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文檔簡介
1、 淺析可逆矩陣的相關(guān)結(jié)論及應(yīng)用 孫傳光 侯林林摘 要:可逆矩陣是線性代數(shù)中的重要內(nèi)容,是歷來研究生入學(xué)考試中重點(diǎn)考察的內(nèi)容之一。本文對于與可逆矩陣的相關(guān)結(jié)論,包含與行列式、矩陣的秩、向量組、線性方程組、特征值的關(guān)系進(jìn)行分析與總結(jié),并通過例題來探討它們的應(yīng)用。關(guān)鍵詞:可逆矩陣;行列式;矩陣的秩;線性方程組;特征值一、可逆矩陣的定義設(shè)a為n階方陣,若存在n階方陣b,滿足ab=ba=e,則稱矩陣a是可逆的,b為a的逆矩陣,記為a-1=b,這里e表示單位矩陣。(關(guān)于可逆矩陣,給出如下說明:可逆矩陣又可稱為非退化矩陣,非奇異矩陣,滿秩矩陣;可逆的定義是
2、相對的,即若b為a的逆,則a也為b的逆;可逆矩陣的記法為a-1,而不能寫成1a。本文中所提矩陣a如果沒有特別說明,都是指n階方陣a。)二、與可逆矩陣相關(guān)的結(jié)論這一部分分別給出矩陣可逆與行列式、矩陣的秩、向量組、線性方程組、特征值的關(guān)系。1.與行列式的關(guān)系方陣a可逆的充分必要條件是|a|。(當(dāng)a可逆時(shí),可利用此結(jié)論得到a的逆:a-1=a*|a|,其中a*是a的伴隨矩陣。由此可進(jìn)一步得到aa*=|a|e)2.與矩陣的秩的關(guān)系(1)方陣a可逆的充分必要條件是方陣a的秩r(a)=n,其中r(a)表示矩陣a的秩。(2)設(shè)a是m×n矩陣,p是m×m可逆矩陣,q是n×n可逆矩陣
3、,則有r(a)=r(pa)=r(aq)=r(paq)3.與向量組的關(guān)系a可逆的充分必要條件是a的列向量組線性無關(guān),a的行向量組線性無關(guān)。(此結(jié)論的逆否命題為:a不可逆的充分必要條件是a的列向量組線性相關(guān),a的行向量組線性相關(guān)。)4.與方程組解的關(guān)系線性方程組ax=b對任意的b都有解的充分必要條件是方陣a可逆。充分性證明:因?yàn)閍可逆,從而對任意的b,方程組ax=b的解為x=a-1b。必要性證明:由題意,方程組ax=b對任意的b都有解,取1=(1,0,0)t,2=(0,1,0)t,n=(0,0,1)t,則對方程組ax=1,i=1,2,n,有解x1,滿足ax1=1,i=1,2,n,從而有a(x1,x
4、2,xn)=(1,2,n)=e。令x=(x1,x2,xn),即ax=e。兩邊同時(shí)取行列式,得到|a|x|=1,從而|a|0,說明a可逆。(對于齊次線性方程組ax=0,上述定理的逆否命題可以敘述為:齊次線性方程組ax=0有非零解的充分必要條件是方陣a不可逆。)5.與矩陣方程的關(guān)系(1)對于矩陣方程ab=c,若a可逆,則有b=a-1c。(2)若a可逆,且ab=0,則b=0。6.與特征值的關(guān)系(1)a可逆的充分必要條件是a的特征值均為非零的。(2)設(shè)a的特征值分別為1,2,n,則當(dāng)a可逆時(shí),a-1的特征值分別為1-1,2-1,n-1。三、可逆矩陣的應(yīng)用針對以上結(jié)論,這一部分,我們通過一些習(xí)題來看可逆
5、矩陣的應(yīng)用。1.設(shè)a是n階可逆矩陣,a*是a的伴隨矩陣,則( )。(a)|a*|=|a|n-1 (b)|a*|=|a|(c)|a*|=|a|n(d)|a*|=|a-1|解析:此題考查矩陣a可逆與行列式不等于零的關(guān)系。對aa*=|a|e兩端同時(shí)取行列式可得|a|a*|=|a|n,再由a可逆可得|a|0,從而|a*|=|a|n-1,選(a)。2.設(shè)a是n階可逆矩陣,是a的一個(gè)特征值,則a的伴隨矩陣的特征值之一是( )。(a)-1|a|n(b)-1|a|(c)|a|(d)|a|n解析:此題考查矩陣可逆與特征值的關(guān)系,以及特征值的性質(zhì)。首先,由a可逆可得a的特征值均為非零的。進(jìn)一步,根據(jù)特征值與特征向量的關(guān)系有ax=xa*(ax)=a*(x)|a|x=(a*x)a*x=|a|x,從而選(b)。參考文獻(xiàn):1同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)m.北京:高等教育出版社,2009.2甘志雄,等.
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