高數(shù)積分總結(jié)

1、.高數(shù)積分總結(jié)1、 不定積分1、 不定積分的概念也性質(zhì)定義1：如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，即對(duì)任一,都有F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函數(shù)F(x)就稱(chēng)為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù)。定義2：在區(qū)間I上，函數(shù)f（x）的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱(chēng)為f（x）（或者f(x)dx）在區(qū)間I上的不定積分，記作。性質(zhì)1：設(shè)函數(shù)f(x)及g(x)的原函數(shù)存在，則。性質(zhì)2：設(shè)函數(shù)f(x)的原函數(shù)存在，k為非零常數(shù)，則。2、 換元積分法(1)第一類(lèi)換元法：定理1：設(shè)f(u)具有原函數(shù)，可導(dǎo)，則有換元公式。例：求解 將代入，既得(2) 第二類(lèi)換元法：定理2：

2、設(shè)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且又設(shè)具有原函數(shù)，則有換元公式其中是的反函數(shù)。例：求解 ，設(shè)，那么，于是，且，3、 分部積分法定義：設(shè)函數(shù)及具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。那么，兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為移項(xiàng)得 對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分，得此公式為分部積分公式。例：求解 分部積分的順序：反對(duì)冪三指。4、 有理函數(shù)的積分例：求解 ，故設(shè)其中A,B為待定系數(shù)。上式兩端去分母后，得 即 比較上式兩端同次冪的系數(shù)，既有從而解得 于是其他有些函數(shù)可以化做有理函數(shù)。5、積分表的查詢(xún)2、 定積分1、 定積分的定義和性質(zhì)（1）定義：設(shè)函數(shù)在上有界，在中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)把區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間各個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，

3、作函數(shù)值與小區(qū)間長(zhǎng)度的乘積，并作出和記，如果不論對(duì)怎么劃分，也不論在小區(qū)間上點(diǎn)怎么選取，只要當(dāng)時(shí)，和總趨于確定的極限，那么稱(chēng)這個(gè)極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分(簡(jiǎn)稱(chēng)積分)，記作，即其中叫做被積函數(shù)，叫做被積表達(dá)式，叫做積分變量，叫做積分下限，叫做積分上限，叫做積分區(qū)間。定理1：設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，則在上可積。定理2：設(shè)在區(qū)間上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在上可積。（2） 性質(zhì)1： 性質(zhì)2： (k是常數(shù)) 性質(zhì)3：設(shè)，則 性質(zhì)4：如果在區(qū)間上，則 性質(zhì)5：如果在區(qū)間上，則 推論1：如果在區(qū)間上，則 推論2： 性質(zhì)6：設(shè)M及m分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，則 性質(zhì)7(定積分中值定理)：如果函數(shù)在積分

4、區(qū)間上連續(xù)，則在上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使下式成立2、 微積分基本公式(1) 積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理1：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)定理2：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)就是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。(2) 牛頓-萊布尼茨公式定理3：如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則3、 定積分的換元法和分部積分法(1) 定積分的換元法定理： 假設(shè)函數(shù)在區(qū)間a,b上連續(xù)，函數(shù)x=(t)滿(mǎn)足條件:()=a,()=b;(t)在,上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且其值域=a,b,則有 (1)公式(1)叫做定積分的換元公式(2)定積分的分部積分法依據(jù)不定積分的分部積分法，可得3、 反常積分（一）無(wú)窮限的

5、反常積分定義1 設(shè)函數(shù)法f(x)在區(qū)間a,)上連續(xù)，取t>a,如果極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間a,)上的反常積分，即（二）無(wú)界函數(shù)的反常積分定義2 設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b上連續(xù)，點(diǎn)a為f(x)的丅點(diǎn)。取t>a,如果極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x)在(a,b上的反常積分，仍然記作，即=例題討論反常積分的收斂性。解：被積函數(shù)f（x）=在積分區(qū)間-1,1上除x=0外連續(xù)，且由于即反常積分發(fā)散，所以反常積分發(fā)散定積分的積分區(qū)間是有限區(qū)間，又在上是有界的，如果積分區(qū)間推廣到無(wú)窮區(qū)間或推廣到無(wú)界函數(shù)，就是兩種不同類(lèi)型的反常積分：1.無(wú)窮區(qū)間上的反常積分（1）概念定義：若極限

6、存在，則稱(chēng)反常積分是收斂的，它的值就是極限值；若極限不存在，則稱(chēng)反常積分是發(fā)散的，而發(fā)散的反常積分沒(méi)有值的概念.同樣有收斂和發(fā)散的概念，收斂的反常積分有值的概念.同樣有收斂和發(fā)散的概念，收斂的反常積分有值的概念，值得注意：判斷的收斂性不能用的極限存在性.必須要求和兩個(gè)反常積分都收斂，才能知道是收斂的，但是如果已經(jīng)知道是收斂的，而求它的值，那么計(jì)算是可以的.（2）常用公式，2.無(wú)界函數(shù)的反常積分（瑕積分）（1）概念：設(shè)在內(nèi)連續(xù)，且，則稱(chēng)b為的瑕點(diǎn)，定義若極限存在，則稱(chēng)反常積分收斂，且它的值就是極限值.若極限不存在，則稱(chēng)反常積分發(fā)散，發(fā)散的反常積分沒(méi)有值的概念.設(shè)在內(nèi)連續(xù)，且，則稱(chēng)a為的瑕點(diǎn)，定義

7、若極限存在，則稱(chēng)反常積分收斂，且它的值就是極限值，若極限不存在，則稱(chēng)反常積分發(fā)散，它沒(méi)有值.設(shè)在和皆連續(xù)，且，則稱(chēng)c為的瑕點(diǎn)，定義(值得注意：這里判別收斂性時(shí)，和要獨(dú)立地取極限，不能都用來(lái)代替)若上面兩個(gè)極限都存在時(shí)才稱(chēng)反常積分是收斂的，否則反常積分發(fā)散.（2）常用公式：類(lèi)似地考慮和最后指出：由于反常積分是變限積分的極限，因此原則上由定積分的運(yùn)算法則和極限的運(yùn)算法則就可以得到反常積分的運(yùn)算法則.(乙)典型例題一、用常規(guī)方法計(jì)算定積分【例1】求下列定積分（1）（2）（3）解（1）（2）（3）令時(shí)；時(shí)，于是【例2】計(jì)算下列定積分（分段函數(shù)）（1）（2）（3）解（1）（2）（3）二、用特殊方法計(jì)算定

8、積分【例1】計(jì)算下列定積分（1）（f為連續(xù)函數(shù)，）（2）解（1）令，則（2）令，則【例2】設(shè)連續(xù)函數(shù)滿(mǎn)足，求解令，則，兩邊從1到e進(jìn)行積分，得于是則三、遞推公式形式的定積分【例1】設(shè)求證當(dāng)時(shí)，求解（1），則（2）當(dāng)，正偶數(shù)時(shí)，當(dāng)，正奇數(shù)時(shí)，【例2】設(shè)，求證： 證令則【例3】設(shè)求證：求解（1）（2），當(dāng)，正整數(shù)時(shí)4、 重積分（一）二重積分的性質(zhì)與概念定義：設(shè)D是面上的有界閉區(qū)域，在D上有界，將區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域，其中既表示第i個(gè)小閉區(qū)域又表示它的面積，在每個(gè)小區(qū)域上任意取一點(diǎn)，作n個(gè)乘積，然后作和式記，如當(dāng)時(shí)，以上和式有確定的極限，則稱(chēng)該極限為在區(qū)域D上的二重積分，記作或，即其中稱(chēng)為被積

9、函數(shù)，稱(chēng)為被積表達(dá)式，稱(chēng)為面積元素，稱(chēng)為積分變量，D稱(chēng)為積分區(qū)域，稱(chēng)為積分和式幾何意義當(dāng)時(shí)，等于以區(qū)域D為底，曲面為頂?shù)那斨w體積；當(dāng)時(shí)，等于以上所說(shuō)的曲頂柱體體積的相反數(shù)；當(dāng)時(shí)，等于區(qū)域D的面積。1.二重積分的性質(zhì)存在性：若在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則存在線(xiàn)性性質(zhì)：區(qū)域可加性設(shè)，即，且與只在它們的邊界上相交，則：有序性若在區(qū)域D上，則有：特殊地，有估值不等式設(shè)在區(qū)域D上有最大值M，最小值m，是D的面積，則有：積分中值定理設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，是D的面積，則至少存在一點(diǎn)，使例1 試用二重積分表示極限.解：.例2 估計(jì)的值，其中解：因?yàn)?，積分區(qū)域，在D上的最大值，最小值，故:（二）二重積分的

10、計(jì)算（一）直角坐標(biāo)系X型區(qū)域?qū)^(qū)域D投影到x軸上，投影區(qū)間為，D的邊界上下兩條曲線(xiàn)，則D表示為：y型區(qū)域?qū)^(qū)域D投影到y(tǒng)軸上，投影區(qū)間為，D的邊界上下兩條曲線(xiàn)，則D表示為：例1 計(jì)算為，其中D是由直線(xiàn)所圍成的閉區(qū)域。解：（三） 二重積分的計(jì)算（二）極坐標(biāo)系極點(diǎn)在D外，則D:極點(diǎn)在D的邊界上，則D:極點(diǎn)在D內(nèi)：例1 計(jì)算，其中D為由圓及直線(xiàn)所圍成的平面閉區(qū)域解：因?yàn)樗?、 曲面和曲線(xiàn)積分（一）對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分（又稱(chēng)第一類(lèi)曲線(xiàn)積分）1、定義 ， 2、物理意義 線(xiàn)密度為的曲線(xiàn)質(zhì)量為 線(xiàn)密度為的曲線(xiàn)質(zhì)量為3、幾何意義 曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)，曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)4、若：（常數(shù)），則5、計(jì)算（上限大于下限）（1） ，則（2

11、）：，則（3）：，則（4），則(二)、對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分1、定義 2、計(jì)算（下限對(duì)應(yīng)起點(diǎn)，上限對(duì)應(yīng)終點(diǎn)）（1），則（2）：，則（3）：，則（4），則3、兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的聯(lián)系其中，為有向曲線(xiàn)弧上點(diǎn)處的切線(xiàn)向量的方向角。，其中為有向曲線(xiàn)弧上點(diǎn)處切向量的方向角。(三)、格林公式及其應(yīng)用1、格林公式 其中是的取正向的整個(gè)邊界曲線(xiàn)2、平面上曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件（為單連通區(qū)域）定理 設(shè)是單連通閉區(qū)域，若在內(nèi)連續(xù)，且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)條件等價(jià)：(i) 沿內(nèi)任一按段光滑封閉曲線(xiàn)，有；(ii) 對(duì)內(nèi)任一光滑曲線(xiàn)，曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，只與的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)；(iii) 是內(nèi)某一函數(shù)的全微分，即在內(nèi)有；(iv) 在內(nèi)處處成立 注 若 則的全微分： 或 (四)、對(duì)面積的曲面積分1、定義 2、物理意義：表示面密度為的光滑曲面的質(zhì)量。3、幾何意義 曲面的面積4、若：（常數(shù)），則=5、計(jì)算（一投、二代、三換元）（1）， ，則 （2），則（3），則。(五)、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分1、定義 2、物理意義 流量。3、計(jì)算（一投、二代、三定號(hào)）（1），則（上側(cè)取正，下側(cè)取負(fù)）（2）:，則（前側(cè)取正，后側(cè)取負(fù)）（3）:，則（右側(cè)取正，左側(cè)取負(fù)）4、兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系，其中為有向曲面上點(diǎn)處的法向量的方向余弦(六)、高斯