正定矩陣的性質(zhì)及推廣論文

1、洛陽師范學(xué)院本科畢業(yè)論文LUOYANG NORMAL UNIVERSITY 2012屆 本科畢業(yè)論文正定矩陣的性質(zhì)及推廣院（系）名稱數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院專 業(yè) 名 稱數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)生姓名李俊霞學(xué)號(hào)080414076指導(dǎo)教師黃盛 講師完 成 時(shí) 間2012.5正定矩陣的性質(zhì)及推廣李俊霞數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 學(xué)號(hào)： 080414076指導(dǎo)教師：黃盛摘要：正定矩陣是一類比較重要且應(yīng)用廣泛的矩陣，作為一種特殊的矩陣，當(dāng)然有許多與其它矩陣不同的性質(zhì)，本文首先給出了正定矩陣的若干性質(zhì). 其次，給出了正定矩陣在證明不等式、求函數(shù)的極值、多項(xiàng)式因式分解等方面的具體應(yīng)用. 最后對(duì)正定矩陣作了進(jìn)一步的推廣，

2、得到了廣義正定矩陣的一些性質(zhì)，并給出了相應(yīng)的證明.關(guān)鍵詞：正定矩陣；廣義正定矩陣；正對(duì)角矩陣；實(shí)對(duì)稱矩陣 關(guān)于正定矩陣的定義本科階段學(xué)習(xí)的正定矩陣局限于實(shí)對(duì)稱矩陣，它的常規(guī)定義為定義 階實(shí)對(duì)稱矩陣稱為正定的，如果對(duì) ,都有.這種正定矩陣的全體記作.年，首先提出了較廣義的正定矩陣的定義，即定義 設(shè)，如果對(duì) ，都有,則稱為正定矩陣,這種正定矩陣的全體記作.年，佟文廷把這種矩陣推廣為定義 設(shè)，如果對(duì),都有正對(duì)角矩陣=，使得，則稱為廣義的正定矩陣，記為，若與無關(guān)，則記為.年，夏長(zhǎng)富對(duì)這種正定矩陣作進(jìn)一步推廣如下定義 設(shè)，如果對(duì),都存在,使得,稱為廣義正定矩陣，這種廣義正定矩陣的集合記為，若與無關(guān)，則把

3、這樣的廣義正定矩陣的集合記作. 正定矩陣的判定定理定理 設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣，則下列命題等價(jià) ； 對(duì)，都有； 的正慣性指數(shù)為，負(fù)慣性指數(shù)為0； 的各階順序主子式都大于0； 存在階可逆矩陣，使； 存在階可逆矩陣，使=； 的各階主子式都大于0； 存在正定矩陣，使； 所有與合同的矩陣是正定矩陣； 的特征值都大于0； 半正定且； 設(shè)，則和是正定矩陣. 存在對(duì)角元素全大于零的上三角矩陣，使.證明 等價(jià)于 因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱矩陣，所以可對(duì)角化，即存在正交矩陣，使，其中是的特征值，所以令=,則是正定矩陣且=. 反之，因?yàn)槭钦ň仃?，所以是正定矩陣，即是正定矩?等價(jià)于 設(shè)是與合同的矩陣，正定，下證正定，對(duì)，作非退化線

4、性替換，則，因?yàn)槭钦ň仃?，所以，即，所以是正定矩?反之，令是正定矩陣，則，因?yàn)槭钦ň仃嚕c合同，由上面的證明可知，是正定矩陣.等價(jià)于 是正定矩陣等價(jià)于是正定矩陣，,，等價(jià)于和是正定矩陣.要證等價(jià)于，需先證明一個(gè)引理.引理 設(shè)為一個(gè)級(jí)實(shí)矩陣，且，則可以分解成，其中是正交矩陣，是一上三角矩陣.證明 設(shè)，其中是的列向量，因?yàn)?，所以線性無關(guān)，可作為維線性空間的一組基，將其化為標(biāo)準(zhǔn)正交基，令，則=，將，,標(biāo)準(zhǔn)化，令，則，是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，令，則是正交矩陣，是一上三角矩陣，且對(duì)角元素大于零.下面證明等價(jià)于是正定矩陣等價(jià)于存在可逆矩陣，使，是上三角矩陣且對(duì)角元素大于0，同樣的方法可證明下三角矩陣的情況

5、. 其余等價(jià)命題參考文獻(xiàn). 正定矩陣的性質(zhì)性質(zhì) 若是正定矩陣，則、也是正定矩陣.證明 因?yàn)槭钦ň仃?，所以存在階可逆矩陣，使，則所以是正定矩陣.另外，的特征值都大于，所以都大于，即的特征值都大于，所以也是正定矩陣.對(duì)于任意的，所以是正定矩陣.因?yàn)?，所以是正定矩陣.性質(zhì) 設(shè)，是階正定實(shí)對(duì)稱矩陣，且滿足,則也是正定實(shí)對(duì)稱矩陣.證明 因?yàn)?，所以是?shí)對(duì)稱矩陣，設(shè)是的一個(gè)特征值，是對(duì)應(yīng)于的特征向量，則,，因?yàn)?是正定矩陣，所以，所以，即的特征值都大于，所以也是正定實(shí)對(duì)稱矩陣. 由性質(zhì)的證明過程可知，正定矩陣乘積的特征值大于. 性質(zhì) 若、都是正定矩陣，則是正定矩陣.證明 顯然是實(shí)對(duì)稱矩陣，對(duì)于任意的，有

6、，所以是正定矩陣.推論 若、都是正定矩陣，則是正定矩陣.性質(zhì) 若、都是正定矩陣，則.證明 因?yàn)槭钦ň仃嚕源嬖诳赡婢仃?使得 ，顯然是對(duì)稱矩陣，則可對(duì)角化，所以存在正交矩陣,使=因?yàn)槭钦ň仃?，所以，令，則 = 分別對(duì)上式兩邊求行列式得，所以，因?yàn)椋?此性質(zhì)說明了對(duì)任意一個(gè)正定矩陣和一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣(不一定是正定的),存在可逆矩陣，使和都為對(duì)角矩陣.性質(zhì) 為階正定矩陣，則的元素的絕對(duì)值最大者，一定在主對(duì)角元上.證明 因?yàn)檎ǎ瑥亩囊磺卸A主子式都大于，當(dāng)時(shí).移項(xiàng)后，開方即得，設(shè)的主對(duì)角元上最大元素為，再由上式，得， =，此即證.即的元素的絕對(duì)值最大者，一定在主對(duì)角元上.性質(zhì) 為階正定矩

7、陣，則，其中為的主對(duì)角元素.證明 設(shè)，其中為的-1階順序主子式，因?yàn)檎?，所以正定，存在，于?，兩邊取行列式得，=，因?yàn)檎ǎ哉?，所以?所以，同理，這樣繼續(xù)下去，可得.性質(zhì) 若是正定矩陣，則也是正定矩陣.證明 因?yàn)槭钦ň仃?，所以的特征值，那么，即的特征值都大?，所以是正定矩陣. 正定矩陣的應(yīng)用 證明不等式實(shí)對(duì)稱矩陣稱為正定矩陣，是指如果實(shí)二次型正定，而二次型正定是指對(duì)任意 ，恒有，所以可用實(shí)對(duì)稱矩陣中的正定矩陣來證明不等式.例 求證.證明 設(shè)二次型=+，則的矩陣=，的各階順序主子式=-5，=26，=-80所以是負(fù)定矩陣，則，即. 求函數(shù)的極值定義 假定具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并記,它

8、稱為在的黑賽矩陣.定理 設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且是的穩(wěn)定點(diǎn).則當(dāng)是正定矩陣時(shí)，在取得極小值；當(dāng)是負(fù)定矩陣時(shí)，在取得極大值；當(dāng)是不定矩陣時(shí)，在不取極值.例 求函數(shù)的極值點(diǎn).解 由方程組得的穩(wěn)定點(diǎn)為，=2，那么，是正定矩陣，所以是的極小值點(diǎn)，.多元函數(shù)的情形：定義 假設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并記，它稱為在的黑賽矩陣.定理 設(shè)多元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且是的穩(wěn)定點(diǎn). 則當(dāng)是正定矩陣時(shí)，在取得極小值；當(dāng)是負(fù)定矩陣時(shí)，在取得極大值；當(dāng)是不定矩陣時(shí)，在不取極值.例 求函數(shù)的極值.解 由方程組得的穩(wěn)定點(diǎn)為，又的二階偏導(dǎo)數(shù)為，. 所以，其順序主子式分別為0，所以是不定矩陣，

9、在點(diǎn)處不取極值. ，其順序主子式分別為，所以是正定矩陣，由定理可知，在點(diǎn)處取極小值，極小值為. 多項(xiàng)式因式分解定理 一個(gè)實(shí)二次型可以分解為兩個(gè)實(shí)系數(shù)的一次齊次多項(xiàng)式乘積的充要條件是它的秩等于2且符號(hào)差為，或秩等于1.該定理為利用二次型進(jìn)行二次多項(xiàng)式因式分解提供了理論依據(jù)，同時(shí)給出了判斷能否分解的方法，并且可以很快得到分解式.例 試判斷下列多項(xiàng)式在R上能否進(jìn)行因式分解，若能，分解之. 解 令，則=，只需考慮的秩和符號(hào)差，所對(duì)應(yīng)的矩陣為，所以的秩為3，故不能分解,所以不能分解. 令，則=，只需考慮的秩和符號(hào)差，作非退化線性替換即得，=,其秩為2，符號(hào)差為，所以能因式分解，=. 最小二乘法問題 最小

10、二乘法問題：線性方程組可能無解. 即任何一組數(shù)都可能使 不等于零. 我們?cè)O(shè)法找使其最小，這樣的稱為方程組的最小二乘解. 這種問題就叫做最小二乘法問題.定理 令，則方程組的最小二乘解滿足，或. 判斷二次曲線的形狀可通過非退化線性替換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，從而判斷二次曲線的形狀.例 判斷二次曲線的形狀.解 設(shè)，令，則，對(duì)作非退化線性替換，令即則，從而，即，所以曲線表示橢圓. 在的條件下求二次型的最值.定理 設(shè)元二次型，則在條件下的最大值恰為矩陣的最大特征值，其中.證明 令,則,作非退化線性替,其中是由的特征向量正交化得到的矩陣，故有，其中是的特征值. 所以記是中的最大值，是中的最小值，又,所以，即在

11、條件下的最大值恰為矩陣的最大特征值.例 已知實(shí)數(shù)滿足，求的最大值和最小值.解 的矩陣，解得的特征值為，由定理得，的最大值為，最小值為.5 正定矩陣的推廣定義 設(shè)，如果對(duì), 都存在,使得,則稱為更廣義正定矩陣，這種更廣義正定矩陣的集合記為，若與無關(guān)，則把這樣的廣義正定矩陣的集合記作.定義 設(shè)，如果對(duì)，都存在,使得，則稱為更廣義正定矩陣，這種更廣義正定矩陣的集合記為，若與無關(guān)，則把這樣的廣義正定矩陣的集合記作.各種定義有如下關(guān)系： 證明 顯然； 對(duì)，有，即，為階單位矩陣，當(dāng)然是正對(duì)角矩陣，所以，所以； 對(duì)，存在正對(duì)角矩陣，使，顯然，所以，所以； 對(duì)，存在,使得，當(dāng)然，所以，所以； 對(duì)，存在,使得，

12、因?yàn)?，所以，所以，所? 廣義正定矩陣的一些性質(zhì) 定理 若，則.證明 因?yàn)椋瑒t存在正對(duì)角矩陣，使，所以，所以，因?yàn)?，所?定理6.2 、都有.其證明方法都類似于定理，在這里就不再一一寫出.定理 ，.證明 必要性因?yàn)?所以,使 則，,令=,=,所以=，或者，將改寫為,令=,=,所以=.充分性不妨設(shè),，使，則=，因?yàn)?所以對(duì)，有,即,因?yàn)?所以.定理說明，對(duì)稱正定矩陣和實(shí)正定矩陣之積為廣義實(shí)正定矩陣，這也可作為廣義正定矩陣的定義和判定定理.定理 設(shè),則存在正交矩陣，使得.證明 因?yàn)?，所以存? 使得，因?yàn)?，所以存在正交矩陣，使為正?duì)角矩陣，又=，因?yàn)?，所以?duì)，有,即,因?yàn)闉檎龑?duì)角矩陣，所以. 結(jié)束

13、語通過本文的寫作，使我對(duì)正定矩陣有了更加深入的認(rèn)識(shí)，并且利用正定矩陣解決了代數(shù)中的一些問題. 在此基礎(chǔ)上，將正定矩陣作了進(jìn)一步的推廣，得到了廣義正定矩陣. 致謝本論文在選題及寫作過程中得到黃盛老師的悉心指導(dǎo)，黃老師多次詢問寫作進(jìn)程，并為我指點(diǎn)迷津，幫助我開拓研究思路，精心點(diǎn)撥、熱忱鼓勵(lì). 黃老師一絲不茍的作風(fēng)，嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的態(tài)度，踏踏實(shí)實(shí)的精神，深深地感染和激勵(lì)著我. 正是由于他在百忙之中多次審閱全文，對(duì)細(xì)節(jié)進(jìn)行修改，并為本文的撰寫提供了許多中肯而且寶貴的意見，本文才得以成型. 在此對(duì)黃老師表示由衷的感謝！同時(shí)，也感謝大學(xué)里各位老師的教導(dǎo)以及班級(jí)同學(xué)的幫助和支持！參考文獻(xiàn)1北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)

14、教研室前代數(shù)小組. 高等代數(shù)M. 第三版. 北京：高等教育出版社，2003: 162-226. 2戴澤儉，凌燈榮，夏徐林. 關(guān)于正定矩陣的進(jìn)一步推廣J. 安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2006,12（2）：23-24.3佟文廷. 廣義正定矩陣J. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 1984(27): 810-810.4夏長(zhǎng)富鉅陣正定性的進(jìn)一步推廣J數(shù)學(xué)研究與評(píng)論, 1988, 8(4)：499-504.5吳亞敏. 正定矩陣的性質(zhì)J. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究, 2011: 110-111.6錢吉林. 高等代數(shù)題解精粹M. 第二版. 北京：中央民族大學(xué)出版社，2010: 112-224.7岳貴鑫. 正定矩陣及其應(yīng)用J. 遼寧省交通高等?？?/p>

15、學(xué)校學(xué)報(bào),2008,10(5): 30-33.8華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析M. 第三版. 北京：高等教育出版社, 2008: 136-139.9薛蓉華. 二次型性質(zhì)的若干應(yīng)用J. 福建工程學(xué)院學(xué)報(bào), 2011, 9(3): 273-275.10何春羚. 關(guān)于廣義正定矩陣性質(zhì)的討論J. 重慶文理學(xué)院學(xué)報(bào)，2007, 26(4): 15-17.11沈光星. 廣義正定矩陣及其性質(zhì)J. 高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2002（2）：186-192.12史秀英. 正定矩陣的等價(jià)命題及其應(yīng)用J. 赤峰教育學(xué)院學(xué)報(bào), 2000, 2: 44-46.The Properties of Positive Defi

16、nite Matrix and PromotionLI Jun-xiaCollege of Mathematics Science No：080414076Tutor: HUANG ShengAbstract: Positive definite matrices is a kind of more important and widespread matrix, as a kind of special matrix, of course, there are many different properties with other matrix, this paper gives some properties of positive definite matrix. Secondly, given the positive definite matrix inequalities in proof, let the function extreme value, polynomial of factoring decomposition specific application on the positi