重慶大學(xué)2013-2014學(xué)年(秋)數(shù)理統(tǒng)計(jì)AB試題及答案

1、.重慶大學(xué)全日制學(xué)術(shù)型碩士研究生數(shù)理統(tǒng)計(jì)（A）課程試卷2013-2014學(xué)年第一學(xué)期（秋）請(qǐng)保留四位小數(shù)，部分下側(cè)分位數(shù)為：，一、（18分）設(shè)，是來自總體（0，）的樣本，分別是樣本均值和樣本方差：（1）求參數(shù)c滿足；（2）求概率；(3)求。(請(qǐng)寫出計(jì)算過程)解：（1） 得 故（2） 同理 且 得(3)令， =二、（26分）設(shè)，是來自總體的樣本，。（1）求參數(shù)的矩估計(jì)量；（2）求參數(shù)的最大似然估計(jì)量，并評(píng)價(jià)的無偏性、有效性、相合性；（3）求參數(shù)的置信度是的置信區(qū)間。（4）試確定檢驗(yàn)問題：的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和拒絕域。解： 即 （1） 且(2) 建立似然函數(shù) 無偏性：是參數(shù)的無偏估計(jì)。有效性： 又 是的有

2、效估計(jì)量。相合性：因?yàn)?，所?故是的相合估計(jì)量。（3）的置信度是的置信區(qū)間既是的置信度的置信區(qū)間。因均值已知設(shè)樣本方差為，得置信度為的置信區(qū)間 的置信度是的置信區(qū)間為（4）選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：；拒絕域三、（14分）假設(shè)飛機(jī)上用的鋁制加強(qiáng)桿有兩種類型A與B，它，它們的抗拉強(qiáng)度（）分別服從與。由生產(chǎn)過程知其標(biāo)準(zhǔn)差,（1）若從A、B兩類加強(qiáng)桿中抽取的樣本容量相同，那么要使得的0.90的置信區(qū)間長度不超過2.5kg/mm2需要多少樣本量？(2)給出統(tǒng)計(jì)假設(shè)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和拒絕域。若對(duì)A，B兩類加強(qiáng)桿各自獨(dú)立地抽取了7根，測(cè)得抗拉強(qiáng)度的樣本均值分別是87.6與74.5，試對(duì)統(tǒng)計(jì)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)（顯著性水平取0.

3、1）。解：1）設(shè)X、Y分別表示鋁制加強(qiáng)桿兩種類型A、B的抗拉強(qiáng)度，、為樣本均值。則X、Y相互獨(dú)立且， 由題置信區(qū)間的長度解得樣本容量。2）由題意知， 當(dāng)成立時(shí)拒絕域四、（12分）用鑄造與鍛造兩種方法制造某種零件，從各自制造的零件中分別隨機(jī)抽取100只，經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)鑄造的有10個(gè)不合格品，鍛造有3個(gè)不合格品。試問在顯著水平下，能否認(rèn)為零件的不合格率與制造方法有關(guān)？解：根據(jù)題意，我們提出如下統(tǒng)計(jì)假設(shè)：零件的不合格率與制造方法無關(guān)；：零件的不合格率與制造方法有關(guān)。知.在顯著性水平下，選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，拒絕域?yàn)椋焊鶕?jù)原假設(shè)，不同制造方法下零件不合格品的理論頻數(shù)，的樣本值為落在接受域內(nèi)，故認(rèn)為零件的不合格率

4、與制造方法無關(guān)。五（18分）設(shè)樣本，滿足。（1）求參數(shù)的最小二乘估計(jì)量；（2）分析的分布；（3）求，其中解：（1）由題得： 令 得（2），由正態(tài)分布的性質(zhì)推知服從正態(tài)分布。 （3）則六、（12分）某食品公司對(duì)一種食品設(shè)計(jì)了四種新的包裝。為了考察哪種包裝最受顧客歡迎，選了10個(gè)地段繁華程度相似，規(guī)模相近的商店做試驗(yàn)，其中兩種包裝各指定兩個(gè)商店銷售，另兩種包裝各指定三個(gè)商店銷售。在試驗(yàn)期內(nèi)各店貨架排放的位置、空間都相同，營業(yè)員的促銷方法也基本相同，經(jīng)過一段時(shí)間，記錄其銷售量數(shù)據(jù)（見下表）：包裝類型銷售量112182141213319172142430若使用單因素方差分析（1）指出方差分析中的指標(biāo)、

5、因素和水平；（2）指出方差分析中假設(shè)檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè);（3）指出方差分析方法使用的條件，并完成下列方差分析表，分析哪種包裝方式效果好。（）方差來源DF（自由度）S2（平方和）均方差F值因素258隨機(jī)誤差46總和304解;(1)方差分析中的指標(biāo)是該食品的銷售量；因素為該食品的包裝；水平為1、2、3、4這四種包裝。（2）記、分別為四種包裝下食品銷售量的均值，提出如下假設(shè)： （3）方差分析表使用的條件：1）每個(gè)水平服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立，方差相同。2）每個(gè)水平下取的樣本獨(dú)立同分布且有代表性。完成后的方差分析表方差來源DF（自由度）S2（平方和）均方差F值因素32588611.2125隨機(jī)誤差6

6、467.67總和9304因F=11.2125F0.95(3,6)=9.78.所以拒絕原假設(shè).認(rèn)為包裝對(duì)食品銷售量影響顯著。計(jì)算因素包裝各個(gè)水平下的效應(yīng)值 計(jì)算結(jié)果表明，包裝4效果好。重慶大學(xué)全日制學(xué)術(shù)型碩士研究生數(shù)理統(tǒng)計(jì)（B）課程試卷20132014學(xué)年第一學(xué)期（秋）請(qǐng)保留三小數(shù)位，部分下側(cè)分位數(shù)為：， ，一、（24分）設(shè)總體，來自總體的簡(jiǎn)單樣本，其中，分別表示樣本均值和樣本方差。請(qǐng)分析和計(jì)算下列各式的值：（1）當(dāng)時(shí)，試確定,使得成立；(2)；（3）當(dāng)時(shí)，,并畫簡(jiǎn)圖說明；（4）確定常數(shù),使得解：1）又得2）且相互獨(dú)立 又且相互獨(dú)立 =3)且.簡(jiǎn)圖省略.4） 且 知相互獨(dú)立.又原式=即注意原題缺

7、條件，這里應(yīng)該加上二、（24分）設(shè)某電話總機(jī)在一個(gè)單位時(shí)間接收到的呼喚次數(shù),是來自的樣本。求（1）參數(shù)的最大似然估計(jì)；（2）驗(yàn)證的無偏性和相合性；（3）令，求參數(shù)的最大似然估計(jì)；（4）下表是電話總機(jī)在40個(gè)單位時(shí)間內(nèi)接收的呼喚次數(shù)的統(tǒng)計(jì).呼喚次數(shù)01234567頻數(shù)414983110試確定參數(shù)和的估計(jì)值。解：1）建立似然函數(shù) 2）無偏性：是參數(shù)的無偏估計(jì)。相合性: 是參數(shù)的無偏估計(jì)。3）4）由表格知 將的值代入得 三、（16分）為了比較測(cè)定污水中氯氣含量的兩種方法，特別地在各種場(chǎng)合下收集到8個(gè)污水水樣，每個(gè)水樣分別用兩種方法測(cè)定氯氣含量（單位：mg/L）,數(shù)據(jù)如下：假設(shè)方法一、二測(cè)定的污水氯氣

8、的含量,分別服從正態(tài)分布序號(hào)12345678方法一（）0.361.352.563.925.358.3310.710.91方法二（）0.390.841.763.354.697.710.5210.92，且計(jì)算得，（1）求參數(shù)的置信度為95%的置信區(qū)間；（2）采用配對(duì)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)法比較兩種測(cè)定方法是否有顯著差異？（）解：1），未知且樣本容量較小，故采用t統(tǒng)計(jì)量的形式 其中。的置信度95%的置信區(qū)間為 2）因?yàn)橐鋵?duì)樣本，故采用符號(hào)檢驗(yàn)法。設(shè),的分布函數(shù)分別是，.則統(tǒng)計(jì)假設(shè)為，.由題意知，當(dāng)時(shí)，拒絕域?yàn)?而=6，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的樣本值.故接受，認(rèn)為兩種滴定方法無顯著差異。下圖為兩種方法測(cè)定氯氣含量的比較.序號(hào)

9、方法（）方法（）符號(hào)10.360.39-21.350.84+32.561.76+43.923.35+55.354.69+68.337.7+710.710.52+810.9110.92-四、按照孟德爾遺傳規(guī)律，讓開淡紅色的豌豆隨機(jī)交配，子代可區(qū)分為紅花、淡紅花和白花三類，且比例是1:2:1.為了檢驗(yàn)該理論進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，獲得一組觀測(cè)值，紅花、淡紅花和白花的豌豆株數(shù)分別為26,66,28.試問這些數(shù)據(jù)與孟德爾遺傳規(guī)律是否一致？（顯著性水平取0.05）解：作統(tǒng)計(jì)假設(shè)服從孟德爾遺傳定律不服從孟德爾遺傳定律由題意，.在顯著性水平下選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)計(jì)量式 拒絕域?yàn)榈臉颖局祻亩邮?，認(rèn)為服從孟德爾遺傳定律。五、（16

10、分）為了研究廣告對(duì)某商品的銷售收入的影響，某商店記錄了12個(gè)月的該商品的銷售收入（單位：萬元）和廣告費(fèi)用（單位：萬元），并計(jì)算得到下值:, ,請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成下列問題：（1）給出樣本回歸直線；（2）填寫下面的方差分析表，并根據(jù)表中的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木€性關(guān)系是否顯著（）；dfSSMSF回歸分析殘差221.29522.130總計(jì)（3）預(yù)測(cè)廣告費(fèi)用取值為8.6萬元時(shí)該商品的銷售收入的取值，并求置信度為95%的預(yù)測(cè)區(qū)間。解：1)因, ,得所以樣本回歸直線為2)填寫后的方差分析表如下表所示dfSSMSF回歸分析19299.4469299.446420.219殘差10221.29522.130總計(jì)故線性關(guān)

11、系十分顯著.3），而，分別為，的無偏估計(jì)，故其中對(duì)置信度有其中=11.239 所以置信度95%的預(yù)測(cè)區(qū)間為六、（10分）一位經(jīng)濟(jì)學(xué)家對(duì)生產(chǎn)電子計(jì)算機(jī)設(shè)備的企業(yè)收集了在一年內(nèi)生產(chǎn)力提高指數(shù)（用0到10內(nèi)的數(shù)表示）（見下表）,并按過去三年間在科研和開發(fā)上的平均花費(fèi)分為三類：A1：花費(fèi)少，A2：花費(fèi)中等，A3：花費(fèi)多生產(chǎn)力提高指數(shù)A17.68.26.85.86.96.66.37.76A26.78.19.48.67.87.78.97.98.38.77.18.4A38.59.710.17.89.69.5如果要用方差分析表處理該問題，（1）請(qǐng)指出該問題的指標(biāo)、因素、水平分別是什么？（2）數(shù)據(jù)應(yīng)該滿足的基本假設(shè)有哪些？（3）請(qǐng)?zhí)顚懴卤?，根?jù)表中方差分析表來源SS（平方和）Df(自由度)MS（均方差）F值p值因素A4.33E-05誤差15.36總和35.49中的數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)科研和開發(fā)上的花費(fèi)對(duì)生產(chǎn)力提高指數(shù)有無顯著影響（）？請(qǐng)解釋p值解：1）該問題的指標(biāo)是生產(chǎn)力提高指數(shù)；因素為科研和開發(fā)上的平均花費(fèi)；水平為平均花費(fèi)A1、A2、A3.2)數(shù)據(jù)應(yīng)該滿足的基本假設(shè)有：1、每個(gè)水平服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立，方差相同；2、每個(gè)