2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）考點(diǎn)04 不等式及性質(zhì)（解析版）

1、考點(diǎn)04 不等式及性質(zhì)【命題解讀】不等式的性質(zhì)是新高考常考查的知識點(diǎn)，主要常見于單選題或者多選題中出現(xiàn)?？疾椴坏仁降谋容^大小，常用的方法一是運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷，二是運(yùn)用特殊化進(jìn)行排除。【基礎(chǔ)知識回顧】 1、兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)(1)ab0ab.(2)ab0ab.(3)ab0ab.2、不等式的性質(zhì)(1)對稱性：a>bb<a；(2)傳遞性：a>b，b>cac；(3)可加性：a>bacbc；a>b，c>dac>bd；(4)可乘性：a>b，c>0ac>bc; a>b>0，c>d>0ac>bd； c&

2、lt;0時(shí)應(yīng)變號(5)可乘方性：a>b>0anbn(nn，n1)；(6)可開方性：a>b>0 (nn，n2)3、常見的結(jié)論(1)a>b，ab>0<.(2)a<0<b<.(3)a>b>0,0<c<d>.(4)0<a<x<b或a<x<b<0<<.4、兩個(gè)重要不等式若a>b>0，m>0，則(1)<；>(bm>0)(2)>；<(bm>0)1、下列四個(gè)命題中，為真命題的是()a若a>b，則ac2>bc2

3、b若a>b，c>d，則ac>bdc若a>|b|，則a2>b2d若a>b，則<【答案】c【解析】當(dāng)c0時(shí)，a不成立；2>1，3>1，而23<1(1)，故b不成立；a2，b1時(shí)，d不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，故選c2、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）（多選題）設(shè)，則下列不等式中恒成立的是（ ）abcd【答案】cd【解析】當(dāng)，滿足條件但不成立，故a錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，故b錯(cuò)誤，則，故c正確，故d正確.故選：cd3、（2020江蘇鹽城中學(xué)月考）（多選題）下列命題為真命題的是（ ）.a若，則b若，則c若，

4、且，則d若，且，則【答案】bcd【解析】選項(xiàng)a：當(dāng)取，時(shí)，本命題是假命題.選項(xiàng)b：已知，所以，故，本命題是真命題.選項(xiàng)c：，本命題是真命題.選項(xiàng)d：，本命題是真命題.故選：bcd4、若a，b，則a_b(填“”或“”)【答案】【解析】：易知a，b都是正數(shù)，log891，所以ba.5、已知1<x<4,2<y<3，則xy的取值范圍是_，3x2y的取值范圍是_【答案】：(4,2)(1,18)【解析】1<x<4,2<y<3，3<y<2，4<xy<2.由1<x<4,2<y<3，得3<3x<12,4&

5、lt;2y<6，1<3x2y<18.考向一不等式的性質(zhì)例1、（2020屆山東省泰安市高三上期末）已知均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（ ）a若，則b若，則c若則d若則【答案】bc【解析】若，則，故a錯(cuò)；若，則，化簡得，故b對；若，則，又，則，故c對；若，則，故d錯(cuò)；故選：bc變式1、若0，給出下列不等式：；|a|b0；ab；ln a2ln b2.其中正確的不等式是()a. b. c. d.【答案】c【解析】方法一因?yàn)?，故可取a1，b2.顯然|a|b1210，所以錯(cuò)誤；因?yàn)閘n a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以錯(cuò)誤.綜上所述，可排除a，b，d.方法二由0

6、，可知ba0.中，因?yàn)閍b0，ab0，所以0，0.故有，即正確；中，因?yàn)閎a0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故錯(cuò)誤；中，因?yàn)閎a0，又0，則0，所以ab，故正確；中，因?yàn)閎a0，根據(jù)yx2在(，0)上為減函數(shù)，可得b2a20，而yln x在定義域(0，)上為增函數(shù)，所以ln b2ln a2，故錯(cuò)誤.由以上分析，知正確.變式2、已知x，yr，且x>y>0，則()a>0 bsinxsiny>0cxy<0 dln xln y>0【答案】c【解析】函數(shù)yx在(0，)上為減函數(shù)，當(dāng)x>y>0時(shí)，x<y，即xy<0，故c正確；函數(shù)y在(

7、0，)上為減函數(shù)，由x>y>0<<0，故a錯(cuò)誤；函數(shù)ysinx在(0，)上不單調(diào)，當(dāng)x>y>0時(shí)，不能比較sinx與siny的大小，故b錯(cuò)誤；x>y>0¿xy>1¿ln (xy)>0¿ln xln y>0，故d錯(cuò)誤變式3、（2020·邵東創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三月考）下列不等式成立的是（ ）a若ab0，則a2b2b若ab4，則ab4c若ab，則ac2bc2d若ab0，m0，則【答案】ad【解析】對于a，若，根據(jù)不等式的性質(zhì)則，故a正確；對于b，當(dāng)，時(shí)，顯然b錯(cuò)誤；對于c，當(dāng)時(shí)，故c錯(cuò)誤；對于d，因

8、為，所以，所以所以，即成立，故d正確故選ad方法總結(jié)：判斷多個(gè)不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說明.常用的推理判斷需要利用不等式的性質(zhì)，常見的反例構(gòu)成方式可從以下幾個(gè)方面思考：不等式兩邊都乘以一個(gè)代數(shù)式時(shí)，考察所乘的代數(shù)式是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0；不等式左邊是正數(shù)，右邊是負(fù)數(shù)，當(dāng)兩邊同時(shí)平方后不等號方向不一定保持不變；不等式左邊是正數(shù)，右邊是負(fù)數(shù)，當(dāng)兩邊同時(shí)取倒數(shù)后不等號方向不變等.考向二 不等式的比較大小例2、設(shè)a>b>0，試比較與的大小解法一(作差法)：因?yàn)閍>b>0，所以ab>0，ab>0，2ab>0所以>0，所以>解法二(作商法)

9、：因?yàn)閍>b>0，所以>0，>0所以1>1所以>變式1、若a<0，b<0，則p與qab的大小關(guān)系為()ap<q bpqcp>q dpq【答案】：b【解析】(作差法)pqab(b2a2)·，因?yàn)閍<0，b<0，所以ab<0，ab>0.若ab，則pq0，故pq；若ab，則pq<0，故p<q.綜上，pq.故選b.變式2、已知a>b>0，比較aabb與abba的大小【解析】 ，又a>b>0，故>1，ab>0，>1，即>1，又abba>0，aab

10、b>abba，aabb與abba的大小關(guān)系為aabb>abba.變式3、設(shè)0<x<1，a>0且a1，比較|loga(1x)|與|loga(1x)|的大小解法一：當(dāng)a>1時(shí)，由0<x<1知，loga(1x)<0，loga(1x)>0，|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x2)，0<1x2<1，loga(1x2)<0，從而loga(1x2)>0，故|loga(1x)|>|loga(1x)|當(dāng)0<a<1時(shí)，同樣可得|loga(1x)|>|loga(

11、1x)|解法二(平方作差)：|loga(1x)|2|loga(1x)|2loga(1x)2loga(1x)2loga(1x2)·logaloga(1x2)·loga>0|loga(1x)|2>|loga(1x)|2，故|loga(1x)|>|loga(1x)|方法總結(jié)：比較大小的方法(1)作差法，其步驟：作差變形判斷差與0的大小得出結(jié)論(2)作商法，其步驟：作商變形判斷商與1的大小得出結(jié)論(3)構(gòu)造函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小考向三 運(yùn)用不等式求代數(shù)式的取值范圍例3、設(shè)f(x)ax2bx，若1f(1)2，2f(1)4，則f(2)的取值范圍是_.

12、【答案】5，10【解析】方法一設(shè)f(2)mf(1)nf(1)(m，n為待定系數(shù))，則4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b.于是得解得f(2)3f(1)f(1).又1f(1)2，2f(1)4.53f(1)f(1)10，故5f(2)10.變式1、設(shè)那么的取值范圍是_【答案】 【解析】：由題設(shè)得， 變式2、(2020·天津模擬)若，滿足<<<，則2的取值范圍是()a<2<0 b<2<c<2< d0<2<【答案】c【解析】：<<，<2<.<<，<<，<

13、;2<.又<0，<，2<.故<2<.方法總結(jié)：求代數(shù)式的取值范圍一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體范圍1、（2019年高考全國ii卷理數(shù)）若a>b，則aln(ab)>0b3a<3bca3b3>0da>b【答案】c【解析】取，滿足，知a錯(cuò)，排除a；因?yàn)?，知b錯(cuò)，排除b；取，滿足，知d錯(cuò)，排除d，因?yàn)閮绾瘮?shù)是增函數(shù)，所以，故選c2、（2016新課標(biāo)，理8）若，則abcd【答案】c【解析】，函數(shù)在上為增函數(shù)，故，故錯(cuò)誤，函數(shù)在上為減函數(shù)，故，故，即；故錯(cuò)誤；，且，即，即故錯(cuò)誤；，故，即，即，故正確；故選3、（20

14、14山東）若，則一定有（ ）a b c d【答案】d【解析】由，又，由不等式性質(zhì)知：，所以，故選d4、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）若，則下列不等式中正確的是（ ）abcd【答案】ad【解析】對a，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)，有，故a 正確；對b，當(dāng)時(shí)，不成立，故b錯(cuò)誤；對c，當(dāng)時(shí)，不成立，故c錯(cuò)誤；對d，成立，從而有成立，故d正確；故選：ad.5、已知，則的取值范圍是 【答案】【解析】令則，又，得則6、若則的大小關(guān)系是_【答案】【解析】：7、(1)若bcad0，bd>0，求證：；(2)已知c>a>b>0，求證：>.證明(1)bcad，bd>0，11，.(2)c>a>b>0，ca>0，cb>0.a>