數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

1、1 第四節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入考綱傳真 1.理解復(fù)數(shù)的概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 .3.能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解兩個(gè)具體復(fù)數(shù)相加、減的幾何意義1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念：形如abi(a，br)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a 叫做復(fù)數(shù) z的實(shí)部， b 叫做復(fù)數(shù)z的虛部 (i 為虛數(shù)單位 )(2)分類：滿足條件 (a，b 為實(shí)數(shù) )復(fù)數(shù)的分類abi 為實(shí)數(shù) ? b0abi 為虛數(shù) ? b0 abi 為純虛數(shù) ? a0 且 b0 (3)復(fù)數(shù)相等： abicdi? ac，bd(a，b，c，dr)(4)共軛復(fù)數(shù)： abi 與 cdi 共軛? ac，bd(a，

2、b，c，dr)(5)復(fù)數(shù)的模：向量oz的模叫做復(fù)數(shù) zabi 的模， 記作|z|或|abi|， 即|z|abi|a2b2(a，br)2復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù) zabi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) z(a，b)平面向量 oz(a，b)3復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)運(yùn)算法則：設(shè) z1abi，z2cdi，a，b，c，dr. (2)幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行如圖給出的平行四邊形 oz1zz2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即ozoz1oz2，z1z2oz2oz1. 2 常用結(jié)論 1(1 i)2 2i，1i1ii，1i1ii.2baii(abi)3i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nn*

3、)；i4ni4n1i4n2i4n30(nn*)4z z |z|2| z |2，|z1 z2|z1| |z2|，z1z2|z1|z2|，|zn|z|n.基礎(chǔ)自測(cè) 1(思考辨析 )判斷下列結(jié)論的正誤 (正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”) (1)復(fù)數(shù) zabi(a，br)中，虛部為 bi. () (2)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小() (3)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)() (4)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模. () 答案(1)(2)(3)(4)2.(教材改編 )如圖所示，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn) a表示復(fù)數(shù) z， 則圖中表示 z的共軛復(fù)

4、數(shù)的點(diǎn)是 () aabbccddb共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱 3(教材改編 )設(shè) mr，復(fù)數(shù) zm21(m1)i 表示純虛數(shù)，則m的值為 () a1 b1 c 1 d0 a由題意得m210m10，解得 m1，故選 a. 3 4復(fù)數(shù)12i2i() ai b1i ci d1i a12i2i12i 2i2i 2i5i5i. 5(教材改編 )設(shè) x，yr，若(xy)(y1)i(2x3y)(2y1)i，則復(fù)數(shù) zxyi 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 () a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限d由題意知xy2x3y，y12y1，解得x4，y2.則復(fù)數(shù) z42i 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選d. 復(fù)

5、數(shù)的有關(guān)概念1(2018 全國(guó)卷 )設(shè) z1i1i2i，則|z|() a0b.12c1d.2 cz1i1i2i1i21i 1i2ii，所以 |z|1. 2(2018 浙江高考 )復(fù)數(shù)21i(i 為虛數(shù)單位 )的共軛復(fù)數(shù)是 () a1i b1i c1i d1i b21i2 1i1i 1i1i，4 所以復(fù)數(shù)21i的共軛復(fù)數(shù)為 1i，故選 b. 3(2017 天津高考 )已知 ar，i 為虛數(shù)單位，若ai2i為實(shí)數(shù)，則 a 的值為 _2ar，ai2iai 2i2i 2i2a1 a2 i52a15a25i 為實(shí)數(shù)，a250，a2. 規(guī)律方法 解決復(fù)數(shù)概念問題的策略1 復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模，

6、共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部有關(guān)，所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時(shí)，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即abi a，br 的形式，再根據(jù)題意列出實(shí)部、虛部滿足的方程組 即可.2 求復(fù)數(shù)模的常規(guī)思路是利用復(fù)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算先求出復(fù)數(shù)z， 然后利用復(fù)數(shù)模的定義求解. 復(fù)數(shù)的運(yùn)算?考法 1復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算【例 1】(1)(2018 全國(guó)卷)(1i)(2i)() a3i b3i c3i d3i (2)(2016 全國(guó)卷 )設(shè)(12i)(ai)的實(shí)部與虛部相等，其中a 為實(shí)數(shù)，則 a() a3 b 2 c2 d3 (3)若 a 為實(shí)數(shù)，且 (2ai)(a2i)4i，則 a() a1 b0 c1 d2 (1)d

7、(2)a(3)b(1)(1i)(2i)2i2ii23i.故選 d.(2)(12i)(ai)a2(12a)i，由題意知 a212a，解得 a3，故選 a.(3)因?yàn)?2ai)(a2i)4i，5 所以 4a(a24)i4i.所以4a0，a244.解得 a0.故選 b. ?考法 2復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算【例 2】(1)(2018 天津高考 )i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)67i12i_. (2)(2018 江蘇高考 )若復(fù)數(shù) z 滿足 i z12i，其中 i 是虛數(shù)單位，則 z的實(shí)部為 _(1)4i(2)2(1)67i12i67i 12i12i 12i6147i12i54i.(2)z12ii12i ii i2i故 z

8、 的實(shí)部為 2. ?考法 3復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算【例 3】(1)(2019 太原模擬 )設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足1z1zi，則 z的共軛復(fù)數(shù)為 () ai bi c2i d2i (2)(2016 全國(guó)卷 )若 z43i，則z|z|() a1 b1 c.4535i d.4535i (3)若復(fù)數(shù) z滿足 2z z 32i，其中 i 為虛數(shù)單位，則 z 等于() a12i b12i c12i d12i (1)a(2)d(3)b(1)由1z1zi 得 1zizi.即(1i)z1i，則 z1i1ii，因此 z i，故選 a.6 (2)z43i， z 43i，|z|42325，z|z|43i54535i.(3)設(shè) za

9、bi(a，br)，則 z abi，所以 2(abi)(abi)32i，整理得 3abi32i，所以3a3，b2，解得a1，b2，所以 z12i，故選 b. 規(guī)律方法 復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的常見類型及解題策略1 復(fù)數(shù)的乘法 .復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i 的看作一類同類項(xiàng)，不含 i 的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可.2 復(fù)數(shù)的除法 .除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題時(shí)要注意把i 的冪寫成最簡(jiǎn)形式 .3 復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)， 一般化為 abi a， br的形式，再結(jié)合相關(guān)定義解答. (1)(2019 合肥模擬 )已知 i 為

10、虛數(shù)單位，則2i 34i2i() a5 b5i c75125i d75125i (2)(2019 惠州模擬 )已知復(fù)數(shù) z的共軛復(fù)數(shù)為 z ， 若 z (1i)2i(i 為虛數(shù)單位 )， 則 z() ai bi1 ci1 di (3)(2019 南昌模擬 )設(shè) z的共軛復(fù)數(shù)是z ，若 z z 2，z22i，則 z() a.1212i b.1212i c1i d1i (1)a(2)c(3)d(1)法一：2i 34i2i105i2i5，故選 a.7 法二：2i 34i2i2i234i2i 2i34i 34i55，故選 a.(2)由已知可得 z 2i1i2i 1i1i 1i1i，則 z1i，故選 c

11、.(3)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證可知，當(dāng)z1i 時(shí)，符合題意，故選d. 復(fù)數(shù)的幾何意義【例 4】(1)(2018 北京高考 )在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)11i的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 () a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限(2)(2019 鄭州模擬 )若復(fù)數(shù) (1i)(ai)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限， 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是() a(， 1) b(， 1) c(1，) d(1， ) (1)d(2)b(1)11i1i1i 1i1i21212i，所以11i的共軛復(fù)數(shù)為1212i，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為12，12，位于第四象限，故選d.(2)復(fù)數(shù)(1i)(ai)a1(1a)i，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(a1,

12、1a)在第二象限，故a10，1a0，解得 a1，故選 b. 規(guī)律方法 與復(fù)數(shù)幾何意義相關(guān)的問題的一般解法第一步，進(jìn)行簡(jiǎn)單的復(fù)數(shù)運(yùn)算，將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式；第二步，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面的點(diǎn)之間的關(guān)系，依據(jù)是復(fù)數(shù) abi 與復(fù)平面上的點(diǎn)a，b 一一對(duì)應(yīng) . (1)(2019 廣州模擬 )設(shè) z1i(i 是虛數(shù)單位 )，則復(fù)數(shù)2zz2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 () 8 a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限(2)在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z5i12i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱的點(diǎn)為a，則 a 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為() a12i b12i c2i d2i (1)a(2)c(1)因?yàn)?z1i， 所以2zz221i(1i

13、)22 1i1i1i12ii22 1i22i1i，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1)，位于第一象限，故選a.(2)依題意得，復(fù)數(shù) z5i 12i12i 12ii(12i)2i，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 (2,1)，因此點(diǎn)a(2,1)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 2i. 1(2017 全國(guó)卷 )下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是() ai(1i)2bi2(1i) c(1i)2di(1i) ca 項(xiàng)，i(1i)2i(12ii2)i2i2，不是純虛數(shù)b 項(xiàng)，i2(1i)(1i)1i，不是純虛數(shù)c 項(xiàng)，(1i)212ii22i，是純虛數(shù)d 項(xiàng)，i(1i)ii21i，不是純虛數(shù)故選 c. 2(2017 全國(guó)卷 )復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)zi(2i)的點(diǎn)位于 () a第一象限 b第二象限c第三象限d第四象限czi(2i)12i，復(fù)數(shù) z12i 所對(duì)應(yīng)的