函數(shù)的奇偶性及奇偶函數(shù)的圖象

1、函數(shù)的奇偶性及奇偶函數(shù)的圖象函數(shù)函數(shù) y = f ( x ) 在定義域在定義域 A 內(nèi)任取一個(gè)內(nèi)任取一個(gè) x A，且，且 x A1) 都有都有 f (x ) = f ( x )2) 都有都有 f (x ) = f ( x )3) 都有都有 f (x ) f ( x ) 且且 f (x ) f ( x ) 則則 f ( x ) 是是偶函數(shù)偶函數(shù)則則 f ( x ) 是是非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)則則 f ( x ) 是是奇函數(shù)奇函數(shù)問(wèn)題：?jiǎn)栴}：1）奇偶性在什么范圍內(nèi)考慮的？）奇偶性在什么范圍內(nèi)考慮的？2）在定義域）在定義域 A 內(nèi)任取一個(gè)內(nèi)任取一個(gè) x , 則則 x 一定在定義域一定在定義域 A

2、內(nèi)嗎？?jī)?nèi)嗎？注意：注意：1）奇偶性在整個(gè)定義域內(nèi)考慮；）奇偶性在整個(gè)定義域內(nèi)考慮；2）定義域若不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間，則）定義域若不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間，則 f ( x ) 是是非奇非偶函數(shù)；非奇非偶函數(shù)；3）考慮函數(shù)奇偶性必需先求出）考慮函數(shù)奇偶性必需先求出定義域定義域。函數(shù)的奇偶性及奇偶函數(shù)的圖象例例1、判斷下列函數(shù)是否有奇偶性：、判斷下列函數(shù)是否有奇偶性：1） f ( x ) = 6x 6 + 3x 2 + 1 2） f ( x ) = x 3 + x 5解：此函數(shù)的定義域?yàn)榻猓捍撕瘮?shù)的定義域?yàn)?R f (x ) = 6 (x ) 6 + 3 (x ) 2 + 1= 6 x 6 + 3

3、x 2 + 1= f ( x ) f ( x ) 是是偶函數(shù)偶函數(shù)解：此函數(shù)的定義域?yàn)榻猓捍撕瘮?shù)的定義域?yàn)?R f (x ) = (x ) 3 + (x ) 5 = x 3 x 5 = (x 3 + x 5 )= f ( x ) f ( x ) 是是奇函數(shù)奇函數(shù)3） f ( x ) = x 2 + 2x + 4 4） f ( x ) = 2 x解：此函數(shù)的定義域?yàn)榻猓捍撕瘮?shù)的定義域?yàn)?R f (x ) = (x ) 2 + 2 (x ) + 4 = x 2 2x + 4 f ( x ) 是是非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)解：此函數(shù)的定義域?yàn)榻猓捍撕瘮?shù)的定義域?yàn)?2 , + ) f ( x ) 是是非

4、奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù) )()(xfxf函數(shù)的奇偶性及奇偶函數(shù)的圖象例例2：判斷函數(shù)：判斷函數(shù) f ( x ) = 的奇偶性的奇偶性2|2|12 xx解：由題解：由題 02|2|012xx2211xx 4011xxx且且4101 函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?1 , 0 ) ( 0 , 1 此時(shí)此時(shí) f ( x ) = 2)2(12 xxxx21 xxxf 2)(1)(又又xx21 = f ( x )故故 f ( x ) 是奇函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的奇偶性及奇偶函數(shù)的圖象判定函數(shù)的奇偶性的步驟：判定函數(shù)的奇偶性的步驟：1）先求函數(shù)的定義域；）先求函數(shù)的定義域；若定義域若定義域不是不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)

5、間，則函數(shù)為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)若定義域若定義域是是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間，進(jìn)入第二步；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間，進(jìn)入第二步；2）計(jì)算）計(jì)算 f (x ) 化向化向 f ( x ) 的解析式；的解析式；若等于若等于 f ( x ) ，則函數(shù)是，則函數(shù)是偶函數(shù)偶函數(shù)若等于若等于 f ( x ) ，則函數(shù)是，則函數(shù)是奇函數(shù)奇函數(shù)若不等于若不等于 ，則函數(shù)，則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)是非奇非偶函數(shù)3）結(jié)論。）結(jié)論。 )()(xfxf函數(shù)的奇偶性及奇偶函數(shù)的圖象觀察下列函數(shù)的奇偶性，并指出圖象有何特征？觀察下列函數(shù)的奇偶性，并指出圖象有何特征？xyoy = x 2 2xyoy = x

6、3xyoy = x + 1圖象圖象奇偶性奇偶性圖圖 象象 特特 征征（1）（2）（3）奇函數(shù)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)關(guān)于關(guān)于 y 軸成軸對(duì)稱(chēng)軸成軸對(duì)稱(chēng)偶函數(shù)偶函數(shù)非奇非非奇非偶函數(shù)偶函數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)關(guān)于關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)不關(guān)于原點(diǎn)及不關(guān)于原點(diǎn)及 y 軸對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)函數(shù)的奇偶性及奇偶函數(shù)的圖象定理：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于定理：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)；軸對(duì)稱(chēng)；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)（反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)（y 軸）對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)是軸）對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)是奇（偶）函數(shù)。奇（偶）

7、函數(shù)。此定理的作用：此定理的作用：簡(jiǎn)化函數(shù)圖象的畫(huà)法。簡(jiǎn)化函數(shù)圖象的畫(huà)法。例例3、如圖給出函數(shù)圖象的一部分，用對(duì)稱(chēng)法作出下列函數(shù)的圖象：、如圖給出函數(shù)圖象的一部分，用對(duì)稱(chēng)法作出下列函數(shù)的圖象：xyoxyo1）若函數(shù)是奇函數(shù)）若函數(shù)是奇函數(shù)2）若函數(shù)是偶函數(shù)）若函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的奇偶性及奇偶函數(shù)的圖象例例4、作出函數(shù)、作出函數(shù) y = x 2 | x | 6 的圖象的圖象解：當(dāng)解：當(dāng) x 0 時(shí)，時(shí)， y = x 2 x 6 425)21(2 x當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)，時(shí)， y = x 2 + x 6 425)21(2 x 425)21(425)21(22xxy00 xxxyo若利用對(duì)稱(chēng)法作圖：若利用

8、對(duì)稱(chēng)法作圖：先作出先作出 x 0 的圖象的圖象再用對(duì)稱(chēng)法作出另一半的圖象；再用對(duì)稱(chēng)法作出另一半的圖象；可知可知 函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的奇偶性及奇偶函數(shù)的圖象例例5、已知、已知 f ( x ) 是奇函數(shù)，當(dāng)是奇函數(shù)，當(dāng) x 0 時(shí)，時(shí)， f ( x ) = x 2 2x，求當(dāng)，求當(dāng) x 0 時(shí)，時(shí)，f ( x ) 的解析式，并畫(huà)出此函數(shù)的解析式，并畫(huà)出此函數(shù) f ( x ) 的圖象。的圖象。xyo解：解： f ( x ) 是奇函數(shù)是奇函數(shù) f (x ) = f ( x )即即 f ( x ) = f ( x )任意取任意取x 0 時(shí)，則時(shí)，則 x0 x0時(shí)時(shí) f ( x ) = x 2

9、2x f ( x ) = (x ) 2 2(x ) = x 2 + 2x f ( x ) = f ( x ) = （x 2 + 2x ） xxxxy2222故故00 xx 1)1(1)1(22xx00 xx函數(shù)的奇偶性及奇偶函數(shù)的圖象例例6、已知、已知 f ( x ) 是偶函數(shù)，而且在是偶函數(shù)，而且在 ( , 0 ) 上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，問(wèn)問(wèn) f ( x ) 在在 ( 0 ，+ ) 上是增函數(shù)還是減函數(shù)？上是增函數(shù)還是減函數(shù)？解：設(shè)解：設(shè) 0 x 1 x 2 + 在所證區(qū)間上取值在所證區(qū)間上取值則則 x 2 x 1 0 f ( x ) 在在 ( , 0 ) 上是增函數(shù)上是增函數(shù) f (x 2 ) f ( x 1 ) f ( x ) 是偶函數(shù)是偶函數(shù) f ( x 2 ) f ( x 1 )故故 f ( x ) 在在( 0 ，+ ) 上是減函數(shù)上是減函數(shù)函數(shù)的奇偶性及奇偶函數(shù)的圖象 1.已知已知 f ( x ) 是奇函數(shù)，而且在是奇函數(shù)，而且在 ( , 0 ) 上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，問(wèn)問(wèn) f ( x ) 在在 ( 0 ，+ ) 上是增函數(shù)還是減函數(shù)？上是增函數(shù)還是減函數(shù)？2、作出下列函數(shù)的圖象：、作出下列函數(shù)