2014年陜西高考理科數(shù)學(xué)試題及答案詳解

1、 2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（陜西卷）理科數(shù)學(xué)試題一選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.【2014年陜西卷（理01）】已知集合，則（ ） 【答案】 b【解析】【2014年陜西卷（理02）】函數(shù)的最小正周期是（ ） 【答案】 b【解析】【2014年陜西卷（理03）】定積分的值為（ ） 【答案】 c【解析】【2014年陜西卷（理04）】根據(jù)右邊框圖，對(duì)大于2的整數(shù)，輸出數(shù)列的通項(xiàng)公式是（ ） 【答案】 c【解析】【2014年陜西卷（理05）】已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為則正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（ ）

2、 【答案】 d【解析】【2014年陜西卷（理06）】從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為（ ） 【答案】 c【解析】【2014年陜西卷（理07）】下列函數(shù)中，滿足“”的單調(diào)遞增函數(shù)是（ ）（a） （b） （c）（d）【答案】 d【解析】【2014年陜西卷（理08）】原命題為“若互為共軛復(fù)數(shù)，則”，關(guān)于逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（ ）（a）真，假，真 （b）假，假，真 （c）真，真，假 （d）假，假，假【答案】 b【解析】【2014年陜西卷（理09）】設(shè)樣本數(shù)據(jù)的均值和方差分別為1和4，若（為非零常數(shù)， ），則的均

3、值和方差分別為（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】 a【解析】【2014年陜西卷（理10）】如圖，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點(diǎn)的水平距離10千米處下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖像的一部分，則函數(shù)的解析式為（ ） （a） （b）（c） （d）【答案】 a【解析】第二部分（共100分）2、 填空題：把答案填寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)后的橫線上（本大題共5小題，每小題5分，共25分）.【2014年陜西卷（理11）】已知?jiǎng)t=_.【答案】 【解析】【2014年陜西卷（理12）】若圓的半徑為1，其圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.【答案】 【解析】【2014年陜西卷（理13）】設(shè)

4、，向量，若，則_.【答案】 【解析】 【2014年陜西卷（理14）】觀察分析下表中的數(shù)據(jù)： 多面體 面數(shù)（） 頂點(diǎn)數(shù)（) 棱數(shù)（) 三棱錐 5 6 9 五棱錐 6 6 10 立方體 6 8 12猜想一般凸多面體中，所滿足的等式是_.【答案】 【解析】【2014年陜西卷（理15）】（考生注意：請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評(píng)分）(不等式選做題)設(shè)，且，則的最小值為 （幾何證明選做題）如圖，中，以為直徑的半圓分別交于點(diǎn)，若,則 （坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離是 【答案】 a b 3 c 1【解析】abc三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

5、驟（本大題共6小題，共75分）【2014年陜西卷（理16）】 （本小題滿分12分） 的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.（i）若成等差數(shù)列，證明：；（ii）若成等比數(shù)列，求的最小值. （1） a、b、c成等數(shù)列， a+c=2b. 由正弦定理得sina+sinc=2sinb. sinb=sin-(a+c)=sin(a+c)=sin(a+c) sina+sinc=2sin（a+c）.(ii) a,b,c成等比例， b2=2c. 由余弦定理得 cosb=， 當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立. cosb的最小值為.【2014年陜西卷（理17）】（本小題滿分12分）四面體及其三視圖如圖所示，過(guò)棱的中點(diǎn)作平行于，的平面分別交四

6、面體的棱于點(diǎn).（i）證明：四邊形是矩形；（ii）求直線與平面夾角的正弦值.解 （i）由該四面體的三視圖可知，bddc, bdad , addc,bd=dc=2，ad = 1.由題設(shè)，bc/平面efgh,平面efgh平面bdc=fg,平面efgh平面abc=eh, bc/ fg, bc/eh, fg/eh.同理ef/ad,hg/ad, ef/hg,四邊形efgh是平行四邊形。又 addc , adbd, ad平面bdc，adbc, effg,四邊形efgh是矩形.（ii）解法一 如圖，以d為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則d（0,0,0）,a(0,0,1),b(2,0,0),c(0,2,0), d

7、a =(0,0,1), bc =(-2,2,0), ba =(-2 , 0, 1). 設(shè)平面efgh的法向量n=（x , y , z）， ef/ad,fg/bc, n da =0, n bc =0，得取n=（1,1,0）.sin=解法二 如圖，以d為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則d（0,0,0），a（0,0,1），b（2,0,0）,c (0,2,0).e,f(1,0,0),g(0,1,0). 設(shè)平面efgh的法向量n=（x，y，z），則 得取n=（1,1,0），【2014年陜西卷（理18）】（本小題滿分12分） 在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在三邊圍成的 區(qū)域（含邊界）上 （1）若，求； （2）設(shè)

8、，用表示，并求的最大值.【答案】 解（i）解法一 又 =（6-3x，6-3y）， 解得x=2，y=2， 即 解法二 則 (ii) (x,y)=(m+2n,2m+n), 兩式相減得，m-n=y-x，令y-x=t，由圖知，當(dāng)直線y=x+t過(guò)點(diǎn)b（2,3）時(shí)，t取得最大值1，故m-n的最大值為1. 【2014年陜西卷（理19）】（本小題滿分12分）在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場(chǎng)價(jià)格和這塊地上的產(chǎn)量具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：作物市場(chǎng)價(jià)格（元/kg）610概率0.40.6作物產(chǎn)量（kg）300500概率0.50.5 （1）設(shè)表示在這塊地上種植1季此作物的

9、利潤(rùn)，求的分布列； （2）若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2000元 的概率. 解（i）設(shè)a表示事件“作物產(chǎn)量為300kg”，b表示事件“作物市場(chǎng)價(jià)格為6元/kg”，由題設(shè)知p(a)=0.5，p(b)=0.4 利潤(rùn)=產(chǎn)量市場(chǎng)價(jià)格 - 成本， x所有可能地取值為 500 x 10 - 1000 = 4000，500 x 6 - 1000 = 2000. 300 x 10 - 1000 = 2000， 300 x 6 - 1000=800. p(x = 4000) =p = (1 - 0.5) x (1 - 0.4) = 0.3. p(x = 2000) =p +

10、p = (1- 0.5) x 0.4 x 0.5 x (1 - 0.4) = 0.5. p(x = 800) =p = 0.5 x 0.4 = 0.2. 所以x 的分布列為 （ii）設(shè)c1，c2 ，c3相互獨(dú)立，由（i）知， p（g）= p(x = 4000) + p(x = 2000) = 0.3+0.5 = 0.8 (= 1,2,3), 3季的利潤(rùn)均不少于2000元的概率為 p()+p()+p()=3x0.82x0.2=0.384, 所以，這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2000元的概率為 0.512+0.384=0.896.【2014年陜西卷（理20）】（本小題滿分13分）如圖，曲線由上半

11、橢圓和部分拋物線連接而成，的公共點(diǎn)為，其中的離心率為.（1） 求的值；（2） 過(guò)點(diǎn)的直線與分別交于（均異于點(diǎn)），若，求直線的方程.解 （i）在c1,c2 的方程中，令y=0，可得b=1，且a（- 1 ，0），b(1，0)是上班橢圓c1的左右頂點(diǎn)。設(shè)c1 的半焦距為c，由得a=2. a=2，b=1.（ii）解法一 由（i）知，上半橢圓c1 方程為易知，直線與x軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為y=代入c1的方程，整理得 （*）設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（xp，yp）， 直線過(guò)點(diǎn)b， x=1是方程（*）的一個(gè)根 .由求根公式，得 xp= 點(diǎn)p的坐標(biāo)為（）.同理，由得點(diǎn)的的坐標(biāo)為（- k - 1，- k2 - 2k

12、）. ap, .經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，故直線的方程為解法二 若設(shè)直線的方程為，比照解法一部分?！?014年陜西卷（理21）】（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù).（1） ，求的表達(dá)式；（2） 若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，比較與的大小，并加以證明. 解 由題設(shè)得，g(x) = （i）由已知，g1（x）= 下面用數(shù)學(xué)歸納證明. 當(dāng)n= 1時(shí)，g1（x）=，結(jié)論成立. 假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即gk（x）=. 那么，當(dāng)n=k+1時(shí). 即結(jié)論成立. 由可知，結(jié)論對(duì)nn,成立. （ii）已知 設(shè) 則 a>1時(shí)，對(duì) 即a>1時(shí)存在x>0,使 綜上可知，a的取值范圍是（. （iii）由題設(shè)知g(1)+g(2)+.+g(n)= 比較結(jié)果為 證明如下：證法一上述不等式等價(jià)于 在（ii）中取a=1，可得1n（1+x）