2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第6節(jié)雙曲線學(xué)案含解析新人教B版

1、第6節(jié)雙曲線一、教材概念結(jié)論性質(zhì)重現(xiàn)1雙曲線的定義(1)定義：一般地，如果f1，f2是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，a是一個(gè)正常數(shù)，且2a|f1f2|.則平面上滿足|pf1|pf2|2a的動(dòng)點(diǎn)p的軌跡稱為雙曲線(2)相關(guān)概念：兩個(gè)定點(diǎn)f1，f2稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)的距離|f1f2|稱為雙曲線的焦距集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a，c為常數(shù)且a0，c0.(1)當(dāng)ac時(shí)，點(diǎn)p不存在2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yrxr，ya或ya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2

2、(0，a)漸近線yxyx離心率e，e(1，)，其中c實(shí)虛軸實(shí)軸|a1a2|2a；虛軸|b1b2|2b；半實(shí)軸長(zhǎng)為a，半虛軸長(zhǎng)為ba，b，c的關(guān)系c2a2b2(ca0，cb0)3.常用結(jié)論(1)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長(zhǎng)為，也叫通徑(2)與雙曲線1(a0，b0)有共同的漸近線的方程可表示為(0)(3)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.(4)若p是雙曲線右支上一點(diǎn)，f1，f2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|pf1|minac，|pf2|minca.二、基本技能思想活動(dòng)體驗(yàn)1判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“”，錯(cuò)的打“”(1)平面內(nèi)到點(diǎn)f1(0,2)，f2(0，2)距離之差的絕對(duì)值等于4的點(diǎn)的

3、軌跡是雙曲線( )(2)方程1(mn0)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線( )(3)雙曲線方程(m0，n0，0)的漸近線方程是0，即0.( )(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.( )2雙曲線y21的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()a(，0)，(，0)b(2,0)，(2,0)c(0，)，(0，)d(0，2)，(0,2)b解析：由題可知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，又c2a2b2314，所以c2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，(2,0)3若雙曲線1(a0，b0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為()a.b5 c.d2a解析：由題意知焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，雙曲線的漸近線方程為0，即bxay0，2a

4、b.又a2b2c2，5a2c2.e25，e.4經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(3，1)，且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為_1解析：設(shè)雙曲線方程為x2y2(0)，把點(diǎn)a(3，1)代入，得8，故所求雙曲線方程為1.5已知雙曲線x21上一點(diǎn)p到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于4，那么點(diǎn)p到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于_6解析：設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為f1，f2，|pf1|4，則|pf1|pf2|2，故|pf2|6或2.又雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為ca1，故|pf2|6.考點(diǎn)1雙曲線的定義基礎(chǔ)性 (1)(2020浙江卷)已知點(diǎn)o(0,0)，a(2,0)，b(2,0)設(shè)點(diǎn)p滿足|pa|pb|2，且p為函數(shù)y3圖像上的點(diǎn)，則|op|()a

5、. b. c. d.d解析：由雙曲線定義可知，點(diǎn)p在以a，b為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支上設(shè)p(x，y)，則x21(x1)，將y3代入可得x2，所以y23(x21)，所以|op|.故選d.(2)已知雙曲線c：1(a0，b0)的離心率為2，左焦點(diǎn)為f1，點(diǎn)q(0，c)(c為半焦距)p是雙曲線c的右支上的動(dòng)點(diǎn)，且|pf1|pq|的最小值為6，則雙曲線c的方程為_x21解析：設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為f2，則|pf1|pf2|2a，所以|pf1|pq|2a|pf2|pq|，而|pf2|pq|的最小值為|qf2|2c，所以|pf1|pq|最小值為2a2c6.又2，解得a1，c2，于是b23，故雙曲線c的方程

6、為x21.利用雙曲線的定義求方程要注意的問題(1)實(shí)軸長(zhǎng)為距離之差的絕對(duì)值(2)2a|f1f2|.(3)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的位置1已知兩圓c1：(x4)2y22，c2：(x4)2y22，動(dòng)圓m與兩圓c1，c2都相切，則動(dòng)圓圓心m的軌跡方程是()a.x0 b.1(x)c.1 d.1或x0d解析：動(dòng)圓m與兩圓c1，c2都相切，有四種情況：動(dòng)圓m與兩圓都外切；動(dòng)圓m與兩圓都內(nèi)切；動(dòng)圓m與圓c1外切、與圓c2內(nèi)切；動(dòng)圓m與圓c1內(nèi)切、與圓c2外切在情況下，動(dòng)圓圓心m的軌跡方程為x0.在的情況下，設(shè)動(dòng)圓m的半徑為r，則|mc1|r，|mc2|r.故得|mc1|mc2|2.在的情況下，同理得|mc2|mc1|

7、2.由得|mc1|mc2|2.已知|c1c2|8，根據(jù)雙曲線定義，可知點(diǎn)m的軌跡是以c1(4，0)，c2(4,0)為焦點(diǎn)的雙曲線，且a，c4，b2c2a214，其方程為1.故選d.2(2020深圳市高三二模)已知雙曲線c：1(a0，b0)的焦點(diǎn)分別為f1(5,0)，f2(5，0)，p為雙曲線c上一點(diǎn)，pf1pf2，tan pf1f2，則雙曲線c的方程為()ax21 b.y21c.1 d.1a解析：如圖，因?yàn)閜f1pf2，tan pf1f2，|f1f2|10，所以|pf1|8，|pf2|6.根據(jù)雙曲線的定義可得 |pf1|pf2|2a2，即a1，所以b2c2a225124，所以雙曲線c的方程為x

8、21.考點(diǎn)2雙曲線的方程綜合性(1)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是()a(1,3)b(1，)c(0,3)d(0，)a解析：因?yàn)殡p曲線的焦距為4，所以c2，即m2n3m2n4，解得m21.又由所給方程表示雙曲線得(1n)(3n)0，解得1n0，b0)，過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)和點(diǎn)(0，b)的直線為l.若c的一條漸近線與l平行，另一條漸近線與l垂直，則雙曲線c的方程為()a.1 b.x21c.y21 dx2y21d解析：由題意知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，所以雙曲線c為等軸雙曲線，漸近線的斜率分別為1和1.因?yàn)橹本€l與一條漸近線平行，拋物線y24x的焦點(diǎn)為(1,

9、0)，所以1，即b1.所以雙曲線c的方程為x2y21.故選d.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的一般方法(1)待定系數(shù)法：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)已知條件，列出關(guān)于參數(shù)a，b，c的方程并求出a，b，c的值與雙曲線1有相同漸近線時(shí)，可設(shè)所求雙曲線方程為(0)(2)定義法：依定義得出距離之差的等量關(guān)系式，求出a的值，由定點(diǎn)位置確定c的值1已知雙曲線c：1，則雙曲線c的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()a(5,0)b(，0)c(0，5)d(0，)c解析：雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上，又a216，b29，則c2a2b225，即c5，故雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，5)2(多選題)已知雙曲線c：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1(5,0)

10、，f2(5,0)，則能使雙曲線c的方程為1的是()a離心率為 b雙曲線過(guò)點(diǎn)c漸近線方程為3x4y0 d實(shí)軸長(zhǎng)為4abc解析：雙曲線c：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1(5,0)，f2(5,0)，可得c5.如果離心率為，可得a4，則b3.所以雙曲線c的方程為1，所以a正確；由c5，雙曲線過(guò)點(diǎn)，可得解得a4，b3，所以雙曲線c的方程為1，所以b正確由c5，漸近線方程為3x4y0，可得，a2b225，解得a4，b3，所以雙曲線c的方程為1，所以c正確由c5，實(shí)軸長(zhǎng)為4，可得a2，b，雙曲線c的方程為1，所以d不正確3與雙曲線x22y22有公共漸近線，且過(guò)點(diǎn)m(2，2)的雙曲線方程為_1解析：設(shè)

11、與雙曲線y21有公共漸近線的雙曲線方程為y2k.將點(diǎn)(2，2)代入得k(2)22，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.考點(diǎn)3雙曲線的幾何性質(zhì)綜合性考向1雙曲線的漸近線若雙曲線1(a0，b0)的離心率為，則其漸近線方程為()ayx byxcyx dyxa解析：(方法一)由題意知，e，所以ca，所以ba，即，所以該雙曲線的漸近線方程為yxx.(方法二)由e，得，所以該雙曲線的漸近線方程為yxx.求雙曲線的漸近線的方法已知雙曲線1(a0，b0)或1(a0，b0)的方程，求漸近線的方程時(shí)，可令0，得yx；或令0，得yx.反之，已知漸近線方程為yx，可設(shè)雙曲線方程為(a0，b0，0)考向2求雙曲線的離心率(1)(

12、2020瀏陽(yáng)一模)已知雙曲線c1：1(a0，b0)，圓c2：x2y22axa20.若雙曲線c1的一條漸近線與圓c2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線c1的離心率的取值范圍是()a bc(1,2)d(2，)a解析：由雙曲線方程可得其漸近線方程為yx，即bxay0，圓c2：x2y22axa20可化為(xa)2y2a2，圓心c2的坐標(biāo)為(a,0)，半徑ra.由雙曲線c1的一條漸近線與圓c2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，得2b，即c24b2.又知b2c2a2，所以c24(c2a2)，即c2a2，所以e1，所以雙曲線c1的離心率的取值范圍為.(2)(2020江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，若雙曲線1(a0)的一條漸近線方

13、程為yx，則該雙曲線的離心率是_解析：因?yàn)殡p曲線1(a0)的漸近線方程為yx，所以，所以a2，則離心率e.求雙曲線離心率或其取值范圍的方法(1)求a，b，c的值，由1直接求e.(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解考向3與雙曲線有關(guān)的最值和范圍問題已知m(x0，y0)是雙曲線c：y21上的一點(diǎn)，f1，f2是c的兩個(gè)焦點(diǎn)若0，則y0的取值范圍是()a. b.c. d.a解析：因?yàn)閒1(，0)，f2(，0)，y1，所以(x0，y0)(x0，y0)xy30，即3y10，解得y00，b0)的一條漸近線與圓(x2)2(y1)21相

14、切，則雙曲線c的離心率為()a. b. c. d.b解析：由題意知，雙曲線c的漸近線方程為byax0，結(jié)合圖形(圖略)易知與圓相切的只可能是byax0.又圓心坐標(biāo)為(2,1)，則1，得3a4b，所以9a216b216(c2a2)，則e2.又e1，故e.2已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線1，它的焦點(diǎn)到漸近線的距離的取值范圍是_(0,2)解析：對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線1(a0，b0)，它的一個(gè)焦點(diǎn)(c,0)到漸近線bxay0的距離為b.雙曲線1，即1，其焦點(diǎn)在x軸上，則解得4m0，b0)的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)以及右支上的動(dòng)點(diǎn)若pfa2paf恒成立，則雙曲線的離心率為()a bc2d1四字程序讀想算思a，f分別是

15、雙曲線的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，p是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)1.雙曲線的離心率的表達(dá)式是什么？2如何把幾何條件pfa2paf轉(zhuǎn)化為代數(shù)式子？設(shè)paf，建立paf和pfa之間的聯(lián)系數(shù)形結(jié)合pfa2paf，求雙曲線的離心率1.e；2轉(zhuǎn)化為直線的傾斜角，進(jìn)而用直線的斜率表示二者之間的關(guān)系tanpfatan 2利用特殊值法或者代數(shù)運(yùn)算，都要結(jié)合圖形解決問題思路參考：特殊值法，不妨設(shè)pfa90求解c解析：因?yàn)閜fa2paf恒成立，不妨令pfa90，則paf45.在雙曲線1中，令xc，易得p.因?yàn)閠anpaf1，所以ac，所以c2ac2a20，所以(ca)(c2a)0，解得c2a，即e2.思路參考：利用誘導(dǎo)公式表示出直線p

16、a，pf之間斜率的關(guān)系求解c解析：設(shè)paf，pfa2，kpak1，kpfk2，k2tan(2).設(shè)點(diǎn)p(x0，y0)，故1，因?yàn)閗2，k1，所以，聯(lián)立消去y0得：x(4a2c)x0c22ac0，(*)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，(*)式恒成立，此時(shí)e2.思路參考：造構(gòu)相似三角形，結(jié)合平面幾何知識(shí)求解c解析：如圖1，acb2abc，由平面幾何知識(shí)，acdbad，故，所以c2b2ab，反之亦然 圖1 圖2在雙曲線中，設(shè)點(diǎn)p(x0，y0)，過(guò)點(diǎn)p作pmaf，如圖2.因?yàn)閜fa2paf，同理可得|pa|2|pf|2|af|pf|，又|pa|2|pf|2(|am|2|mp|2)(|mf|2|mp|2)(|am|mf|)(|am|mf|)|af|(2x0ac)，所以|pf|2x0ac.由雙曲線的焦半徑公式知，|pf|ex0a，所以2x0acex0a，此時(shí)e2.思路參考：設(shè)出點(diǎn)p(m，n)，利用過(guò)兩點(diǎn)的斜率公式與傾斜角關(guān)系求解c解析：如圖，作pmaf于m，設(shè)paf，pfa2，設(shè)點(diǎn)p(m，n)在rtpam中，tan ，在rtpfm中，tan 2.因?yàn)閠an 2，所以，所以2(ma)(cm)(ma)2n2，所以2(ma)(cm)(ma)2b2，所以2m22(ca)m2acm22amc2恒成立所以所以e2.1本題考查雙曲線的離心率的計(jì)算，其基本策略是根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)尋找a，c的關(guān)系式2基于課程標(biāo)準(zhǔn)