淺析可逆矩陣的相關(guān)結(jié)論及應(yīng)用

1、    淺析可逆矩陣的相關(guān)結(jié)論及應(yīng)用    孫傳光 侯林林摘 要：可逆矩陣是線性代數(shù)中的重要內(nèi)容，是歷來研究生入學(xué)考試中重點(diǎn)考察的內(nèi)容之一。本文對(duì)于與可逆矩陣的相關(guān)結(jié)論，包含與行列式、矩陣的秩、向量組、線性方程組、特征值的關(guān)系進(jìn)行分析與總結(jié)，并通過例題來探討它們的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：可逆矩陣；行列式；矩陣的秩；線性方程組；特征值一、可逆矩陣的定義設(shè)a為n階方陣，若存在n階方陣b，滿足ab=ba=e，則稱矩陣a是可逆的，b為a的逆矩陣，記為a-1=b，這里e表示單位矩陣。（關(guān)于可逆矩陣，給出如下說明：可逆矩陣又可稱為非退化矩陣，非奇異矩陣，滿秩矩陣；可逆的定義是

2、相對(duì)的，即若b為a的逆，則a也為b的逆；可逆矩陣的記法為a-1，而不能寫成1a。本文中所提矩陣a如果沒有特別說明，都是指n階方陣a。）二、與可逆矩陣相關(guān)的結(jié)論這一部分分別給出矩陣可逆與行列式、矩陣的秩、向量組、線性方程組、特征值的關(guān)系。1.與行列式的關(guān)系方陣a可逆的充分必要條件是|a|。（當(dāng)a可逆時(shí)，可利用此結(jié)論得到a的逆：a-1=a*|a|，其中a*是a的伴隨矩陣。由此可進(jìn)一步得到aa*=|a|e）2.與矩陣的秩的關(guān)系（1）方陣a可逆的充分必要條件是方陣a的秩r（a）=n，其中r（a）表示矩陣a的秩。（2）設(shè)a是m×n矩陣，p是m×m可逆矩陣，q是n×n可逆矩陣

3、，則有r（a）=r（pa）=r（aq）=r（paq）3.與向量組的關(guān)系a可逆的充分必要條件是a的列向量組線性無關(guān)，a的行向量組線性無關(guān)。（此結(jié)論的逆否命題為：a不可逆的充分必要條件是a的列向量組線性相關(guān)，a的行向量組線性相關(guān)。）4.與方程組解的關(guān)系線性方程組ax=b對(duì)任意的b都有解的充分必要條件是方陣a可逆。充分性證明：因?yàn)閍可逆，從而對(duì)任意的b，方程組ax=b的解為x=a-1b。必要性證明：由題意，方程組ax=b對(duì)任意的b都有解，取1=（1，0，0）t，2=（0，1，0）t，n=（0，0，1）t，則對(duì)方程組ax=1，i=1，2，n，有解x1，滿足ax1=1，i=1，2，n，從而有a（x1，x

4、2，xn）=（1，2，n）=e。令x=（x1，x2，xn），即ax=e。兩邊同時(shí)取行列式，得到|a|x|=1，從而|a|0，說明a可逆。（對(duì)于齊次線性方程組ax=0，上述定理的逆否命題可以敘述為：齊次線性方程組ax=0有非零解的充分必要條件是方陣a不可逆。）5.與矩陣方程的關(guān)系（1）對(duì)于矩陣方程ab=c，若a可逆，則有b=a-1c。（2）若a可逆，且ab=0，則b=0。6.與特征值的關(guān)系（1）a可逆的充分必要條件是a的特征值均為非零的。（2）設(shè)a的特征值分別為1，2，n，則當(dāng)a可逆時(shí)，a-1的特征值分別為1-1，2-1，n-1。三、可逆矩陣的應(yīng)用針對(duì)以上結(jié)論，這一部分，我們通過一些習(xí)題來看可逆

5、矩陣的應(yīng)用。1.設(shè)a是n階可逆矩陣，a*是a的伴隨矩陣，則（ ）。（a）|a*|=|a|n-1 （b）|a*|=|a|（c）|a*|=|a|n（d）|a*|=|a-1|解析：此題考查矩陣a可逆與行列式不等于零的關(guān)系。對(duì)aa*=|a|e兩端同時(shí)取行列式可得|a|a*|=|a|n，再由a可逆可得|a|0，從而|a*|=|a|n-1，選（a）。2.設(shè)a是n階可逆矩陣，是a的一個(gè)特征值，則a的伴隨矩陣的特征值之一是（ ）。（a）-1|a|n（b）-1|a|（c）|a|（d）|a|n解析：此題考查矩陣可逆與特征值的關(guān)系，以及特征值的性質(zhì)。首先，由a可逆可得a的特征值均為非零的。進(jìn)一步，根據(jù)特征值與特征向量的關(guān)系有ax=xa*（ax）=a*（x）|a|x=（a*x）a*x=|a|x，從而選（b）。參考文獻(xiàn)：1同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)m.北京：高等教育出版社，2009.2甘志雄，等.