件的和,這些事件就是所求的一個完備事件組.至于在什么情況下使用貝葉斯公式,這就要看問題的提法.如果已知某事件已發(fā)生,要求該事件與完備事件組中某一事件一同發(fā)生的概率,應(yīng)采用貝葉斯公式求之.如果事件能且只能在原因,下發(fā)生,且,是兩兩互不相容,那么這些原因就是一個完備事件組.如果這些原因發(fā)生的概率以及在原因發(fā)生下事件的條件概率(=1,2,)都是已知的,或

8、都可求出,則: (1) 可使用全概率公式計算事件的概率. (2) 如果已知事件發(fā)生,要計算導(dǎo)致結(jié)果發(fā)生的原因的可能性大小,即事件的條件概率的大小,可采用貝葉斯公式求之.顯然如果把(=)看成是導(dǎo)致事件發(fā)生的原因,那么全概率公式與貝葉斯公式可分別說成由因求果與執(zhí)果求因的概率計算公式. 例1.1 設(shè)甲箱中有3個白球和2個黑球,乙箱中有1個白球和2個黑球,自甲箱中任意取2球放入乙箱,然后再從乙箱中任意取出2球,試求:(1) 從乙箱中取出的兩球是白球的概率;(2) 在乙箱中取出的兩球是白球的條件下,從甲箱中取出的兩球是白球的概率.解 (1) 從乙箱中取球(第二個試驗)之前,要從甲箱中任意取兩球放入乙箱(

9、第一個試驗),而從甲箱中取球的結(jié)果影響到從乙箱中取球的結(jié)果,本題可用全概率公式來求解.將第一個試驗的樣本空間分解,即可求得完備事件組.因為從甲箱中任意取兩球放入乙箱僅有3種可能:取得兩白球,或者取得一黑球和一白球,或者取出兩黑球,分別用,表示,則,即為所求的一個完備事件組,又設(shè)為乙箱中取出的兩球是白球,則有 .由全概率公式得到. (2)本題是在發(fā)生的條件下求導(dǎo)致這一試驗結(jié)果發(fā)生的原因?qū)儆谑录母怕视卸啻?須用貝葉斯公式,.例1.2 在數(shù)字通訊中,信號是由數(shù)字0和1的長序列組成的,由于隨機(jī)干擾,發(fā)送的信號0或1各有可能錯誤接受為1或0,現(xiàn)假設(shè)發(fā)送信號為0和1的概率均為1/2;又已知發(fā)送0時,接受

10、為0和1的概率分別為0.7和0.3;發(fā)送信號為1時,接受為1和0的概率分別為0.9和0.1.求已知收到信號0時,發(fā)出的信號是0(即沒有錯誤接受)的概率.解 設(shè)=發(fā)送信號為0, =發(fā)送信號為1,=收到信號為0,=收到信號為1,因為收到信號為0時,除來自發(fā)送信號確系為0外,還由于干擾原因,發(fā)送信號為1時,接受的信號也可能為0,因此導(dǎo)致事件發(fā)生的原因只有事件與,且它們互不相容,故與構(gòu)成一完備事件組,由題設(shè),有=,=0.7,= 0.1,故=+=0.7+0.1=0.4.若接受信號0 時,發(fā)送信號是0的概率由貝葉斯公式得 例1.3 甲、乙、丙三人同時對飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.

11、7,飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機(jī)必定被擊落,求飛機(jī)被擊落的概率. 解 由于飛機(jī)被擊落,必然是飛機(jī)被一人、二人或三人擊中,如令表示事件飛機(jī)被擊落,表示事件飛機(jī)被人擊中(= 0,1,2,3), 分別表示甲、乙、丙擊中了飛機(jī).因,兩兩互不相容,故,構(gòu)成一個完備事件組,又由題設(shè)知,相互獨立,且=0.4,=0.5,=0.7, 故=+ =+ =0.40.50.3+0.60.50.7+0.60.50.3=0.36.同理可求=+=0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7 = 0.41;=0.40.50.7=0.14.又0(=0,1

12、,2,3),且由題設(shè)有=0,=0.2, =0.6,=1.于是由全概率公式即得= 0.360.2+0.410.6+0.41=0.728 例1.4 兩臺車床加工同樣的零件,第一臺出現(xiàn)不合格品的概率是0.03,第二臺出現(xiàn)不合格品的概率是0.06，加工出來的零件放在一起,并且已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍.(1)求任取一個零件是合格品的概率；(2)如果取出的零件是不合格品,求它是由第二臺車床加工的概率.解 記事件為“取到第一臺車床加工的零件”,則,又記事件為“取到合格品”.顯然,為一個完備事件組,則知=.且用貝葉斯公式可得到例1.5 學(xué)生在做一道有4個選項的選擇題時,如果他不知道問題的正

13、確答案時,就做隨機(jī)猜測.現(xiàn)從卷面上看題是答對了,試在以下情況求學(xué)生確實知道正確答案的概率.(1)學(xué)生知道正確答案和胡亂猜想的概率都是；(2)學(xué)生知道答案的概率是0.2.解 記事件為“題目答對了”,事件為“知道正確答案”,則按題意有=1，=0.25.(1)此時有=0.5,所以由貝葉斯公式得=0.8(2)此時有=0.2,=0.8,所以由貝葉斯公式得 =0.5例1.6 有兩箱零件,第一箱裝50件,其中10件是一等品;第二箱裝30件,其中18件事一等品,現(xiàn)從兩箱中任挑選出一箱,然后從該箱中先后任意取出兩個零件試求：(1)第一次取出的是一等品的概率.(2)在第一次取出的是一等品的概率的情況下,第二次取出

14、的仍是一等品的概率.解 記事件為“第次取出的是一等品”,=1,2.又記事件為“取到第箱的零件”,=1,2.則,為一個完備事件組.(1)用全概率公式可得(2)又因為所以例1.7 甲、乙輪流擲一顆骰子,甲先擲.每當(dāng)某人擲出1點時,則交給對方擲,否則此人繼續(xù)擲.試求第次由甲擲的概率.解 設(shè)事件為“第次由甲擲骰子”,記,=1,2.則有,那么,為一個完備事件組.所以由全概率公式可知道則可得 ，.由此可得遞推公式，.所以得，則將，代入上式可得由此得 ， =2,3,例1.8 假設(shè)只考慮天氣的兩種情況：有雨和無雨.若已知今天的天氣情況,明天天氣保持不變的概率為,變的概率為.設(shè)第一天無雨,試求第天也無雨的概率.

15、解 設(shè)事件為“第天無雨”,記,=1,2，. 則有,且, .那么,為一個完備事件組所以又全概率公式可得, .得遞推公式 ,所以可知 ,則將,代入上式可得由此可得 ,=2,3,.2全概率公式和貝葉斯公式的推廣設(shè)為樣本空間 , 設(shè),為的一個劃分組,它滿足(1) , ,=1,2,;(2) =若0 ,=1,2, 則對任一事件, 由全概率公式得： 現(xiàn)將式推廣為二重全概率公式. 對于上述的劃分:,= 1,2,如果對都存在一個劃分組,=1,2, ,=1,2,且0,在發(fā)生的條件下同樣有: = 利用,式,這樣我們給出下列定理:定理1 設(shè),=1,2,為樣本空間的一個劃分,且0,=1,2,對每個存在一個劃分,=1,2

16、,且0,則對任意的事件,有= 稱式為二重全概率公式.類似可以得到下列推廣的貝葉斯公式. 定理2 設(shè),=1,2,為樣本空間的一個劃分,且0,=1,2,對每個存在一個劃分,=1,2,且0,則有:(1) = (2) 例2.1 設(shè)有三個大盒子,每個大盒子中有三個小盒子,每個大盒子中的第一個小盒子中分別裝有1 個紅球,3個白球;第二小盒中分別裝有2個紅球,2個白球;第三個小盒中裝有3個紅球,1個白球.假設(shè)取第一個大盒子的概率為,取第二、第三大盒子中的概率都為在取定某個大盒時,取其中第一小盒概率是,取第二、三小盒子概率均為.今任取一個大盒,再從中任取一小盒,從此小盒中任取一球.問:(1) 此球為紅球的概率

17、.(2) 若已知取的球為紅球,問此球是第一個大盒的概率.(3) 若已知取的球為紅球,問此球是第一個大盒中第二小盒的概率.解 設(shè),分別表示從第一、二、三大盒中取球的事件,表示取紅球的事件，表示從第個大盒中取第個小盒,=1,2,3,= 1,2,3.則由題意知, 且, , , =1,2,3，(1) 由可知 =(2) 由可知=(3) 由可知=結(jié) 束 語本文介紹了全概率公式和貝葉斯公式的概念和意義,使我可以在遇到很多概率問題時熟練的應(yīng)用和使用全概率公式和貝葉斯公式.并且本文還介紹了怎樣尋找完備事件組的兩種方法方法,這樣在尋找到完備事件組之后就能夠個方便和快捷的使用全改了公式和貝葉斯公式.然后在全概率公式

18、和貝葉斯公式在使用基礎(chǔ)上面對兩公式進(jìn)行了推廣.這體現(xiàn)了全概率公式和貝葉斯公式在應(yīng)用和實踐中的重要的作用,并且顯示了兩個公式在生活中的重要作用.參 考 文 獻(xiàn)1 繆銓生.概率與數(shù)理統(tǒng)計M.上海: 華東師范大學(xué)出版社,1997.58612 章昕.概率統(tǒng)計輔導(dǎo)M.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2002.17183 寧榮建.概率論中有關(guān)計算公式的改進(jìn)J.大學(xué)數(shù)學(xué),2004.20(5). 4 復(fù)旦大學(xué)教研室.概率論(第一冊概率論基礎(chǔ))M.北京:高等教育出版社,1979.17205 許紹溥,姜東平,宋國柱,任福賢.數(shù)學(xué)分析教程(上冊)M.南京:南京大學(xué)出版社,1990.22266 盛驟,謝式千,潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第二版)M.北京:高等教育出版社,1989.12(3).50667 茆詩松,程依明.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程M.北京:高等教育出版社,2004.3117致 謝 詞本文是在程值軍老師的悉心指導(dǎo)下完成的.從畢業(yè)設(shè)計題目的選擇、到選到課題的研究和論證,再到本畢業(yè)設(shè)計的編寫、修改,每一步都有程老師的細(xì)心指導(dǎo)和認(rèn)真的解析.在程老師的指導(dǎo)下,我在各方面都有所提高,老師以嚴(yán)謹(jǐn)求實，一絲不茍的治學(xué)態(tài)度和勤勉的工作態(tài)度深