初中九年級(jí)數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教案：動(dòng)態(tài)幾何之定值問(wèn)題探討

1、【2021 年中考攻略】專題3：動(dòng)態(tài)幾何之定值問(wèn)題探討動(dòng)態(tài)題是近年來(lái)中考的的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，動(dòng)態(tài)包括點(diǎn)動(dòng)、 線動(dòng)和面動(dòng)三大類，解這類題目要 “以靜制動(dòng) ”，即把動(dòng)態(tài)問(wèn)題， 變?yōu)殪o態(tài)問(wèn)題來(lái)解，而靜態(tài)問(wèn)題又是動(dòng)態(tài)問(wèn)題的特別情形； 常見(jiàn)的題型包括最值問(wèn)題、面積問(wèn)題、和差問(wèn)題、定值問(wèn)題和存在性問(wèn)題等；前面我們已經(jīng)對(duì)最值問(wèn)題、面積問(wèn)題、和差問(wèn)題進(jìn)行了探討，本專題對(duì)定值問(wèn)題進(jìn)行探討；結(jié)合 2021 年和 2021 年全國(guó)各地中考的實(shí)例，我們從三方面進(jìn)行動(dòng)態(tài)幾何之定值問(wèn)題的 探討：（ 1）線段（和差）為定值問(wèn)題；（ 2）面積（和差）為定值問(wèn)題；（ 3）其它定值問(wèn)題；一、線段（和差）為定值問(wèn)題：典型例題：例 1

2、：（ 2021 黑龍江綏化8 分）如圖，點(diǎn) e 是矩形 abcd的對(duì)角線bd 上的一點(diǎn)， 且 be=bc ，ab=3 ， bc=4 ，點(diǎn) p 為直線 ec 上的一點(diǎn)，且pqbc 于點(diǎn) q， pr bd 于點(diǎn) r（1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) p 為線段 ec 中點(diǎn)時(shí)，易證：pr+pq=12 （不需證明）5（2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) p 為線段 ec 上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)e、點(diǎn) c 重合）時(shí)，其它條件不變，就（ 1）中的結(jié)論是否仍舊成立？如成立，請(qǐng)賜予證明；如不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由（3）如圖 3，當(dāng)點(diǎn) p 為線段 ec 延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，就pr 與 pq 之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜

3、想【答案】 解：（ 2）圖 2 中結(jié)論 prpq= 12 仍成立；證明如下：5連接 bp，過(guò) c 點(diǎn)作 ck bd 于點(diǎn) k ；四邊形abcd 為矩形，bcd=9°0；又 cd=ab=3 ，bc=4 ， bdcd 2bc 232425 ；s1bcd =21bc.cd=212bd.ck ， 3×4=5ck ， ck=；5s bcp，s1bce =2be.ck ， s1bep=2pr.be， s1bcp=2pq.bc，且sbce=sbep 1 be.ck= 122pr.be 12pq.bc；又 be=bc ， 121ck=21pr2pq； ck=pr pq；又 ck= 12 ，

4、 pr pq= 12 ；55（ 3）圖 3 中的結(jié)論是pr pq= 12 5【考點(diǎn)】 矩形的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理；【分析】（ 2）連接 bp，過(guò) c 點(diǎn)作 ck bd 于點(diǎn) k 依據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理求出 bd 的長(zhǎng)，依據(jù)三角形面積相等可求出 ck 的長(zhǎng)，最終通過(guò)等量代換即可證明；（3）圖 3 中的結(jié)論是pr pq=125 ；連接 bp ， s bpe s bcp=sbec ， s bec 是固定值， be=bc為兩個(gè)底， pr， pq 分別為高，從而pr pq= 12 ；5例 2：（ 2021 江西省 10 分） 如圖， 已知二次函數(shù)l 1：y=x 2 4x+3 與 x 軸交于 a

5、 b 兩點(diǎn)（點(diǎn)a 在點(diǎn) b 左邊），與 y 軸交于點(diǎn)c（1）寫出二次函數(shù)l 1 的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）爭(zhēng)論二次函數(shù)l 2： y=kx 24kx+3k （ k0）寫出二次函數(shù)l2 與二次函數(shù)l 1 有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；是否存在實(shí)數(shù)k，使 abp 為等邊三角形？假如存在，懇求出k 的值；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如直線y=8k 與拋物線l 2 交于 e、 f 兩點(diǎn)，問(wèn)線段ef 的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？假如不會(huì)，懇求出 ef 的長(zhǎng)度；假如會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由2【答案】 解：（ 1）拋物線yx24x3x21，二次函數(shù)l 1 的開口向上，對(duì)稱軸是直線x=2 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)（2， 1）；（ 2）二次函數(shù)

6、l 2 與 l 1 有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)：對(duì)稱軸為x=2；都經(jīng)過(guò)a （ 1， 0），b （ 3， 0）兩點(diǎn)；存在實(shí)數(shù)k，使 abp 為等邊三角形2 ykx24kx3kk x2k ，頂點(diǎn)p（ 2， k ） a （1， 0）， b（ 3，0）， ab=2要使 abp 為等邊三角形，必滿意| k|=3 ， k=± 3 ；線段 ef 的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化；直線 y=8k 與拋物線l 2 交于 e、f 兩點(diǎn)， kx 2 4kx+3k=8k ， k0， x2 4x+3=8 ；解得： x 1= 1， x 2=5 ； ef=x 2x 1=6 ；線段 ef 的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化；【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合

7、題，二次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形；【分析】（ 1）拋物線y=ax2+bx+c 中： a 的值打算了拋物線的開口方向，a 0 時(shí)，拋物線的開口向上； a 0 時(shí)，拋物線的開口向下；拋物線的對(duì)稱軸方程和頂點(diǎn)坐標(biāo)，可化為頂點(diǎn)式或用公式求解；（ 2）新函數(shù)是由原函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)同時(shí)乘以k 所得，因此從二次函數(shù)的圖象與解析式的系數(shù)的關(guān)系入手進(jìn)行分析；當(dāng) abp 為等邊三角形時(shí)，p 點(diǎn)必為函數(shù)的頂點(diǎn)，第一表示出p 點(diǎn)縱坐標(biāo)，它的肯定值正好是等邊三角形邊長(zhǎng)的32倍，由此確定k 的值；聯(lián)立直線和拋物線l 2 的解析式，先求出點(diǎn)e、f 的坐標(biāo)，從而可表示出ef 的長(zhǎng)，如該長(zhǎng)度為定值，就線段ef

8、的長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化；例 3：（ 2021 山東德州 12 分） 如下列圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為 4 的正方形紙片 abcd ，點(diǎn) p 為正方形 ad 邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn) a 、點(diǎn) d 重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn) b 落在 p 處，點(diǎn)c 落在 g 處， pg 交 dc 于 h，折痕為 ef，連接 bp、bh （1）求證： apb= bph ；（2）當(dāng)點(diǎn) p 在邊 ad 上移動(dòng)時(shí)，pdh 的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè) ap 為 x，四邊形 efgp 的面積為s，求出 s 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，試問(wèn)s 是否存在最小值？如存在，求出這個(gè)最小值；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】 解：（ 1）如圖

9、1， pe=be， ebp= epb又 eph= ebc=90° ， eph epb= ebc ebp，即 pbc= bph；又 ad bc， apb= pbc； apb= bph；（ 2） phd 的周長(zhǎng)不變?yōu)槎ㄖ?；證明如下：如圖 2，過(guò) b 作 bq ph，垂足為q；由（ 1）知 apb= bph，又 a= bqp=9°0 ， bp=bp ， abp qbp （ aas ）； ap=qp ， ab=bq ；又 ab=bc ， bc=bq ；又 c= bqh=9°0， bh=bh ， bch bqh （ hl ）； ch=qh ； phd 的周長(zhǎng)為： pd+d

10、h+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8；（ 3）如圖 3，過(guò) f 作 fm ab ，垂足為m ，就 fm=bc=ab ；又 ef 為折痕， ef bp； efm+ mef= abp+ bef=90°； efm= abp ；又 a= emf=9°0， ab=me ， efm bpa （asa ）；em=ap=x 在 rt ape 中，（ 4 be）2+xx 222=be ，即be2+ x；28 cfbeem2+x ；8又四邊形pefg 與四邊形befc 全等，11x 21212 sbecfbc=4+x4=x2x+8=x2+6 ；22422 0 <1 <

11、4 ，當(dāng) x=2 時(shí)， s 有最小值6；2【考點(diǎn)】 翻折變換（折疊問(wèn)題） ，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值；【分析】（ 1）依據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出pbc= bph ，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出apb= pbc 即可得出答案；（ 2）先由 aas 證明 abp qbp，從而由hl 得出 bch bqh ，即可得ch=qh ；因此， pdh 的周長(zhǎng) =pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8為定值；（ 3）利用已知得出efm bpa ，從而利用在rt ape 中，（ 4 be） 2+x22=be ，利用二次函數(shù)的最值求出即可；例 4：（ 2

12、021 福建泉州12 分） 已知： a 、b、 c 不在同始終線上.（1）如點(diǎn) a 、b、 c 均在半徑為r 的 o 上，i ）如圖一，當(dāng)a=45°時(shí)， r=1，求 boc 的度數(shù)和bc 的長(zhǎng)度；bcii ）如圖二，當(dāng)a 為銳角時(shí)，求證sin a=；2r（2）.如定長(zhǎng)線段 bc 的兩個(gè)端點(diǎn)分別在man 的兩邊 am 、an （b 、c 均與點(diǎn) a 不重合）滑動(dòng)，如圖三，當(dāng)man=6°0，bc=2 時(shí)，分別作bpam ，cp an ，交點(diǎn)為點(diǎn)p ，摸索索：在整個(gè)滑動(dòng)過(guò)程中，p、a 兩點(diǎn)的距離是否保持不變？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】 解：（ 1） i） a=45°， boc

13、=90°（同弧所對(duì)的圓周角等于其所對(duì)的圓心角的一半）；又 r=1，由勾股定理可知bc=11=2 ；ii ）證明：連接bo 并延長(zhǎng)，交圓于點(diǎn)e，連接 ec；可知 ec bc （直徑所對(duì)的圓周角為90°），且 e= a （同弧所對(duì)的圓周角相等）；bcbc故 sin a=sin a=；be2r（ 2）保持不變；理由如下：如圖，連接ap ，取 ap 的中點(diǎn) k，連接 bk 、ck ，在 rt apc 中， ck= 12同理得： bk=ak=pk；ap=ak=pk ；ck=bk=ak=pk；點(diǎn) a、 b、p、c 都在 k 上；由（ 1） ii ） sin a= bc2r可知 sin6

14、0 °= bc ；apap=bc43sin603（為定值）；【考點(diǎn)】 三角形的外接圓與外心，圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，特別角的三角函數(shù)值，直角三角形中線性質(zhì)；【分析】（ 1）i ）依據(jù)圓周角定理得出boc=2 a=90°，再利用勾股定理得出bc 的長(zhǎng)；bcbc出即可；ii ）作直徑ce，就 e= a ， ce=2r，利用 sin a=sin e=，得be2r（ 2 ）第一證明點(diǎn)a 、 b 、 p 、 c都在 k上，再利用sin a= bc2r，得出ap=bc43sin603（定值）即可；例 5：（ 2021 山東濰坊11 分） 如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于

15、a 2， o 、b2 ， 0、 c0， l 三點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)o 的直線 y=kx 與拋物線交于m 、n 兩點(diǎn)分別過(guò)點(diǎn)c、d0 ，2 作平行于 x 軸的直線l1 、 l 2 1 求拋物線對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的解析式；2 求證以 on 為直徑的圓與直線l1 相切；3 求線段 mn 的長(zhǎng) 用 k 表示 ，并證明m 、n 兩點(diǎn)到直線l 2 的距離之和等于線段mn的長(zhǎng)【答案】 解：（ 1）設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的解析式為y=ax 2 bx c，14a2b+c=0就4a+2b+c=0 c=1a=4解得b=0；c=1拋物線對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的解析式所以y= 1 x 21；4（ 2）設(shè) mx 1， y1 ， nx 2 ，y2

16、，由于點(diǎn)m 、n 在拋物線上，12122 y1=x11，y 2 =x 21 ， x 2 =4y 2+1 ；442又 on22x 2y24 y221y 2y222， ony 22 ；又 y 2 l， on=2 y2；設(shè) on 的中點(diǎn) e，分別過(guò)點(diǎn)n、e 向直線l1 作垂線，垂足為 p、 f， 就efocnp 22y 2 ，2on=2ef ，即 on 的中點(diǎn)到直線l1 的距離等于on 長(zhǎng)度的一半，以 on 為直徑的圓與l 1 相切；（3）過(guò)點(diǎn)m作mh np交np于點(diǎn)h，就mn 2mh 2nh 22x 2x12y 2y1，又 y 1=kx 1， y 2=kx 2，（ y 2 y 12=k 2x 2x

17、 12； mn 2=1+k 2x 2 一 xl 2；又點(diǎn) m 、n 既在 y=kx 的圖象上又在拋物線上， kx=1 x 241 ，即 x2 4kx 4=0 ， x2 x1 =4k ， x2·x 1= 4；mn=41+k 2 ；2mn=1+k2x 2一x l2=1+k2x 2 xl 2 4x2 2；2·xl=161+k 延長(zhǎng) np 交 l 2 于點(diǎn) q，過(guò)點(diǎn) m 作 ms l 2 交 l 2 于點(diǎn) s，就 ms nq=y 2 y 2= 1 x 2121+41= 1x 2 +x 221+2=412x +x1+x 2412xx+2=16k 2 +8 +2=4k 2 +4=4 1

18、+k 2412412124 ms+nq=mn ，即 m 、n 兩點(diǎn)到l 2 距離之和等于線段mn 的長(zhǎng)；【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，中點(diǎn)坐標(biāo)的求法，直線與圓相切的條件，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，勾股定理；【分析】（ 1）依據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿意方程的關(guān)系，用待定系數(shù)法即可求出拋物線對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的解析式；（2）要證以on 為直徑的圓與直線l1 相切，只要證on 的中點(diǎn)到直線l1 的距離等于on 長(zhǎng)的一半即可；（3）運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出mn 和 m 、n 兩點(diǎn)到直線l 2 的距離之和，相比較即可；例 6：（ 2021 湖北咸寧10 分）

19、如圖 1，矩形 mnpq 中，點(diǎn) e，f，g，h 分別在 np，pq，qm ，mn 上，如1234 ，就稱四邊形efgh 為矩形 mnpq 的反射四邊形圖2，圖3，圖 4 中，四邊形abcd為矩形，且ab=4 ，bc=8 懂得與作圖：（ 1）在圖 2，圖 3 中，點(diǎn) e， f 分別在 bc， cd 邊上，試?yán)谜叫尉W(wǎng)格在圖上作出矩形 abcd 的反射四邊形efgh 運(yùn)算與猜想：（ 2）求圖 2，圖 3 中反射四邊形efgh 的周長(zhǎng)，并猜想矩形abcd的反射四邊形的周長(zhǎng)是否為定值？啟示與證明：（ 3）如圖 4，為了證明上述猜想，小華同學(xué)嘗試延長(zhǎng)gf 交 bc 的延長(zhǎng)線于m ，試?yán)眯∪A同學(xué)給我

20、們的啟示證明（2）中的猜想【答案】 解：（1）作圖如下：（ 2）在圖 2 中，effgghhe22422025 ，四邊形efgh 的周長(zhǎng)為 85 ；1在圖 3 中，efgh222225 ，fghe364535 ，四邊形efgh 的周長(zhǎng)為 2523585 ；猜想：矩形abcd的反射四邊形的周長(zhǎng)為定值；（ 3）延長(zhǎng) gh 交 cb 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)n ，12 ，15 ，25 ；又 fc=fc ， rt fce rtfcm （ asa ）； ef=mf ， ec=mc ；同理： nh=eh ， nb=eb ； mn=2bc=16 ；m905901，n903 ， 13 ，mn ； gm=gn ；過(guò)點(diǎn) g

21、作 gk bc 于 k ，就 km1mn8 ；222 gmgkkm224845 ；四邊形efgh 的周長(zhǎng)為 2gm85 ；矩形abcd的反射四邊形的周長(zhǎng)為定值；【考點(diǎn)】 新定義，網(wǎng)格問(wèn)題，作圖（應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖），勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)；【分析】（ 1）依據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作出相等的角即可得到反射四邊形；（2）圖 2 中，利用勾股定理求出ef=fg=gh=he的長(zhǎng)度，然后即可得到周長(zhǎng)，圖3 中利用勾股定理求出ef=gh ，fg=he 的長(zhǎng)度，然后求出周長(zhǎng)，從而得到四邊形efgh 的周長(zhǎng)是定值；（3）延長(zhǎng) gh 交 cb 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) n，再利用 “asa”

22、證明 rt fce 和 rt fcm 全等，依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 ef=mf ， ec=mc ，同理求出 nh=eh ， nb=eb ，從而得到 mn=2bc ，再證明 gm=gn ，過(guò)點(diǎn) g 作 gk bc 于 k ，依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出 km周長(zhǎng)；1 mn8 ，再利用勾股定理求出gm 的長(zhǎng)度，然后即可求出四邊形efgh 的2例 7：（ 2021 廣西崇左10 分） 如下列圖，在正方形abcd 中，點(diǎn) e、f 分別在 bc、cd 上移動(dòng)，但點(diǎn)a到 ef 的距離 ah 始終保持與 ab 的長(zhǎng)度相等，問(wèn)在點(diǎn) e、f 移動(dòng)過(guò)程中；（ 1） eaf 的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由

23、.（ 2） ecf 的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由.練習(xí)題：1. （ 2021 湖南岳陽(yáng) 8 分） 如圖，將菱形紙片 ab （ e）cd （f）沿對(duì)角線 bd（ ef）剪開， 得到 abd 和 ecf，固定 abd ，并把 abd 與 ecf 疊放在一起（1）操作：如圖，將 ecf 的頂點(diǎn) f 固定在 abd 的 bd 邊上的中點(diǎn)處， ecf 繞點(diǎn) f 在 bd 邊上方左右旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí) fc 交 ba 于點(diǎn) h（ h 點(diǎn)不與 b 點(diǎn)重合）， fe 交 da 于點(diǎn)g（ g 點(diǎn)不與 d 點(diǎn)重合）求證： bh.gd=bf 2（2）操作：如圖，ecf 的頂點(diǎn) f 在 abd 的 bd 邊上滑動(dòng)（ f

24、 點(diǎn)不與 b 、d 點(diǎn)重合），且 cf 始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)a ，過(guò)點(diǎn) a 作 ag ce，交 fe 于點(diǎn) g，連接 dg 探究： fd+dg=請(qǐng)予證明2. （ 2021 四川眉山11 分） 如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)a （ 0， 1）， b （ 4， 4），將點(diǎn)b 繞點(diǎn) a 順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到點(diǎn) c；頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)b （1）求拋物線的解析式和點(diǎn)c 的坐標(biāo)；（2）拋物線上一動(dòng)點(diǎn)p，設(shè)點(diǎn) p 到 x 軸的距離為d1，點(diǎn) p 到點(diǎn) a 的距離為 d2，試說(shuō)明 d2=d11；（3）在（ 2）的條件下，請(qǐng)?zhí)骄慨?dāng)點(diǎn)p 位于何處時(shí)，pac 的周長(zhǎng)有最小值，并求出pac的周長(zhǎng)的最小值3

25、. （ 2021 湖南郴州10 分） 如圖， rt abc 中， a=30°， bc=10cm ，點(diǎn) q 在線段 bc 上從 b 向 c 運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) p 在線段 ba 上從 b 向 a 運(yùn)動(dòng) q、p 兩點(diǎn)同時(shí)動(dòng)身，運(yùn)動(dòng)的速度相同， 當(dāng)點(diǎn) q 到達(dá)點(diǎn) c 時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)作pm pq 交 ca 于點(diǎn) m ，過(guò)點(diǎn) p 分別作 bc 、ca的垂線，垂足分別為e、f（1）求證： pqe pmf ；（2）當(dāng)點(diǎn) p、 q 運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)猜想線段pm 與 ma 的大小有怎樣的關(guān)系？并證明你的猜想；（3）設(shè) bp= x ， pem 的面積為y ，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x 為何值時(shí)，y 有最大

26、值，并將這個(gè)值求出來(lái)4. （ 2021 遼寧營(yíng)口14 分） 已知正方形abcd ，點(diǎn) p 是對(duì)角線 ac 所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)e在 dc 邊所在直線上，且隨著點(diǎn)p 的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，pepd 總成立1如圖 1 ，當(dāng)點(diǎn) p 在對(duì)角線ac 上時(shí)，請(qǐng)你通過(guò)測(cè)量、觀看，猜想pe 與 pb 有怎樣的關(guān)系？ 直接寫出結(jié)論不必證明；2如圖 2 ，當(dāng)點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)到 ca 的延長(zhǎng)線上時(shí)，1 中猜想的結(jié)論是否成立？假如成立，請(qǐng)給出證明；假如不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；3如圖 3 ，當(dāng)點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)到 ca 的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你利用圖 3 畫出滿意條件的圖形，并判定此時(shí)pe 與 pb 有怎樣的關(guān)系？直接寫出結(jié)論不必證明125.

27、 （ 2021 貴州遵義12 分） 如圖，梯形abcd中， ad bc， bc 20cm， ad 10cm，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) p、q分別從 b、d 兩點(diǎn)同時(shí)動(dòng)身，點(diǎn) p 以每秒 2cm 的速度沿 bc 向終點(diǎn) c 移動(dòng)，點(diǎn) q 以每秒 1cm的速度沿 da向終點(diǎn) a 移動(dòng)，線段pq 與 bd 相交于點(diǎn) e，過(guò) e 作 ef bc 交 cd 于點(diǎn) f，射線 qf 交 bc的延長(zhǎng)線于點(diǎn)h ，設(shè)動(dòng)點(diǎn) p、q 移動(dòng)的時(shí)間為t（單位：秒， 0<t<10 ）（1）當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形pcdq 為平行四邊形？（2）在 p、q 移動(dòng)的過(guò)程中，線段ph 的長(zhǎng)是否發(fā)生轉(zhuǎn)變？假如不變，求出線段ph 的長(zhǎng)

28、；假如轉(zhuǎn)變，請(qǐng)說(shuō)明理由6.（ 2021 黑龍江龍東五市8 分）如圖，點(diǎn) e 是矩形 abcd 的對(duì)角線bd 上的一點(diǎn)，且 be=bc ，ab=3 ， bc=4 ，點(diǎn) p 為直線 ec 上的一點(diǎn)，且pqbc 于點(diǎn) q， pr bd 于點(diǎn) r；（1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) p 為線段 ec 中點(diǎn)時(shí)，易證：pr+pq= 12 （不需證明） ；5（2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) p 為線段 ec 上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)e、點(diǎn) c 重合）時(shí)，其它條件不變，就（ 1）中的結(jié)論是否仍舊成立？如成立，請(qǐng)賜予證明；如不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖 3，當(dāng)點(diǎn) p 為線段 ec 延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，就pr 與 pq 之間

29、又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想；二、面積（和差）為定值問(wèn)題：典型例題：例 1：（ 2021 湖北十堰3 分） 如圖， o 是正 abc 內(nèi)一點(diǎn)， oa=3 ， ob=4 ， oc=5 ，將線段 bo 以點(diǎn) b 為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段bo，以下結(jié)論：boa可以由 boc繞點(diǎn) b 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；點(diǎn) o 與 o的距離為 4； aob=15°0； s四 邊形aobo=6+33 ； s aocs aob6+ 934其中正確的結(jié)論是【】a b cd【答案】 a ；【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定

30、理；【分析】 正 abc ， ab=cb ， abc=60 0 ；線段bo以點(diǎn)b為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段bo， bo=bo ， oao=600； oba=600 abo= oba ； boa boc ； boa可以由 boc 繞點(diǎn) b 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；故結(jié)論正確；連接 oo， bo=bo，oao=600， obo是等邊三角形； oo=ob=4；故結(jié)論正確；在 aoo中，三邊長(zhǎng)為oa=oc=5，oo=ob=4，oa=3 ，是一組勾股數(shù)， aoo 是直角三角形；=150 °；故結(jié)論正確； aob= aoo oob =90 0 600sss13 4+ 1

31、4 236+43；故結(jié)論錯(cuò)誤；四 邊形 aoboaooobo22如下列圖，將aob 繞點(diǎn) a 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使得 ab 與 ac 重合，點(diǎn) o 旋轉(zhuǎn)至 o點(diǎn)易知 aoo 是邊長(zhǎng)為3 的等邊三角形，coo 是邊長(zhǎng)為3、4、5 的直角三角形；就 sssss1 3 4+ 1 3 33 =6+ 93 ；aocaobaococooaoo故結(jié)論正確；2224綜上所述，正確的結(jié)論為：；應(yīng)選a ；例 2：（ 2021 廣西玉林、防城港12 分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系x o y 中，矩形 aocd 的頂點(diǎn) a 的坐標(biāo)是（ 0,4），現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn) p、 q，點(diǎn) p 從點(diǎn) o 動(dòng)身沿線段 oc（不包括

32、端點(diǎn) o，c）以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度， 勻速向點(diǎn) c 運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) q 從點(diǎn) c 動(dòng)身沿線段 cd（不包括端點(diǎn) c， d）以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向點(diǎn) d 運(yùn)動(dòng) .點(diǎn) p，q 同時(shí)動(dòng)身，同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒，當(dāng) t=2 秒時(shí) pq= 25 .（1）求點(diǎn) d 的坐標(biāo)，并直接寫出t 的取值范疇；（2）連接 aq 并延長(zhǎng)交 x 軸于點(diǎn) e,把 ae 沿 ad 翻折交 cd 延長(zhǎng)線于點(diǎn) f,連接 ef，就 aef的面積 s 是否隨 t 的變化而變化？如變化，求出 s 與 t 的函數(shù)關(guān)系式；如不變化，求出 s 的值.（3）在（ 2）的條件下， t 為何值時(shí)，四邊形 apqf 是梯形？

33、2【答案】 解：（ 1）由題意可知，當(dāng) t=2（秒）時(shí)， op=4， cq=2 ，在 rt pcq 中，由勾股定理得：pc=pq2cq 22522=4 ， oc=op+pc=4+4=8 ；又矩形aocd ， a （ 0，4）， d（ 8，4）；t 的取值范疇為：0 t 4；（ 2）結(jié)論： aef 的面積 s 不變化； aocd 是矩形， ad oe， aqd eqc ； cecq ，即addqcet84t，解得 ce=8t；4t由翻折變換的性質(zhì)可知：df=dq=4 t，就 cf=cd+df=8 t；s=s 梯形 aocf s fce s aoe =1 （ oa+cf ） .oc+21cf.ce

34、21oa.oe21=4 （ 8 t） ×8+21 8t（ 8t ） .2 4t 1 ×4×（88t）；24t化簡(jiǎn)得： s=32 為定值；所以 aef 的面積 s 不變化， s=32；（ 3）如四邊形apqf 是梯形，由于ap 與 cf 不平行，所以只有pq af ；由 pq af 可得： cpq daf ； cp： ad=cq ： df ，即 8 2t： 8= t ： 4 t，化簡(jiǎn)得t2 12t16=0 ，解得： t1=6+25 ， t2= 625 ；由（ 1）可知， 0 t 4， t1=6+25 不符合題意，舍去；當(dāng) t= 625 秒時(shí)，四邊形apqf 是梯形；

35、【考點(diǎn)】 動(dòng)點(diǎn)和翻折問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，翻折對(duì)稱的性質(zhì)，相像三角形的判定和性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，解一元二次方程；【分析】（1）由勾股定理可求pc 而得點(diǎn) c 的坐標(biāo)，依據(jù)矩形的性質(zhì)可得點(diǎn)d 的坐標(biāo)；點(diǎn)p 到達(dá)終點(diǎn)所需時(shí)間為8÷2=4 秒， 點(diǎn) q 到達(dá)終點(diǎn)所需時(shí)間為4÷1=4 秒， 由題意可知， t 的取值范疇為： 0 t4；（2）依據(jù)相像三角形和翻折對(duì)稱的性質(zhì)，求出s 關(guān)于 t 的函數(shù)關(guān)系式，由于關(guān)系式為常數(shù)，所以aef 的面積 s 不變化， s=32；（3）依據(jù)梯形的性質(zhì)，應(yīng)用相像三角形即可求解；例 3：（ 2021 江蘇蘇州 9 分） 如圖，正方形abcd 的邊

36、ad 與矩形 efgh 的邊 fg 重合，將正方形 abcd以 1cm/s 的速度沿fg 方向移動(dòng)，移動(dòng)開頭前點(diǎn)a 與點(diǎn) f 重合 .在移動(dòng)過(guò)程中，邊ad 始終與邊 fg 重合，連接 cg，過(guò)點(diǎn) a 作 cg 的平行線交線段gh 于點(diǎn) p，連接 pd.已知正方形abcd 的邊長(zhǎng)為1cm，矩形 efgh的邊 fg、gh 的長(zhǎng)分別為4cm、 3cm.設(shè)正方形移動(dòng)時(shí)間為x （ s），線段 gp 的長(zhǎng)為 y （ cm），其中0 x 2.5.試求出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并求出y =3 時(shí)相應(yīng) x 的值；記 dgp 的面積為s1， cdg 的面積為 s2試說(shuō)明s1 s2 是常數(shù)；當(dāng)線段 pd 所在

37、直線與正方形abcd 的對(duì)角線ac 垂直時(shí)，求線段pd 的長(zhǎng) .【答案】 解：（ 1） cg ap， cgd= pag，就 tancgd= tanpag ； cd= pg ；gdag gf=4 ， cd=da=1 ， af=x ， gd=3 x ，ag=4 x；1=y，即y= 4x ； y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式為y= 4x ；3x4x3x3x當(dāng) y =3 時(shí)， 3= 4x ，解得 :x=2.5 ；3x（2） s = 1gp gd=14x3x1 x+2， s = 1gd cd= 13x11 x+ 3 ，1223x222222 ss =1 x+21 x+31 為常數(shù)；122222（ 3）延長(zhǎng) p

38、d 交 ac 于點(diǎn) q.正方形 abcd 中， ac 為對(duì)角線，cad=4°5；pqac ， adq=4°5； gdp= adq=4°5； dgp 是等腰直角三角形，就gd=gp ； 3x= 4x3x，化簡(jiǎn)得：x 25x+5=0 ，解得：x= 55 ；20x2，.5 x= 55 ；2在 rt dgp 中，pd=gd=2 3x =23552+10=；cos45022【考點(diǎn)】 正方形的性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特別角的三角函數(shù)值；【分析】（ 1）依據(jù)題意表示出ag 、gd 的長(zhǎng)度，再由tancgd= t

39、anpag 可解出 x 的值；（2）利用（ 1）得出的y 與 x 的關(guān)系式表示出s1、s2，然后作差即可；（3）延長(zhǎng) pd 交 ac 于點(diǎn) q，然后判定 dgp 是等腰直角三角形，從而結(jié)合x 的范疇得出x 的值，在rt dgp 中，解直角三角形可得出pd 的長(zhǎng)度；例 4：（ 2021 四川自貢12 分） 如下列圖，在菱形abcd 中， ab=4 ， bad=12°0， aef為正三角形，點(diǎn)e、f 分別在菱形的邊bc cd 上滑動(dòng)，且e、f 不與 b cd 重合（1）證明不論e、f 在 bc cd 上如何滑動(dòng)，總有be=cf ；（2）當(dāng)點(diǎn) e、 f 在 bc cd 上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四

40、邊形aecf 和 cef 的面積是否發(fā)生變化？假如不變，求出這個(gè)定值；假如變化，求出最大（或最小）值【答案】 解：（ 1）證明：如圖，連接ac四邊形 abcd 為菱形， bad=12°0， bae+ eac=60° ， fac+ eac=60° ， bae= fac ； bad=12°0， abf=60° ； abc 和 acd 為等邊三角形； acf=60° ， ac=ab ； abe= afc ；在 abe 和 acf 中， bae= fac ， ab=ac ， abe= afc ， abe acf （ asa ）； be=cf

41、；（ 2）四邊形aecf 的面積不變，cef 的面積發(fā)生變化；理由如下：由（ 1）得 abe acf ，就 s abe=s acf；s 四邊形 aecf=saec +s acf=s aec+sabe =s abc ，是定值；作 ah bc 于 h 點(diǎn)，就 bh=2 ，s四邊形 aecfs abc1 bc ah1 bcab2bh 243 ；22由 “垂線段最短 ”可知：當(dāng)正三角形aef 的邊 ae 與 bc 垂直時(shí)， 邊 ae 最短故 aef 的面積會(huì)隨著ae 的變化而變化， 且當(dāng) ae 最短時(shí)， 正三角形 aef的面積會(huì)最小，又 s cef=s 四邊形 aecf s aef ，就此時(shí) cef

42、的面積就會(huì)最大 s s122 cef=s 四邊形 aecf aef43232333 ；2 cef 的面積的最大值是3 ；【考點(diǎn)】 菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂直線段的性質(zhì)；【分析】 （ 1）先求證 ab=ac ，進(jìn)而求證abc 、 acd 為等邊三角形，得acf =60°， ac=ab ，從而求證abe acf ，即可求得be=cf ；（2）由 abe acf可得s abe =sacf，故根據(jù)s四邊形aec f=saec +s acf =saec +s ab e=s abc 即可得四邊形aecf 的面積是定值； 當(dāng)正三角形 aef的邊 ae

43、 與 bc 垂直時(shí)，邊ae 最短 aef 的面積會(huì)隨著ae 的變化而變化，且當(dāng)ae 最短時(shí)，正三角形aef 的面積會(huì)最小，依據(jù)s cef=s 四邊形 aecf s aef ，就 cef 的面積就會(huì)最大；例 5：（ 2021 湖南益陽(yáng)12 分） 已知：如圖1，在面積為3 的正方形abcd 中， e、f 分別是bc 和 cd 邊上的兩點(diǎn)，ae bf 于點(diǎn) g，且 be=1 （1）求證： abe bcf ；（2）求出 abe 和 bcf 重疊部分（即beg ）的面積；（3）現(xiàn)將 abe 繞點(diǎn) a 逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到abe（如圖 2），使點(diǎn) e 落在 cd 邊上的點(diǎn)e處，問(wèn) abe 在旋轉(zhuǎn)前后與bcf

44、重疊部分的面積是否發(fā)生了變化？請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（ 1）證明：四邊形abcd 是正方形，abe= bcf=90°， ab=bc ； abf+ cbf=90° ； ae bf， abf+ bae=90° ； bae= cbf ；在 abe 和 bcf 中， abe= bcf， ab=bc ， bae= cbf ， abe bcf（ asa ）；（2）解：正方形面積為3， ab=3 ；在 bge 與 abe 中， gbe= bae ， egb= eba=90° ， bge abe ； s bges abe= be 2 ；ae=ab又 be=1， ae 22+

45、be2=3+1=4 ；be 2 s bge =2aes abe133；428練習(xí)題：1. （ 2021 山東東營(yíng)12 分）如下列圖， 四邊形 oabc 是矩形 點(diǎn) a 、c 的坐標(biāo)分別為 3，0 ，0，1，點(diǎn) d 是線段 bc 上的動(dòng)點(diǎn) 與端點(diǎn) b 、c 不重含 ，過(guò)點(diǎn) d 作直線 yoab 于點(diǎn) e；(1) 記 ode 的面積為 s求 s 與 b 的函數(shù)關(guān)系式：1 xb 交折線21(2) 當(dāng)點(diǎn) e 在線段 oa 上時(shí)，且tan deo=2；如矩形oabc 關(guān)于直線de 的對(duì)稱圖形為四邊形o1a1 b1c1 摸索究四邊形o1a 1b1c1 與矩形 oabc 的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，如不交，求出該重疊部分妁面積；如轉(zhuǎn)變請(qǐng)說(shuō)明理由；2. （ 2021 浙江舟山、嘉興12 分） 已知直線ykx3 （ k 0）分別交x 軸、 y 軸于 a 、b兩點(diǎn)，線段 oa 上有一動(dòng)點(diǎn)p 由原點(diǎn) o 向點(diǎn) a 運(yùn)動(dòng)， 速度為每秒1 個(gè)單位長(zhǎng)度， 過(guò)點(diǎn) p 作 x軸的垂線交直線ab 于點(diǎn) c，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒（ 1）當(dāng) k1時(shí)，線段oa 上另有一動(dòng)點(diǎn)q 由點(diǎn) a 向點(diǎn) o 運(yùn)動(dòng)，它與點(diǎn)p 以相同速度同時(shí)動(dòng)身，當(dāng)點(diǎn)