數(shù)學(xué)物理方法課程教學(xué)大綱

1、 數(shù)學(xué)物理方法 課程教學(xué)大綱一、課程說(shuō)明（一）課程名稱：數(shù)學(xué)物理方法所屬專業(yè)：物理、應(yīng)用物理專業(yè)課程性質(zhì)：數(shù)學(xué)、物理學(xué)學(xué) 分：5（二）課程簡(jiǎn)介、目標(biāo)與任務(wù) 這門(mén)課主要講授物理中常用的數(shù)學(xué)方法，主要內(nèi)容包括線性空間和線性算符、復(fù)變函數(shù)、積分變換和-函數(shù)、數(shù)學(xué)物理方程和特殊函數(shù)等，適當(dāng)介紹近年來(lái)的新發(fā)展、新應(yīng)用。本門(mén)課程是物理系學(xué)生建立物理直觀的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其中很多內(nèi)容是為后續(xù)物理課程如量子力學(xué)、電動(dòng)力學(xué)等服務(wù)，是其必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。這門(mén)課中的一些數(shù)學(xué)手段將在今后的基礎(chǔ)研究和工程應(yīng)用中發(fā)揮重要的作用，往往構(gòu)成了相應(yīng)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。一般來(lái)講，因?yàn)橥瑯拥姆匠逃型瑯拥慕?，掌握和運(yùn)用這些數(shù)學(xué)方法所體現(xiàn)的物理內(nèi)

2、容將更深入，更本質(zhì)。（三）先修課程要求，與先修課與后續(xù)相關(guān)課程之間的邏輯關(guān)系和內(nèi)容銜接本課程以普通物理、高等數(shù)學(xué)和部分線性代數(shù)知識(shí)為基礎(chǔ)，為后繼的基礎(chǔ)課程和專業(yè)課程研究有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題作準(zhǔn)備，也為今后工作中遇到的數(shù)學(xué)物理問(wèn)題求解提供基礎(chǔ)。（四）教材：數(shù)學(xué)物理方法楊孔慶編參考書(shū)：1. 數(shù)學(xué)物理方法柯朗、希爾伯特著 2. 特殊函數(shù)概論王竹溪、郭敦仁編著 3. 物理中的數(shù)學(xué)方法李政道著 4. 數(shù)學(xué)物理方法梁昆淼編 5. 數(shù)學(xué)物理方法郭敦仁編 6. 數(shù)學(xué)物理方法吳崇試編二、課程內(nèi)容與安排第一部分 線性空間及線性算子第一章 R3 空間的向量分析第一節(jié) 向量的概念第二節(jié) R3 空間的向量代數(shù)第三節(jié) R3 空

3、間的向量分析第四節(jié) R3 空間的向量分析的一些重要公式第二章 R3 空間曲線坐標(biāo)系中的向量分析第一節(jié) R3 空間中的曲線坐標(biāo)系第二節(jié) 曲線坐標(biāo)系中的度量第三節(jié) 曲線坐標(biāo)系中標(biāo)量場(chǎng)梯度的表達(dá)式第四節(jié) 曲線坐標(biāo)系中向量場(chǎng)散度的表達(dá)式第五節(jié) 曲線坐標(biāo)系中向量場(chǎng)旋度的表達(dá)式第六節(jié) 曲線坐標(biāo)系中Laplace（拉普拉斯）算符2的表達(dá)式第三章 線性空間第一節(jié) 線性空間的定義第二節(jié) 線性空間的內(nèi)積第三節(jié) Hilbert（希爾伯特）空間第四節(jié) 線性算符第五節(jié) 線性算符的本征值和本征向量第二部分 復(fù)變函數(shù)第四章 復(fù)變函數(shù)的概念第一節(jié) 映射第二節(jié) 復(fù)數(shù)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)第五章 解析函數(shù)第一節(jié) 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第二節(jié)

4、復(fù)變函數(shù)的解析性第三節(jié) 復(fù)勢(shì)第四節(jié) 解析函數(shù)變換第六章 復(fù)變函數(shù)積分第一節(jié) 復(fù)變函數(shù)的積分第二節(jié) Cauchy（柯西）積分定理第三節(jié) Cauchy（柯西）積分公式第四節(jié) 解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的積分表達(dá)式第七章 復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)第一節(jié) 復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)第二節(jié) 解析函數(shù)的Taylor（泰勒）展開(kāi)第三節(jié) Taylor展開(kāi)的理論應(yīng)用第四節(jié) 解析函數(shù)的Laurent（洛朗）展開(kāi)第八章 留數(shù)定理第一節(jié) 留數(shù)定理第二節(jié) 留數(shù)的一般求法第三節(jié) 解析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)第四節(jié) 留數(shù)定理在定積分中的應(yīng)用第五節(jié) Hilbert（希爾伯特）變換第三部分 積分變換與函數(shù)第九章 Fourier（傅里葉）變換第一節(jié) Fourie

5、r級(jí)數(shù)第二節(jié) Fourier變換第三節(jié) Fourier變換的基本性質(zhì)第十章 Laplace（拉普拉斯）變換第一節(jié) Laplace變換第二節(jié) Laplace變換基本性質(zhì)第三節(jié) Laplace變換的應(yīng)用第四節(jié) 關(guān)于Laplace變換的反演第十一章 -函數(shù)第一節(jié) -函數(shù)的定義第二節(jié) -函數(shù)的性質(zhì)第三節(jié) -函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第四節(jié) 三維-函數(shù)第五節(jié) -函數(shù)的Fourier變換和Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)第四部分 數(shù)學(xué)物理方程第十三章 波動(dòng)方程、輸運(yùn)方程、Poisson（泊松）方程及其定解問(wèn)題第一節(jié) 二階線性偏微分方程的普遍形式第二節(jié) 波動(dòng)方程及其定解條件第三節(jié) 輸運(yùn)方程及其定解條件第四節(jié) Poisson方程及其定

6、解條件第五節(jié) Laplace方程和調(diào)和函數(shù)第六節(jié) 三類方程定解問(wèn)題小結(jié)第十四章 分離變量法第一節(jié) 齊次方程齊次邊界條件下的分離變量法第二節(jié) SturmLiouville（斯特姆-劉維爾）本征值問(wèn)題第三節(jié) 非齊次方程齊次邊界條件下的分離變量法第四節(jié) 非齊次邊界條件下的分離變量法第五節(jié) 分離變量法小結(jié)第十五章 曲線坐標(biāo)系下方程的分離變量第一節(jié) 球坐標(biāo)系下方程的分離變量第二節(jié) 柱坐標(biāo)系下方程的分離變量第三節(jié) 二階線性常微分方程的級(jí)數(shù)解法第十六章 球函數(shù)第一節(jié) Legendre（勒讓德）多項(xiàng)式第二節(jié) Legendre多項(xiàng)式的性質(zhì)第三節(jié) 具有軸對(duì)稱的Laplace方程的求解第四節(jié) 連帶Legendre函

7、數(shù)第五節(jié) 球函數(shù)第十七章 柱函數(shù)第一節(jié) Bessel（貝塞爾）函數(shù)第二節(jié) Bessel函數(shù)的遞推關(guān)系第三節(jié) 柱函數(shù)的定義第四節(jié) 整數(shù)階Bessel函數(shù)Jn( x )的生成函數(shù)第五節(jié) Bessel方程的本征值問(wèn)題第六節(jié) 球Bessel函數(shù)*第十八章 Green（格林）函數(shù)法第一節(jié) 微分算子的基本解和Green函數(shù)的定義第二節(jié) Laplace算子的基本解第三節(jié) Laplace算子的Green函數(shù)第四節(jié) Laplace算子的鏡像Green函數(shù)法第五節(jié) Helmhotz（霍姆赫茲）算子的基本解第六節(jié) 輸運(yùn)算子的Green函數(shù)第七節(jié) 波動(dòng)算子的基本解（一） 教學(xué)內(nèi)容與學(xué)時(shí)分配本課程講授90學(xué)時(shí)（不包括習(xí)

8、題課）。學(xué)時(shí)分配及進(jìn)度表周次內(nèi)容講授學(xué)時(shí)第一周-第四周第一章 R3 空間的向量分析§1.1 向量的概念 §1.2 R3空間的向量代數(shù)§1.3 R3空間的向量分析 §1.4 R3空間的向量分析的一些重要公式第二章 R3 空間曲線坐標(biāo)系中的向量分析§2.1 R3空間中的曲線坐標(biāo)系§2.2 曲線坐標(biāo)系中的度量§2.3 曲線坐標(biāo)系中標(biāo)量場(chǎng)梯度的表達(dá)式§2.4 曲線坐標(biāo)系中向量場(chǎng)散度的表達(dá)式§2.5 曲線坐標(biāo)系中向量場(chǎng)旋度的表達(dá)式§2.6 曲線坐標(biāo)系中Laplace（拉普拉斯）算符2的表達(dá)式第三章 線性空

9、間§3.1 線性空間的定義§3.2 線性空間的內(nèi)積§3.3 Hilbert（希爾伯特）空間§3.4 線性算符§3.5 線性算符的本征值和本征向量20第五周-第六周第四章 復(fù)變函數(shù)的概念§4.1 映射§4.2 復(fù)數(shù)§4.3 復(fù)變函數(shù) 第五章 解析函數(shù)§5.1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)§5.2 復(fù)變函數(shù)的解析性§5.3 復(fù)勢(shì)§5.4 解析函數(shù)變換第六章 復(fù)變函數(shù)積分§6.1 復(fù)變函數(shù)的積分§6.2 Cauchy（柯西）積分定理§6.3 Cauchy（柯西）積分

10、公式§6.4 解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的積分表達(dá)式10第七周-第九周第七章 復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)§7.1 復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)§7.2 解析函數(shù)的Taylor（泰勒）展開(kāi)§7.3 Taylor展開(kāi)的理論應(yīng)用§7.4 解析函數(shù)的Laurent（洛朗）展開(kāi)第八章 留數(shù)定理§8.1 留數(shù)定理§8.2 留數(shù)的一般求法§8.3 解析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)§8.4 留數(shù)定理在定積分中的應(yīng)用§8.5 Hilbert（希爾伯特）變換15第十周-第十二周第九章 Fourier（傅里葉）變換§9.1 Fourier級(jí)數(shù)

11、67;9.2 Fourier變換§9.3 Fourier變換的基本性質(zhì)第十章 Laplace（拉普拉斯）變換§10.1 Laplace變換§10.2 Laplace變換基本性質(zhì)§10.3 Laplace變換的應(yīng)用§10.4 關(guān)于Laplace變換的反演第十一章 -函數(shù)§11.1 -函數(shù)的定義§11.2 -函數(shù)的性質(zhì)§11.3 -函數(shù)的導(dǎo)數(shù)§11.4 三維-函數(shù)§11.5 -函數(shù)的Fourier變換和Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)15第十三周-第十五周第十三章 波動(dòng)方程、輸運(yùn)方程、Poisson（泊松）方

12、程及其定解問(wèn)題§12.1 二階線性偏微分方程的普遍形式§12.2 波動(dòng)方程及其定解條件§12.3 輸運(yùn)方程及其定解條件§12.4 Poisson方程及其定解條件§12.5 Laplace方程和調(diào)和函數(shù)§12.6 三類方程定解問(wèn)題小結(jié)第十四章 分離變量法§13.1 齊次方程齊次邊界條件下的分離變量法§13.2 SturmLiouville（斯特姆-劉維爾）本征值問(wèn)題§13.3 非齊次方程齊次邊界條件下的分離變量法§13.4 非齊次邊界條件下的分離變量法§13.5 分離變量法小結(jié)第十五章

13、曲線坐標(biāo)系下方程的分離變量§14.1 球坐標(biāo)系下方程的分離變量§14.2 柱坐標(biāo)系下方程的分離變量§14.3 二階線性常微分方程的級(jí)數(shù)解法15第十六周-第十八周第十六章 球函數(shù)§15.1 Legendre（勒讓德）多項(xiàng)式§15.2 Legendre多項(xiàng)式的性質(zhì)§15.3 具有軸對(duì)稱的Laplace方程的求解§15.4 連帶Legendre函數(shù)§15.5 球函數(shù)第十七章 柱函數(shù)§16.1 Bessel（貝塞爾）函數(shù)§16.2 Bessel函數(shù)的遞推關(guān)系§16.3 柱函數(shù)的定義§

14、16.4 整數(shù)階Bessel函數(shù)Jn( x )的生成函數(shù)§16.5 Bessel方程的本征值問(wèn)題§16.6 球Bessel函數(shù)*第十八章 Green（格林）函數(shù)法§18.1 微分算子的基本解和Green函數(shù)的定義§18.2 Laplace算子的基本解§18.5 Helmhotz（霍姆赫茲）算子的基本解§18.6 輸運(yùn)算子的Green函數(shù)§18.7 波動(dòng)算子的基本解15（二） 內(nèi)容及基本要求第一章R3空間的向量分析主要內(nèi)容：1. R3空間中的向量分析（§1.1） 2. R3空間中的向量代數(shù)與分析（§1.2、

15、§1.3） 3. R3空間中的向量分析的一些重要公式（§1.4） 【掌握】 1.向量的概念及運(yùn)算規(guī)則；2.Einstein求和約定、Kronecker delta符號(hào)ij及Levicivita符號(hào)ijk的用法；3.標(biāo)量場(chǎng)、向量場(chǎng)的定義及“del”算符的定義；4.R3空間中向量分析的一些基本運(yùn)算公式及其推導(dǎo)方法； 【了解】 標(biāo)量場(chǎng)的梯度、向量場(chǎng)的散度和旋度的定義。第二章R3空間曲線坐標(biāo)系中的向量分析主要內(nèi)容：1.R3空間中的曲線坐標(biāo)系及其度量（§2.1）（§2.2） 2.曲線坐標(biāo)系中標(biāo)量場(chǎng)的梯度（§2.3） 3.曲線坐標(biāo)系中向量場(chǎng)的散度、旋度（&

16、#167;2.4）（§2.5） 4.曲線坐標(biāo)系中Laplace算符2（§2.6） 【掌握】 1.R3空間曲線坐標(biāo)系度量的概念及含義；2.曲線坐標(biāo)系中標(biāo)量場(chǎng)梯度的表達(dá)式；3.曲線坐標(biāo)系中向量場(chǎng)散度的表達(dá)式；4.曲線坐標(biāo)系中向量場(chǎng)旋度的表達(dá)式；5.曲線坐標(biāo)系中Laplace算符2的表達(dá)式。 【了解】梯度、散度、旋度及Laplace算符2在正交曲線坐標(biāo)系中表達(dá)式的推導(dǎo)過(guò)程，并能由此推出在直角坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系及柱坐標(biāo)系中的表達(dá)式。第三章線性空間主要內(nèi)容：1.線性空間的定義及其內(nèi)積（§3.1）（§3.2） 2.Hilbert空間的定義（§3.3） 3.常

17、見(jiàn)線性算符（§3.4） 4.線性算符的本征值與本征向量（§3.5） 【掌握】 1.線性空間的定義以及內(nèi)積和內(nèi)積空間的定義；2.Hilbert（希爾伯特）空間的定義；3.向量空間中線性算符及線性變換的定義，幾種簡(jiǎn)單的線性算符的形式；4.線性算符的本征值及本征向量的定義及物理意義；5.本征值與本征向量的求解。 【了解】 1.施密特正交歸一化方法；2.幾種線性算符的證明過(guò)程。第四章復(fù)變函數(shù)的概念主要內(nèi)容：1.映射的概念（§4.1） 2.復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)（§4.2）（§4.3） 【掌握】： 1.映射的定義，掌握復(fù)變數(shù)、復(fù)變函數(shù)及區(qū)域的概念； 2.無(wú)窮運(yùn)點(diǎn)

18、的定義； 3.幾種常見(jiàn)的初等函數(shù)的定義及性質(zhì)； 4.復(fù)數(shù)的幾何表示及其他表達(dá)式?！玖私狻浚?1.復(fù)數(shù)的定義及其運(yùn)算法則； 2.函數(shù)的多值性及處理辦法； 3.復(fù)球面的概念。第五章解析函數(shù)主要內(nèi)容：1.復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與解析性和復(fù)勢(shì)的概念（§5.1、§5.2、§5.3） 2.解析函數(shù)變換（§5.4） 【掌握】1.復(fù)變函數(shù)的極限及連續(xù)性的定義，導(dǎo)數(shù)的定義及求導(dǎo)的基本公式和規(guī)則；2.解析函數(shù)的定義、條件及解析函數(shù)實(shí)虛部的關(guān)系；【了解】1.復(fù)勢(shì)的概念； 2.保角（共型）變換的概念；第六章復(fù)變函數(shù)積分主要內(nèi)容：1.復(fù)變函數(shù)的積分（§6.1）（§6.2

19、） 2.Cauchy（柯西）積分定理及其公式（§6.3） 3.解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的積分表達(dá)式（§6.4） 【掌握】：1.復(fù)變函數(shù)積分的定義； 2. 利用Cauchy積分定理求解某些回路積分?！玖私狻浚?1.復(fù)變函數(shù)積分的某些性質(zhì)；2.柯西積分公式的推導(dǎo)； 3.多連通區(qū)域柯西積分定理的推導(dǎo)。第七章復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)主要內(nèi)容：1.復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)（§7.1） 2.解析函數(shù)的Taylor（泰勒）展開(kāi)（§7.2） 3.Taylor展開(kāi)的理論應(yīng)用（§7.3） 4.解析函數(shù)的Laurent（洛朗）展開(kāi)（§7.4） 【掌握】1.冪級(jí)數(shù)的定義及收斂的概念

20、，2.解析函數(shù)的Taylor展開(kāi)及Laurent展開(kāi)的概念和展開(kāi)方法； 3.函數(shù)孤立奇點(diǎn)的定義、奇點(diǎn)的類型、階數(shù)和特點(diǎn)； 4.復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)的定義及收斂性的概念，收斂判據(jù)及收斂性質(zhì)，掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的性質(zhì)。 【了解】 1.最大模定理；2.Liouville定理。第八章留數(shù)定理主要內(nèi)容：1.留數(shù)定理及其一般求法（§8.1、§8.2） 2.留數(shù)定理在實(shí)積分中的應(yīng)用（§8.4） 3.希爾伯特變換（§8.5） ， 【掌握】1.留數(shù)定理的概念；2.極點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算方法； 3.型積分、型積分、型積分、實(shí)軸上有單極點(diǎn)的函數(shù)積分的特點(diǎn)及計(jì)算方法?！玖私狻?.利用留數(shù)定理計(jì)

21、算某些其他類型積分的方法；2.解析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)除的留數(shù)； 3.希爾伯特變換。第九章Fourier變換主要內(nèi)容：1.Fourier級(jí)數(shù)與變換（§9.1、§9.2） 2.Fourier變換的基本性質(zhì)（§9.3） 【掌握】有理分式的反演方法、延遲定理、位移定理、卷積定理。 【了解】延遲定理、位移定理及卷積定理。第十章Laplace變換主要內(nèi)容：1.Laplace變換與其基本性質(zhì)（§10.1、§10.2） 2.Laplace變換的反演（§10.3） 3.Laplace變換的應(yīng)用（§10.4） 【掌握】延遲定理、位移定理及卷積定理。

22、 【了解】普遍反演公式。第十一章函數(shù)主要內(nèi)容：1.函數(shù)的定義與性質(zhì)（§11.1、§11.2） 2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和三維函數(shù)（§11.3、§11.4） 3.函數(shù)的Fourier變換及Laplace變換（§11.5） 【掌握】1.-函數(shù)的定義及性質(zhì)；2.-函數(shù)的意義； 【了解】1.-函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；2.普遍反演公式； 3.-函數(shù)的其他表達(dá)式。第十三章波動(dòng)方程、輸運(yùn)方程、泊松方程及其定解問(wèn)題主要內(nèi)容：1.二階線性偏微分方程的普遍形式（§12.1） 2.波動(dòng)方程及其定解條件（§12.2） 3.輸運(yùn)方程及其定解條件（§12.3） 4

23、.泊松方程及其定解條件（§12.4） 5.三類方程定解問(wèn)題小結(jié)（§12.6） 【掌握】1.比較簡(jiǎn)單的幾類定解條件的形式及意義，問(wèn)題適定性的意義；2.將某物理問(wèn)題通過(guò)建立模型，利用物理規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)物理方程的基本方法。【了解】數(shù)學(xué)物理方程(如弦的橫振動(dòng)方程、桿的縱振動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程、膜的橫振動(dòng)方程、電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程等)的推導(dǎo)過(guò)程。第十四章分離變量法主要內(nèi)容：1.直角坐標(biāo)系中利用分離變量法求解方程（§13.1）（1.5學(xué)時(shí)） 2.Sturm-Liouville型方程的本征值問(wèn)題（§13.2）（1.5學(xué)時(shí)） 3.不同邊界條件下的分離變量法（§13.

24、3、§13.4） 【掌握】1.通過(guò)求解有界空間的定解問(wèn)題掌握分離變量（Fourier級(jí)數(shù)）法的基本要點(diǎn)；2.非齊次方程齊次邊界條件下的分離變量法；3.非齊次邊界條件下的分離變量法；4.利用Fourier積分法求解無(wú)界空間的定解問(wèn)題?！玖私狻縎turm-Liouville型方程的本征值問(wèn)題第十五章 曲線坐標(biāo)系下方程的分離變量法主要內(nèi)容：1.Laplace方程在球坐標(biāo)系下的分離變量（§14.1） 2.球坐標(biāo)系下的分離變量（§14.1） 3.自Helmhotz方程導(dǎo)出Bessel方程（§14.2） 4.二階線性常微分方程的級(jí)數(shù)解法（§14.3） 【掌

25、握】 1.球坐標(biāo)系下Laplace方程得出徑向方程與球函數(shù)方程的過(guò)程；2.柱坐標(biāo)系下的分離變量過(guò)程；3.方程正常點(diǎn)與奇點(diǎn)的概念和含義；4.指數(shù)方程的概念和含義。 【了解】 Helmhotz方程在球坐標(biāo)下的分離變量。第十六章 球函數(shù)主要內(nèi)容：1.Legendre多項(xiàng)式的定義、來(lái)源與主要性質(zhì)（§15.1、§15.2） 2.具有軸對(duì)稱的Laplace方程的求解（§15.3） 3.連帶Legendre函數(shù)的定義與性質(zhì)（§15.4） 4.一般球函數(shù)的性質(zhì)（§15.5） 【掌握】 1.Legendre多項(xiàng)式的來(lái)源；2.Legendre多項(xiàng)式一般形式；3.Legendre多項(xiàng)式的微分表達(dá)式和生成函數(shù)；4.Legendre多項(xiàng)式的遞推公式；5.