復(fù)變函數(shù)與積分變換解讀

1、1 1、教學(xué)內(nèi)容復(fù)變函數(shù)與積分變換課程名稱：復(fù)變函數(shù)與積分變換英文譯名： ComplexComplex FunctionFunction andand IntegralIntegral TransformationTransformation 課程編碼： 070102B06070102B06 適用專業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué)課程類別：專業(yè)必修學(xué)時(shí)數(shù)： 4848學(xué)分： 3 3編寫執(zhí)筆人：韓仲明審定人： 劉曉華編寫日期： 20052005 年 4 4 月一、本課程的內(nèi)容、目的和任務(wù)：復(fù)變函數(shù)與積分變換是高等師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程之一，是數(shù)學(xué)分析的后續(xù)課程，其 任務(wù)是使學(xué)生獲得復(fù)變函數(shù)與積分變換的基本理

2、論與方法。它在微分方程、 概率論、力學(xué)等學(xué)科中 都有應(yīng)用，其方法是自動(dòng)控制、自動(dòng)化、信號(hào)處理的常用方法之一，本課程主要討論復(fù)變函數(shù)和積 分變換。內(nèi)容主要包括：復(fù)數(shù)運(yùn)算，解析函數(shù)，初等函數(shù)，復(fù)變函數(shù)積分理論，級(jí)數(shù)展開及留數(shù)理 論，保形映射，拉普拉斯變換，富里葉變換。復(fù)變函數(shù)與積分變換是微積分學(xué)在復(fù)數(shù)域上的推廣和 發(fā)展， 通過本課程的學(xué)習(xí)能使學(xué)生對(duì)微積分學(xué)的某些內(nèi)容加深理解，提高認(rèn)識(shí)。復(fù)變函數(shù)與積分變 換在聯(lián)系和指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方面也有重要的作用， 通過學(xué)習(xí)， 學(xué)生對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的某些知識(shí)有比較 透徹的理解與認(rèn)識(shí)，從而增加做好中學(xué)數(shù)學(xué)教育工作的能力。二、課程教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)基本要求由于該課程的基礎(chǔ)課地位

3、，及在應(yīng)用科學(xué)中的重要性，要求學(xué)生應(yīng)對(duì)本課程有基本的理解與 掌握。凡涉及自動(dòng)化或自動(dòng)控制專業(yè)、信號(hào)處理的各類專業(yè)，都要用復(fù)變函數(shù)與積分變換的理論， 因此學(xué)生必須熟練掌握（1 1）復(fù)變解析函數(shù)理論（2 2）復(fù)變函數(shù)的積分理論及留數(shù)理論（3 3）拉氏變換與富氏變換理論。 學(xué)生還應(yīng)掌握復(fù)變函數(shù)的一些基礎(chǔ)理論如羅朗級(jí)數(shù)理論及奇點(diǎn)理論。 學(xué)生還應(yīng)理解調(diào)和函數(shù)理論。學(xué)生還應(yīng)初步了解保形映射的理論。第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) （4 4 學(xué)時(shí) ） 復(fù)數(shù)的概念；復(fù)球面、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)及擴(kuò)充復(fù)平面。區(qū)域、簡(jiǎn)單曲線、單連同區(qū)域與多連同區(qū)域；復(fù)變 函數(shù)的概念；復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)的概念、性質(zhì)。2 2、教學(xué)目的和要求：理解復(fù)數(shù)、

4、區(qū)域、單連通區(qū)域、復(fù)連通區(qū)域、逐段光滑曲線、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)、擴(kuò)充復(fù)平面等概念。理解復(fù)數(shù)的性質(zhì)、會(huì)應(yīng)用模和輻角的性質(zhì)，會(huì)作點(diǎn)集的圖形。進(jìn)一步認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)域的結(jié)構(gòu)，并聯(lián)系中 學(xué)的復(fù)數(shù)教學(xué)。第二章 解析函數(shù) （6 6 學(xué)時(shí) ）1 1、教學(xué)內(nèi)容1 1、教學(xué)內(nèi)容解析函數(shù)?？挛?- - 黎曼方程；調(diào)和函數(shù)，復(fù)變初等函數(shù)及其主要性質(zhì)。2 2、教學(xué)目的和要求：理解導(dǎo)數(shù)、 解析函數(shù)的定義、 性質(zhì)及充要條件。 理解函數(shù)在一點(diǎn)解析與函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的區(qū)別。 熟練掌握利用c c R R 條件判別解析函數(shù)的方法。熟練掌握已知解析函數(shù)的實(shí)部或虛部，求該解析函 數(shù)的方法。熟練求多值函數(shù)的支點(diǎn)、及滿足條件的分支在指定點(diǎn)處的函數(shù)值。聯(lián)系中

5、學(xué)教學(xué)、認(rèn)識(shí) 復(fù)變函數(shù)中各類基本初等函數(shù)與相應(yīng)初等函數(shù)的異同。第三章 復(fù)積分理論 （8 8 學(xué)時(shí) ）1 1、教學(xué)內(nèi)容：復(fù)積分；柯西 - - 古薩定理，牛頓萊不尼茨公式。復(fù)合閉路原理，柯西積分公式及高階導(dǎo)數(shù)公式， 平面調(diào)和函數(shù)理論。2 2、教學(xué)目的和要求： 理解復(fù)積分的概念； 掌握柯西積分定理和柯西積分公式以及高階導(dǎo)數(shù)公式及其應(yīng)用； 理解劉維爾定 理、莫勒拉定理；熟練掌握利用柯西積分定理和積分公式計(jì)算函數(shù)的各種積分。第四章 復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)理論 （6 6 學(xué)時(shí)）1 1、教學(xué)內(nèi)容 復(fù)數(shù)列的極限；級(jí)數(shù)理論泰勒展開定理。羅朗級(jí)數(shù)，羅朗展開定理。2 2、教學(xué)目的與要求 理解一致收斂、內(nèi)閉一致收斂、冪級(jí)數(shù)、

6、泰勒展式、收斂半徑、收斂圓的概念。理解復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)可導(dǎo)性，與微積分學(xué)的相應(yīng)定理比較，認(rèn)識(shí)其條件結(jié)論的強(qiáng)弱。熟練掌握冪級(jí)數(shù)收斂 半徑和收斂圓的求法。 熟練掌握將函數(shù)在指定點(diǎn)展成冪級(jí)數(shù)的方法。 熟練掌握解析函數(shù)零點(diǎn)和級(jí)別 的求法。理解羅朗級(jí)數(shù)、孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)的概念。熟練掌握求函數(shù)在孤立奇點(diǎn) 去心鄰域上的羅朗展式。第五章 留數(shù) （6 6 學(xué)時(shí) ）留數(shù)及其計(jì)算。留數(shù)定理，“RCOSRSinrdr、：Pdx及=Peiaxdx型積分。七*Q（x）sQ（x）2 2、教學(xué)目的和要求：理解留數(shù)的定義。熟練掌握計(jì)算留數(shù)的方法。理解留數(shù)基本定理，會(huì)用留數(shù)理論計(jì)算積分第六章 保形映射（4 4

7、 學(xué)時(shí)）1 1 教學(xué)內(nèi)容保形映射、分式線性映射及其性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義、保域性、保角性、保形性、保域性定理、最大模原理。幾個(gè)初等函數(shù)的映射性質(zhì)。2 2、教學(xué)目的和要求：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義及保形映射、分式線性映射、保圓性、對(duì)稱點(diǎn)等概念。掌握分式線性映射的性質(zhì)和幾個(gè)典型映射。理解W=Z、W.z、W=eW=e、W=lnZW=lnZ 的映射性質(zhì)。第七章富里葉變換（8 8 學(xué)時(shí)）1 1 教學(xué)內(nèi)容周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)極其復(fù)數(shù)形式，傅氏變換及其逆變換；卷積及卷積定理。2 2、教學(xué)目的和要求。了解周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)極其復(fù)數(shù)形式，熟悉富氏積分定理；理解傅氏變換及其逆變換的概念；理解：t的概念和性質(zhì)；掌握傅氏變

8、換的線性、位移、積分以及微分性質(zhì)，熟練運(yùn)用傅氏變換的性質(zhì)求函數(shù)的傅氏變換及其逆變換；理解卷積的概念，掌握并能運(yùn)用卷積定理第八章拉普拉斯變換（6 6 學(xué)時(shí)）1 1 教學(xué)內(nèi)容拉氏變換及其逆變換。復(fù)反演積分公式。常系數(shù)線性微分方程（組）的拉氏變換解法。2 2、教學(xué)目的和要求：理解拉氏變換及其逆變換的概念， 了解拉氏變換與傅氏變換的區(qū)別； 熟練運(yùn)用拉氏變換的性質(zhì) 求函數(shù)的拉氏變換及其逆變換；熟練掌握應(yīng)用留數(shù)計(jì)算像原函數(shù)的方法；熟練掌握常系數(shù)線性微分方程（組）的拉氏變換解法。三、課程教學(xué)環(huán)節(jié)課堂教學(xué)應(yīng)是啟發(fā)式，習(xí)題課教學(xué)應(yīng)是討論式。每次課均布置作業(yè)，根據(jù)學(xué)生情況不定期答疑 閉卷考試。四、課時(shí)分配及教學(xué)方式和手段序號(hào)課程內(nèi)容理論教學(xué)課內(nèi)實(shí)踐教學(xué)課時(shí)小計(jì)備注課時(shí)數(shù)教學(xué)方式手 段課時(shí)數(shù)教學(xué)方式手 段第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變 函數(shù)4課堂教學(xué)04第二章解析函數(shù)6課堂教學(xué)06第三章復(fù)變函數(shù)的 積分8課堂教學(xué)08第四章復(fù)變函數(shù)的 級(jí)數(shù)理論6課堂教學(xué)06第五章留數(shù)理論及 其應(yīng)用6課堂教學(xué)06第六章保形變換4課堂教學(xué)04第七章傅里葉變換8課堂教學(xué)08第八章拉普拉斯變 換6課堂教學(xué)06五、本課程與其他課程的聯(lián)系與分工學(xué)生必須首先學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)分析課程，才能進(jìn)入本課程的學(xué)習(xí)。本課程的后續(xù)課是與拉普拉 斯變換有關(guān)的課程。六、教材與參考書1 1、 教材：復(fù)變函數(shù)與積分變換蓋