多元函數(shù)的基本概念

1、1第九章第九章 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法 及其應(yīng)用及其應(yīng)用推廣推廣一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 注意注意: 善于類比善于類比, 區(qū)別異同區(qū)別異同2第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)多元函數(shù)的基本概念的基本概念區(qū)域區(qū)域多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) function of many variables3一、區(qū)域一、區(qū)域1. 平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集 n 維空間維空間一元函數(shù)一元函數(shù)1R平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集2R n 維空間維空間nR實數(shù)組實數(shù)組(x, y)的全體的全體,即即,),( 2RyxyxRR

2、R 建立了坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)面建立了坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)面.坐標(biāo)面坐標(biāo)面坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點(diǎn)的集合的點(diǎn)的集合,稱為稱為平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集, 記作記作.),(),( PyxyxE具有性質(zhì)具有性質(zhì) (1) 平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集 二元有序二元有序4鄰域鄰域 (Neighborhood) 設(shè)設(shè)P0(x0, y0)是是 xOy 平面上的一個點(diǎn)平面上的一個點(diǎn),幾何表示：幾何表示：,0鄰域鄰域的的點(diǎn)點(diǎn) P, 0 ).(0PU有時簡記為有時簡記為2R稱之為稱之為 將鄰域去掉中心將鄰域去掉中心,注注稱之為稱之為去心鄰域去心鄰域.),(0 PUOxy. P0 點(diǎn)集點(diǎn)集, ) ,(0PPU

3、稱為點(diǎn) P0 的 鄰域鄰域. .0PP)()(),( ),(20200 yyxxyxPU即即思考思考：空間中？：空間中？5在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為 ),() ,U(0yxP。0P因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含.,0 xx0 yy6 (1) 內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)(),U PE E (2) 外點(diǎn)外點(diǎn) 如果存在點(diǎn)如果存在點(diǎn)P的某個鄰域的某個鄰域),(PU則稱則稱P為為E的的外點(diǎn)外點(diǎn).(3) 邊界點(diǎn)邊界點(diǎn) 如點(diǎn)如點(diǎn)P的的任一任一鄰域內(nèi)既有屬于鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn)的點(diǎn),也有不屬于也有不屬于E的點(diǎn)的點(diǎn),稱稱P為為E的的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn).任意一點(diǎn)任意一點(diǎn)2RP 2RE 與任意一點(diǎn)集與任意一點(diǎn)集之間之

4、間必有以下三種關(guān)系中的一種必有以下三種關(guān)系中的一種:若存在點(diǎn)若存在點(diǎn) P 的某鄰域的某鄰域則稱則稱P為為E的的 內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn).1P )(1P)(2P2P 3P )(3PE的邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界點(diǎn)的全體稱為E的的邊界邊界,記作記作.E 使使U(P) E = ,7聚點(diǎn)聚點(diǎn) 如果對于任意給定的如果對于任意給定的, 0 點(diǎn)點(diǎn)P的去心鄰域的去心鄰域),( PU內(nèi)總有內(nèi)總有E中的點(diǎn)，中的點(diǎn)， 則稱則稱P是是E的的聚點(diǎn)聚點(diǎn).例如例如, 設(shè)點(diǎn)集設(shè)點(diǎn)集(P本身可屬于本身可屬于E,也可不也可不屬于屬于E ) ),21),( 22 yxyxE,),(200RyxP 點(diǎn)點(diǎn), 212020 yx若若則則P為為E的的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)

5、點(diǎn);12020 yx若若, 22020 yx或或則則P為為E的的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn),也是也是E的聚的聚點(diǎn)點(diǎn).E聚點(diǎn)相對孤立點(diǎn)聚點(diǎn)相對孤立點(diǎn)8區(qū)域區(qū)域(重要重要) 連通的開集稱連通的開集稱區(qū)域區(qū)域連通的連通的.如果點(diǎn)集如果點(diǎn)集D內(nèi)任何兩點(diǎn)內(nèi)任何兩點(diǎn),都可用折線連結(jié)起來都可用折線連結(jié)起來,且該折線上的點(diǎn)都屬于且該折線上的點(diǎn)都屬于D,稱開集稱開集D是是 或或開區(qū)域開區(qū)域.如如0),( yxyx 開集開集 若若E的任意一點(diǎn)的任意一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn), 稱稱E為為開集開集. 0 yx0 yxOxy 9 開區(qū)域連同其邊界開區(qū)域連同其邊界,稱為稱為有界區(qū)域有界區(qū)域否則，稱為否則，稱為都是閉區(qū)域都是閉區(qū)域 .,41

6、),( 22 yxyx0),( yxyx如如總可以被包圍在一個以原點(diǎn)為中心、總可以被包圍在一個以原點(diǎn)為中心、有限大的圓內(nèi)的區(qū)域有限大的圓內(nèi)的區(qū)域, 稱為稱為半徑半徑閉區(qū)域閉區(qū)域.有界區(qū)域有界區(qū)域.無界區(qū)域無界區(qū)域. 思考：思考：點(diǎn)集點(diǎn)集 1),(xyx是區(qū)域嗎？是區(qū)域嗎？10OxyOxyOxy Oxy有界開區(qū)域有界開區(qū)域有界半開半閉區(qū)域有界半開半閉區(qū)域有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域無界閉區(qū)域無界閉區(qū)域11二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念1. 二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義引例引例 圓柱體的體積圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強(qiáng)定量理想氣體的壓強(qiáng),2hrV,(為常數(shù)）RVTRp 0, 0),(hrhr0,

7、 0),(TTVTVhr12定義定義1 設(shè)非空點(diǎn)集設(shè)非空點(diǎn)集,RnD 點(diǎn)集點(diǎn)集 D 稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的定義域定義域；數(shù)集數(shù)集DP,Pfuu)(稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的值域值域 . .特別地特別地 , 當(dāng)當(dāng) n = 2 時時, 有二元函數(shù)有二元函數(shù)2R),(),(Dyxyxfz映射映射R:Df稱為定義稱為定義在在 D 上的上的 n 元函數(shù)元函數(shù) , ,記作記作1212(,),(,)nnnuf xxxxxxR(),uf PPD 或或 稱稱 u 為為因變量因變量, ,稱稱 為為自變量自變量, ,12,nxxx13二元及二元以上的函二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為數(shù)統(tǒng)稱為(2) 多元函數(shù)定義域多元函數(shù)定義域定

8、義域為定義域為符合實際意義符合實際意義的的自變量取值的全體自變量取值的全體.記為記為 函數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的函數(shù)值處的函數(shù)值),(yxfz 000(,)P xy),(00yxf).(0Pf或或類似類似, 可定義可定義n元函數(shù)元函數(shù).多元函數(shù)多元函數(shù). .實際問題中的函數(shù)實際問題中的函數(shù):自變量取值的全體自變量取值的全體.純數(shù)學(xué)問題的函數(shù)純數(shù)學(xué)問題的函數(shù): 定義域為使定義域為使運(yùn)算有意義運(yùn)算有意義的的14例例 求下面函數(shù)的定義域求下面函數(shù)的定義域解解Oxy無界閉區(qū)域無界閉區(qū)域xyz . 1和和 00yx 00yx即定義域為即定義域為, 0 xy15 1解解Oxy12. 22222 yxyxxz

9、1)1(22 yx定義域是定義域是122 yx且且有界半開半閉區(qū)域有界半開半閉區(qū)域162. 二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的幾何意義 研究單值函數(shù)研究單值函數(shù)二元函數(shù)的圖形通常是一張二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面曲面.),(yxfz DxyzOM xyP17三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限 討論二元函數(shù)討論二元函數(shù) 怎樣描述呢怎樣描述呢? Oxy (1) P(x, y)趨向于趨向于P0(x0, y0)的的),(yxfz .),(),(000時的極限時的極限即即yxPyxP回憶回憶: 一元函數(shù)的極限一元函數(shù)的極限 路徑又是多種多樣的路徑又是多種多樣的.注注,00yyxx當(dāng)當(dāng)方向有任意多個方向有任意

10、多個, ),(00yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx ),(00yx),(yx),(yx),(yxOxy18定義定義2 2Ayxfyyxx ),(lim00Ayxfyxyx ),(lim),(),(00記為記為或或。 19 說明說明(1) 定義中定義中0PP (2) 二元函數(shù)的極限也叫二元函數(shù)的極限也叫),(lim00yxfyyxx(double limit)的方式是任意的；的方式是任意的；二重極限二重極限.20 相同點(diǎn)相同點(diǎn) 多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限的多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限的一元函數(shù)一元函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在的充要在某點(diǎn)的極限存在的充要定義相同定義相

11、同.差異為差異為必須是點(diǎn)必須是點(diǎn)P在定義域內(nèi)以在定義域內(nèi)以任何方式和途徑任何方式和途徑趨趨而而多元函數(shù)多元函數(shù)于于P0時時,相同點(diǎn)相同點(diǎn)和和差異差異是什么是什么條件是條件是左右極限都左右極限都存在且相等存在且相等;都有極限都有極限,且相等且相等.)(Pf21確定極限確定極限不存在不存在的方法的方法則可斷言極限不存在則可斷言極限不存在;),(yxP令令若極限值與若極限值與 k 有關(guān)有關(guān),(1)(2)此時也可斷言此時也可斷言找兩種不同趨近方式找兩種不同趨近方式,使使但兩者不相等但兩者不相等,00( , )(,)lim( , )x yxyf x y處極限不存在處極限不存在.存在存在,在點(diǎn)在點(diǎn)),(y

12、xf),(000yxPkxy ),(000yxP趨向于趨向于沿直線沿直線22設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證明證明: :當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)P(x, y)沿沿x軸軸的方向的方向當(dāng)當(dāng)P(x, y)沿沿y軸軸的方向的方向00lim( ,0)xyf x 00lim(0, )yxfy 也有也有 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf證證22000lim0 xyxx 00lim0 x22000lim0yxyy 00lim0 y時，函數(shù)的極限不存在時，函數(shù)的極限不存在.( , )(0,0)x y 無限接近點(diǎn)無限接近點(diǎn)(0,0)時時,同樣同樣,無限接近點(diǎn)無限接近點(diǎn)(0,0)時時,例例23函數(shù)的極限存在且相等函數(shù)的極限存在且

13、相等.當(dāng)當(dāng)P(x, y) 沿直線沿直線 y = kx 的方向的方向22( , )(0,0)limx yxyxy 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化的不同而變化. 所以所以,極限不存在極限不存在說明函數(shù)取上面兩個說明函數(shù)取上面兩個無限接近無限接近于點(diǎn)于點(diǎn)(0,0)時時,另一方面另一方面,無限接近點(diǎn)無限接近點(diǎn)(0,0)時時,特殊方向特殊方向24四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) 則稱函數(shù)則稱函數(shù)定義定義3 3),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx P0(x0, y0)為為D的聚點(diǎn)的聚點(diǎn), 且且 P0D.如果如果連

14、續(xù)連續(xù).),(),(000yxPyxf在點(diǎn)在點(diǎn) 的定義域為的定義域為D, ),()(yxfPf 如果函數(shù)在如果函數(shù)在 D 上上各點(diǎn)處各點(diǎn)處都連續(xù)都連續(xù), ,則稱此函數(shù)則稱此函數(shù)在在D 上連續(xù)上連續(xù). .否則稱為否則稱為不連續(xù)不連續(xù), ,0P此時此時稱為稱為D 的的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) . .25在單位圓在單位圓122 yx處處是處處是間斷點(diǎn)間斷點(diǎn).2211sin),(yxyxf 函數(shù)函數(shù) (0,0)點(diǎn)是該函數(shù)的點(diǎn)是該函數(shù)的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn). 函數(shù)函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf 不同在哪不同在哪?想一想想一想 二元函數(shù)的間斷性與一元函數(shù)的間斷性二元函數(shù)的間斷性與一元函數(shù)的間斷性2

15、6稱為多元初等函數(shù)稱為多元初等函數(shù),積、商（分母不為零）及復(fù)合仍是連續(xù)的積、商（分母不為零）及復(fù)合仍是連續(xù)的.同一元函數(shù)一樣同一元函數(shù)一樣, 多元連續(xù)函數(shù)的和、差、多元連續(xù)函數(shù)的和、差、每個自變量的基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則每個自變量的基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合運(yùn)算和有限次復(fù)合,由一個式子表達(dá)的函數(shù)由一個式子表達(dá)的函數(shù)處均連續(xù)處均連續(xù).在它們的定義域的內(nèi)點(diǎn)在它們的定義域的內(nèi)點(diǎn)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。27有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域上上連續(xù)連續(xù)的多元函數(shù)的性質(zhì)的多元函數(shù)的性質(zhì)有界，且能取得它的最大值和最小值有界，且能取得它的最大值和最小

16、值(1) 最大值和最小值定理最大值和最小值定理(2) 介值定理介值定理在在有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域D上的上的多元連續(xù)函數(shù)多元連續(xù)函數(shù), ,必定在必定在D上上在在有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域D上的上的多元連續(xù)函數(shù)多元連續(xù)函數(shù), ,必取得必取得介于最大值和最小值之間的任何值值介于最大值和最小值之間的任何值值. .28多元函數(shù)的極限的基本問題多元函數(shù)的極限的基本問題(1) 研究二元函數(shù)極限的存在性研究二元函數(shù)極限的存在性.常研究常研究若其依賴于若其依賴于k, 則則欲證明極限存在欲證明極限存在,*特別對于特別對于*( , )(0,0)lim( , ),x yf x y不存在不存在.常用定義或夾逼定理常用定義或夾逼

17、定理.欲證明極限不存在欲證明極限不存在(通過觀察、猜測通過觀察、猜測),常選擇兩條不同路徑常選擇兩條不同路徑, 求出不同的極限值求出不同的極限值.(2) 求極限值求極限值. 常按一元函數(shù)極限的求法求之常按一元函數(shù)極限的求法求之.(羅必達(dá)法則除外羅必達(dá)法則除外),(limyxf0 x0 kxy( , )(0,0)lim( , ),x yf x y29例例1 求求解解 由積的極限運(yùn)算法則，得由積的極限運(yùn)算法則，得( , )(0,3)sin()lim.x yxyx( , )(0,3)sin()limx yxyx 03sin()lim.lim3.xyyxyyxy( , )(0,3)sin()lim.x

18、 yxyyxy 30例例2 2 求極限求極限 .42lim00 xyxyyx解解 將將分母有理化分母有理化, ,得得 42lim00 xyxyyxxyxyxyyx )42(lim00)42(lim00 xyyx4 31例例3 求求解解 將將分子有理化分子有理化,得得 ( , )(0,0)11lim.x yxyxy ( , )(0,0)11lim.211x yxy( , )(0,0)11lim(11)x yxyxyxy ( , )(0,0)11limx yxyxy 32極限極限 是否存在？是否存在？242( , )(0,0)limx yx yxy 取取,kxy 解解242yxyx ),(lim0yxfkxyx當(dāng)當(dāng)P(x,y)沿沿x軸的方向無限接近點(diǎn)軸的方向無限接近點(diǎn)(0,0)時時, 當(dāng)當(dāng)P(x,y)沿沿y軸的方向無限接近點(diǎn)軸的方向無限接近點(diǎn)(0,0)時時,)0 ,(lim0 xfx0 222243kxkxxkxkx ), 0(lim0yfy0 0lim220 kxkxkxyx33五、小結(jié)五、小結(jié)多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限多元函數(shù)連續(xù)性多元函數(shù)連續(xù)性有界閉區(qū)域上連續(xù)多元函數(shù)的性質(zhì)有界閉區(qū)域上連續(xù)多元函數(shù)的性質(zhì)(與一元函數(shù)的極限加以比較與一元函數(shù)的極限加以比較:注意相同點(diǎn)與差異注意相同點(diǎn)與