數(shù)學(xué)是研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)

1、數(shù)學(xué)是研究客觀世界的數(shù)雖關(guān)系和空間形式的科學(xué),數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)重要方面，在 研究過(guò)程屮，數(shù)形結(jié)合既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法。華羅庚先生曾指 出：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合冇般好，隔裂分家萬(wàn)事休?！睌?shù)形結(jié)合包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，高屮階段用的較多的是以形助數(shù), 高考中時(shí)有出現(xiàn)，在選擇、填空題的解答小更能體現(xiàn)其優(yōu)越性，近年在解答題屮也加重了對(duì)數(shù) 形結(jié)合的考查。本文僅就以形助數(shù)解決代數(shù)問(wèn)題做粗略的探討。在代數(shù)問(wèn)題的解決屮，許多數(shù)量關(guān)系的抽象概念和解析式，若賦予具兒何意義，往往變得 非常肓觀形象從而使問(wèn)題簡(jiǎn)單化,達(dá)到事半功倍優(yōu)化解題途徑的目的，

2、這種“數(shù)”與“形” 的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅可以使一些題冃的解決簡(jiǎn)捷明快，同時(shí)還可以人大開(kāi)拓我們的解 題思路。1.以形助數(shù)解決代數(shù)問(wèn)題的途徑：sn a 21. 1通過(guò)坐標(biāo)系。如直角處標(biāo)系屮，由81可聯(lián)想到兩點(diǎn)連線的斜率。由v?+2x4-2 = js+堺 "hp-o*可想到兩點(diǎn)間距離。復(fù)平面中b fl為復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離。1. 2轉(zhuǎn)化。把正數(shù)a看成距離， （或ab）看成而積，藝或bc）看成體積，昭"力 看成勾股定理，/ 4滬+必與余弦定理相聯(lián)系。1.3構(gòu)造。構(gòu)造一個(gè)兒何圖形，或構(gòu)造函數(shù).2、以形助數(shù)解決的兒類(lèi)問(wèn)題2. 1以形助數(shù)求最值例1：求函數(shù) 3-288的最大值和

3、最小值分析:如圖1,本題是求三角函數(shù)的最值，現(xiàn)聯(lián)想在直角坐標(biāo)平而xoy：，引入點(diǎn)p(3, 2),十 f = 1q(2cos=sinc則q點(diǎn)的軌跡是橢圓：4，而y是直線pq的斜率，由圖知直線pq和橢圓相切時(shí)斜率取得最大和最小值，丁是三角函數(shù)問(wèn)題在平面解析幾何小得到解決。解：設(shè)直線的方程為丿一2=*(由相切的充要條件得0-對(duì)=如十1解得2.2以形助數(shù)求方程解的個(gè)數(shù)。例2：當(dāng)° <a<3時(shí),關(guān)于工的方程4彳”有兒個(gè)實(shí)根?拋物線的上半支，故只要求出射線與它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可。易知交點(diǎn)有三個(gè)。0-故當(dāng)孑時(shí)，關(guān)于蘭的方程冇三個(gè)實(shí)根。的實(shí)根個(gè)數(shù)等價(jià)于方程組分析：如圖2,令尸卓咽八*則方程

4、嚴(yán)b 0)嚴(yán)2-耳(2)的解的個(gè)數(shù)。方程可化為八斗茶_2)嚴(yán)0),它表示兩條此類(lèi)題n若用代數(shù)法求解非常繁雜，而用解析法卻如此簡(jiǎn)單，具關(guān)鍵還是iiii線與直線方 程的構(gòu)造及曲線與肓線關(guān)系的應(yīng)用較為肓觀、簡(jiǎn)便。2.3以形助數(shù)解、證不等式。例3設(shè)ovavhocvl,求證：+1 +滬+(la)a 乏 2/2分析：如圖3,在直角坐標(biāo)系中，構(gòu)造單位正方形，四頂點(diǎn)分別為8(1.dxxqo,由于° e cl-° <b <1,因此可在正方形內(nèi)任収點(diǎn),于是這一看似與幾何圖形不相關(guān)的問(wèn)題的就轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)m到正方形四頂點(diǎn)的距離之和不小于"的問(wèn)題。icaf+o-a)1而 |oj

5、| = |acl = 乂 |qm|4-|fl2:|ofl| am+pmad 叩ji力 +4-1+aa4(1-d)力 4- +(1a)a n 22其中當(dāng)m収對(duì)角線交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立。2.4以形助數(shù)求參數(shù)的范用。例4.如果函數(shù)=衛(wèi)+2(«-0*+2在區(qū)間(*町上是減函數(shù),那么實(shí)數(shù)a的取 值范圍是()(a)a>-3(b)a-3 (c)aw5(d)a>3分析及解如圖4可畫(huà)出f (x)的草圖，對(duì)稱(chēng)軸為t = (ad,開(kāi)口向上，若使函數(shù) 在(yo,4上是減函數(shù),則區(qū)間 w在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè),即十4二w-3.選b.此題若不結(jié)合圖形，只是按單調(diào)性的概念理解，則需利用單調(diào)性的定義去證,求解過(guò)程繁 瑣,特別對(duì)于一道選擇題，就得不償失了。2.5以形助數(shù)求代數(shù)式的值。例6：求金2 20。+0“80%方金20°080。的值分析及解如圖5,本題結(jié)構(gòu)與余弦定理形式相似,聯(lián)想構(gòu)造三角形川余弦定理來(lái)解。<?圖6805站吧且"44曠和505«0。則以20巾殲為內(nèi)角構(gòu)造一個(gè)三角形.設(shè)肌叩叩