材料力學(xué)-梁的撓度

1、整理課件整理課件整理課件71 概述概述72 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程73 積分法計(jì)算梁的位移積分法計(jì)算梁的位移74 疊加法計(jì)算梁的疊加法計(jì)算梁的位移位移75 梁的剛度校核梁的剛度校核目目 錄錄整理課件7 7 概概 述述研究范圍研究范圍：等直梁在對(duì)稱彎曲時(shí)位移的計(jì)算。研究目的研究目的：對(duì)梁作剛度校核； 解超靜定梁（為變形幾何條件提供補(bǔ)充方程）。整理課件整理課件1.1.撓度撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用v表示。 與 f 同向?yàn)檎?，反之為?fù)。2.2.轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。用 表示，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。二、撓曲線：變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線

2、稱為撓曲線。二、撓曲線：變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓曲線。 其方程為：其方程為：v =f (x)三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：一、度量梁變形的兩個(gè)基本位移量一、度量梁變形的兩個(gè)基本位移量 (1) ddtgfxf小變形小變形PxvC C1f整理課件 7-2 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程zzEIxM)(1一、撓曲線近似微分方程一、撓曲線近似微分方程zzEIxMxf)()( 式（2）就是撓曲線近似微分方程。EIxMxf)()( （2）)( )1 ()(1232xffxf 小變形小變形fxM00)( xffxM00)( xf(1)整理課件)()(xMxfEI

3、 對(duì)于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫(xiě)成如下形式：)()(xMxfEI 1d)()(CxxMxfEI21d)d)()(CxCxxxMxEIf 1.1.微分方程的積分微分方程的積分2.2.位移邊界條件位移邊界條件PABCPD 7-3 積分法計(jì)算梁的位移積分法計(jì)算梁的位移整理課件討論： 適用于小變形情況下、線彈性材料、細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件的平面彎曲。 可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。 積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條 件）確定。 優(yōu)點(diǎn)：使用范圍廣，直接求出較精確；缺點(diǎn)：計(jì)算較繁。 支點(diǎn)位移條件：支點(diǎn)位移條件： 連續(xù)條件連續(xù)條件： 光滑條件：光滑條件：0Af0Bf0Df0

4、DCCffCC右左或?qū)懗蒀C右左或?qū)懗蒀Cff整理課件 例例1 1 求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。建立坐標(biāo)系并寫(xiě)出彎矩方程)()(LxPxM寫(xiě)出微分方程并積分應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù))()(xLPxMfEI 12)(21CxLPfEI213)(61CxCxLPEIf061)0(23CPLEIf021)0()0(12CPLfEIEI322161 ; 21PLCPLC解：解：PLxfx整理課件寫(xiě)出彈性曲線方程并畫(huà)出曲線3233)(6)(LxLxLEIPxfEIPLLff3)(3maxEIPLL2)(2max最大撓度及最大轉(zhuǎn)角xfPL整理課件解：解：建立坐標(biāo)系并寫(xiě)出彎矩方程)(

5、 0)0( )()(LxaaxaxPxM寫(xiě)出微分方程并積分112)(21DCxaPfEI21213)(61DxDCxCxaPEIf )( 0)0( )(LxaaxxaPfEIxfPLa 例例2 2 求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。整理課件應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)061)0(23CPaEIf021)0(12CPaEI32221161 ; 21PaDCPaDC)()(afaf)()(aa11DC 2121DaDCaCPLaxf整理課件寫(xiě)出彈性曲線方程并畫(huà)出曲線)(a 36)0( 3)(6)(32323Lx axaEIPax axaxaEIPxfaLEIPaLff36)(2max

6、EIPaa2)(2max最大撓度及最大轉(zhuǎn)角PLaxf整理課件 例例3 3 試用積分法求圖示梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并求C截面撓度和A截面轉(zhuǎn)角。設(shè)梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。 解解：1 1外力分析外力分析：求支座約束反力。研究梁ABC，受力分析如圖，列平衡方程：FRFRlFlRmFRRFBABABAy5 . 15 . 005 . 10整理課件 2內(nèi)力分析內(nèi)力分析：分區(qū)段列出梁的彎矩方程：)23(212211xlFMFxM)23()0(21llxlx，3變形分析變形分析：AB段：由于 積分后得：EIFxEIxMy2)(1111 111311111211112111111124)(42)(DxCxEI

7、FDxCdxxEIFxyCxEIFCdxxEIFyx整理課件BC段：由于 ，積分后得：)23()(2222xlEIFEIxMy 2223222222222222222222222)6143()2123()()223()23()(DxCxlxEIFDxCdxxlxEIFxyCxlxEIFCdxxlEIFyx邊界條件：邊界條件：當(dāng)連續(xù)光滑條件：連續(xù)光滑條件：代入以上積分公式中，解得： 0002211ylxyx時(shí)，；時(shí)，212121，時(shí)，當(dāng)yylxxEIFlDDEIFlCEIFlC4065123212221，整理課件故撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程分別為： 由此可知： EIFlxlxEIFxEIFlxEIFx

8、3)2123()(124)(22222222111EIFlxEIFlxlxEIFxEIFlxEIFy465)6143(121232232221231)(8)23()(12)0(322211向下；逆時(shí)針?lè)较駿IFllxyyEIFlxCA整理課件7-4 7-4 疊加法計(jì)算梁的疊加法計(jì)算梁的位移位移一、載荷疊加一、載荷疊加 多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。121122()( )()()nnnPPPPPP、 、121122()()()()nnnf PPPf PfPfP、 、二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）整理課件 例例4 4

9、 按疊加原理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)撓度。解、 載荷分解如圖 由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表， 查簡(jiǎn)單載荷引起的變形。EIPafPC63EIPaPA424524qCqafE IEIqaqA33qqPP=+AAABBB Caa整理課件EIPafPC63EIPaPA424524qCqafE IEIqaqA33qqPP=+AAABBB Caa 疊加qAPAA)43(122qaPEIaEIPaEIqafC624534整理課件 例例5 試用疊加法求圖示梁C截面撓度和轉(zhuǎn)角。設(shè)梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。 （已知AB=BC=l/2） (a)(b) + 解解：將原圖分解成圖(a)和圖(b)所示情況。 查表，對(duì)于圖(a)有：)(82

10、)2()(243)2(221331順時(shí)針，向下EIlFEIlFEIlFEIlFyBB整理課件于是有：對(duì)于圖(b)有：故梁C截面撓度為：轉(zhuǎn)角為： (順時(shí)針) 說(shuō)明：對(duì)于圖(a)：BC段無(wú)內(nèi)力，因而B(niǎo)C段不變形，BC段為直線 。EIFlEIFllEIlFEIlFlyyBCBBC8,485)2(824)2(211323111)()(222023202順時(shí)針，向下EIlFEIlMEIlFEIlMyCC)(4829248533321向下EIFlEIFlEIFlyyyCCCEIFlEIFlEIFlCCC89822221整理課件 例例6 按疊加原理求C點(diǎn)撓度。解解：載荷無(wú)限分解如圖由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表， 查

11、簡(jiǎn)單載荷引起的變形。疊加22(d)(34)48dP CP bLbfE IbLbqxxqPd2d)(d02220(34)d24q bLbbE ILdPCqCff22240.5000(34)d24240Lq bLbq LbE ILE Iq00.5L0.5LxdxbxfC整理課件 例例7 結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法) 原理說(shuō)明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等價(jià)等價(jià)xfxf21ffffPL1L2ABC剛化剛化AC段段PL1L2ABC剛化剛化BC段段PL1L2ABCMxf整理課件7-5 7-5 梁的剛度校核梁的剛度校核)100012501( :對(duì)土建工程( maxLfLfLf一、梁的剛度條件一、

12、梁的剛度條件 其中稱為許用轉(zhuǎn)角；f/L稱為許用撓跨比。通常依此條件進(jìn)行如下三種剛度計(jì)算：、校核剛度：校核剛度：、設(shè)計(jì)截面尺寸設(shè)計(jì)截面尺寸：、設(shè)計(jì)載荷：設(shè)計(jì)載荷：(對(duì)于土建工程，強(qiáng)度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構(gòu)件例外） maxLfLfmax max整理課件 例例8 圖示木梁的右端由鋼拉桿支承。已知梁的橫截面為邊長(zhǎng)a=200mm的正方形，均布載荷集度 ，彈性模量E1=10GPa，鋼拉桿的橫截面面積A=250mm2，彈性模量E2=210GPa，試求拉桿的伸長(zhǎng)量及梁跨中點(diǎn)D處沿鉛垂方向的位移。kN/m40q 解解：靜力分析靜力分析，求出支座A點(diǎn)的約束反力及拉桿BC所受的力。列平衡方程：k

13、N40,40012202BABABAyFKNRqFmqFRF整理課件本題既可用積分法，也可用疊加法求圖示梁D截面的撓度。積分法：積分法：拉桿BC的伸長(zhǎng)為梁AB的彎矩方程為撓曲線的近似微分方程積分得： mm29. 2m1029. 210250102103104036932AElFEANllBxxxRxqxMA40202)(22)4020(40103124020)(224121xxaExxIExMy DCxxxyCxxy)3201220(10403)20320(10403342232，整理課件邊界條件：當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)，代入上式得故當(dāng) 時(shí)， 。疊加法：疊加法： 說(shuō)明：AB梁不變形，BC桿變形后引

14、起AB梁中點(diǎn)的位移，與BC不變形，AB梁變形后引起AB梁中點(diǎn)的位移疊加。 0 x0ym2xm1029. 23ly010145.113DC，xxxy334210145.11)3201220(10403m1xmm395. 7m10395. 73ymm395. 7384253212114221IEqAEFflyyyB整理課件PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB 例例9 下圖為一空心圓截面梁，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，梁的E=210GPa，工程規(guī)定C點(diǎn)的f/L=0.00001，B點(diǎn)的=0.001弧度，試校核此梁的剛度。=+=P1=1kNABDCP2BC

15、DAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAM整理課件P2BCa=+圖圖1 1圖圖2 2圖圖3 3EIaLPafBC162111EILPB16211EILaPEIMLB3323EILaPafBC32233解： 結(jié)構(gòu)變換，查表求簡(jiǎn)單載荷變形。02BEIaPfC3322PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf整理課件P2BCa=+圖圖1 1圖圖2 2圖圖3 3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfEILaPEIaPEIaLPfC3316223221EILaPEILPB316221 疊加求復(fù)雜載荷下的變形48124444m10188 10)4080(6414. 3 )(64dDI整理課件m1019. 533166223221EILaPEIaPEIaLPfC)(10423. 0)320016400(18802104 . 03164221弧度EILaPEILPB 001.010423