2022年2022年初中數(shù)學競賽精品標準教程及練習40：線段、角的和差倍分

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載中考數(shù)學復習資料,細心整編吐血舉薦、 如如有用請打賞支持,感謝不盡！初 中數(shù)學競賽精品標準教程及練習（40） 線段.角的和差倍分一.內(nèi)容提要證明線段.角的和,差,倍,分,常用兩種方法：一為轉(zhuǎn)化為證明線段或角的相等關(guān)系；一為用代數(shù)恒等式的證明方法；一. 轉(zhuǎn)化為證明相等的一般方法通過作圖轉(zhuǎn)化1. 要證明一線段（角）等于兩線段（角）的和（用截長補短法）分解法把大量分成兩部分,證它們分別等于兩個小量合成法作出兩個小量的和,證它與大量相等2. 要證明一線段（角）等于另一線段（角）的2 倍折半法作出大量的一半,證它與小量相等加倍法作出小量的2 倍,證它與大量相等應用有關(guān)定

2、理轉(zhuǎn)化1. 三角形中位線等于第三邊的一半,梯形中位線等于兩底和的一半2. 直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半3. 直角三角形中,含30 度的角所對的直角邊等于斜邊的一半4. 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和5. 等腰三角形頂角的外角等于底角的2 倍6. 三角形的重心（各中線的交點）分中線為2 17. 有關(guān)比例線段定理 二. 用代數(shù)恒等式的證明1. 由左證到右或由右證到左2. 左右兩邊分別化簡為同一個第三式3. 證明左邊減去右邊的差為零4. 由已知的等式動身,通過恒等變形,到達求證的結(jié)論二.例題例 1. 已知： abc中, b2c,ad為高求證： dc abbd分析一：用分解法,把dc分

3、成兩部分,分別證與ab,bd相等；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載可以高 ad為軸作 adb的對稱三角形 ade,再證 ecae； aeb b 2 c且 aeb c eac, eac c幫助線為在 dc上取 de db,連結(jié) ae；分析二：用合成法,把ab,bd合成一線段,證它與dc相等；仍舊以高 ad為軸,作出 dc的對稱線段 df；為便于證明,幫助線用延長db到 f,使 bfab,連結(jié) af,就可得abd2f2c；aakecbdfbdc例 2. 已知： abc中,兩條高 ad和 be相交于 h,兩條邊 bc和 ac的中垂線相交于o,垂足為 m,n精品學習資料精選學習資料 -

4、- - 歡迎下載求證： ah2mo,bh 2no證明一：（加倍法作出om,on的 2 倍）gae（一）hn精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載o連結(jié)并延長 co到 g使 ogco連結(jié) ag,bg就 bg om,bg2mo,agon,ag2nobdmc四邊形 agbh為平行四邊形,ahbg2mo,bhag 2noa證明二：（折半法作出ah,bh的一半）f e（二）hn分別取 ah,bh的中點 f,g連結(jié) fg, mnog精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載就 fg mn1 ab,fgmn ab2bdmc精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載又 om ad, omn h

5、gf（兩邊分別平行的兩銳角相等）同理 onm hfg omn hfg例 3.已知：在正方形abcd中,點 e 在 ab上且 ce adae,f 為 ab的中點求證： dce2bcf分析：此題明顯應著重考慮如何發(fā)揮ce adae條件的作用,假如只想用加倍法或折半法,就精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載脫離題設(shè)的條件,難以見效；我們可將 ae（它的等量 dg）加在正方形邊 cd的延長線上（如左圖）也可以把正方形的邊cd（它的等量 ag）加在 ae的延長線上（如右圖）后一種想法更簡單些；幫助線如圖,證明（略）自己完成dcgdc精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載hae fbhg

6、ae fb精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 4. 已知： abc中, b 和 c 的平分線相交于 i ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載求證： bic90 證明一：（由左到右）1 a2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載bic180 （ 1 2） 1801 （ abc acb）2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1801 （ abc acb a）21 a2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 90 1 a2證明二：（左邊右邊 0）bic（ 90 1 a）afie 12精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2180 1 （ a

7、bc acb） 90290 1 （ abc acb a）2bc1 a2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載證明三：（從已知的等式動身,進行恒等變形） a abc acb180 a180（ abc acb）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1 a90 21 （ abc acb）2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載90 1 a1802三.練習 401 （ abc acb）,即 bic90 21 a2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1. abc中, b2c,ad為角平分線,求證： acab bd精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2. abc

8、中, b2c,ad為高, m為 bc的中點,就 ab2dm3. abc中, b 的平分線和 c的外角平分線交于e,就 a2e4. abc的 abac,cd為中線,延長 ab到 e 使 beab,連結(jié) ec,就 ce 2cd5. 已知：等腰直角三角形abc中, art, bd為角平分線求證： bc abad6. 已知： abc中, abac,ad為高, ae為角平分線求證： dae 1 （ b c）27. 已知： abc中, abac,點 d在 ac的延長線上,求證： cbd 1 （ abd d）28. 已知： ad為 abc的中線, e 為 ad的中點, be延長線交 ac于 f求證： bf4

9、ef9. 已知：在正方形abcd中, e為 bc邊上的一點, af平分 dae,交 cd于 f求證： ae bedf10. 在 abc中,bacrt ,bc的中垂線 mn交 ab于 m,交 bc于 n,角平分線 ad延長線交 mn于 e,就 bc 2ne（ 1987 年泉州市雙基賽題）11. 以 rt abc兩直角邊 ac,bc為邊向形外作正方形acde和 bcfg,分別過 e,g作斜邊 ab所在直線,的垂線段 ee,gg就 abee gg12. 已知： abc中, abac,ad為高, ce為角平分線 ef bc于 f,gece交 cb延長線于 g,求證： fd 1 cg（提示：以 ce為軸

10、作 ceg的對稱三角形）413. 已知： abc中, a100,ab ac,bd為角平分線求證： bcbd ad14. 已知：正方形 abcd中, ae平分 bac交 bc于 e,交 bd于 f,o為對角線的交點求證： ce2fo15. 已知：如圖 ac,bd都垂直于 ab,且 cd交 ab于 e,ce 2ad求證： ade2bde16. 已知： abc中, abacbc,點 d在 bc上,點 e 在 ba的延長線上,且bdbe ac, bde的外接圓和 abc的外接圓交于點f求證： bfaf fc精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（提示：在 bf 上取 bgcf）ef（15）（a16）acgcbdedb練習 40 參考答案：1. 以 ad軸作軸對稱三角形2. 取 ab中點 n,再證明 dn dm3. 利用外角性質(zhì),分別用兩角差表示a 和 e4. 有多種證明方法,留意三角形中位線性質(zhì)6.b（ bae dae） 90,c（ eac dae） 907.abc a