競賽輔導(dǎo)第14節(jié)綜合除法余數(shù)定理含答案

1、第五節(jié) 綜合除法、余數(shù)定理 內(nèi)容講解 一般地，多項式f（x）除以一次多項式（x-a）的商式系數(shù)和余數(shù)有如下規(guī)律：商式的最高次項系數(shù)就是f（x）（按降冪排列后）的第一項系數(shù)，把這個數(shù)乘以b后再加上f（x）的第二項系數(shù)就得商的次商為次項系數(shù)，如此類推最后得余數(shù)，這種方法叫做綜合除法 余數(shù)定理：多項式f（x）除以（x-a）所得的余數(shù)等于f（a）如果f（x）能被（x-a）整除，也就是（x-a）是f（x）的因式反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）能被（x-a）整除因此，由余數(shù)定理，容易得出： 因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）的因式，

2、那么f（a）=0 例題剖析 例1 用綜合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余數(shù) 分析：整式的除法我們可以用豎式法和分離系數(shù)法，這里我們主要是熟悉綜合除法 解：把除式變成（x-a）形為x-（-3） 如右式所示： 所以商式3x2-4x+12 余數(shù)38 評注：在用綜合除法時，被除式和除式均按降冪排列，其缺項要用“0”補項除式一定要變成（x-a）的形式若f（x）的除式為px-q形（p0），可先變除式為：p（x-）。再用綜合除法求出除以（x-）的商式q（x）和余數(shù)k，則f（x）（px-q）的商式為q（x）=q（x），余數(shù)r=r 例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8 分析：原式可能

3、有x1，x2，x4，x8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，所以由因式定理，原多項式含有（x-1）（x+1）這兩個因式，然后用綜合除法即可求解 解：f（1）=0，f（-1）=0，原式中含有（x-1）和（x+1）這兩個因式由綜合除法得： 原式（x-1）（x+1）（x-2）（x+4） 評注：（1）如果多項式f（x）中各項系數(shù)的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次項的系數(shù)的和等于偶次項系數(shù)的和，則f（x）有一次因式（x+1），記住這個結(jié)論很有用 （2）本題用分組分解也較簡單，請同學(xué)們自己求解 例3 已知x+x-6是多項式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值 分

4、析：此題如果用以前的方法求解，就顯得特別的繁瑣，但用因式定理就比較簡單 解：x2+x-6=（x+3）（x-2），又x2+x-6是多項式2x4+x3-ax2+bx+a+b-1的因式x+3，x-2是它的兩個因式由因式定理，得f（-3）=0，f（2）=0，即 a=16，b=3 評注：因式定理在因式分解及其他地方得到廣泛的應(yīng)用，必須高度重視并熟悉掌握 例4 2x+1除6x4-5x3-3x2-x+4所得的余數(shù) 分析：我們可以用豎式除法，分離系數(shù)法和綜合除法求此題的余數(shù)，這里我們主要嘗試余數(shù)定理求解 解：2x+1=2x-（-） 由余數(shù)定理，得：r=f（-）=6（-）4-5（-）3-3（-）2-（-）+4=

5、4 評注：余數(shù)定理可以直接求多項式f（x）除以（x-a）式除以（px-q）的余數(shù) 例5 證明：（1）對任意自然數(shù)n，an-bn能被（a-b）整除 （2）當(dāng)n為偶數(shù)時,an-bn能被（a+b）整除； （3）當(dāng)n為奇數(shù)時，an-bn被（a+b）除的余數(shù)為-2b 分析：如果我們把an-bn看成是字母a或b的多項式f（a）或f（b），問題就轉(zhuǎn)化為f（a）或f（b）被（a-b）或（b-a）整除的問題，于是可用余數(shù)定理求解 證明：把an-bn看成是字母a的多項式f（a） （1）對任意自然數(shù)n，當(dāng)a=b時，f（b）=bn-bn=0，所以f（a）=an-bn能被（a-b）整除 （2）當(dāng)n為偶數(shù)時，f（-b）=

6、（-b）n-bn=0，所以an-bn能被a-（-b）=a+b整除 （3）當(dāng)n為奇數(shù)時，f（-b）=（-b）n-bn=-2bn，故an-bn被（a+b）除的余數(shù)為-2bn 評注：正確使用余數(shù)定理，可以快捷地解答一些復(fù)雜的問題，希望讀者仔細(xì)體會 鞏固練習(xí) 1用綜合除法求（2x3+x-7）（2x+1）的商式、余數(shù) 2已知x=，求f（x）=3x3-2x2+5的值 3求證2x+3是2x4-5x3-10x2+15x+18的因式 4利用因式分定理分解因式x3+y3+z3-3xyz 5已知f（x）=ax3+bx2-47x-15可被3x+1和2x-3整除，求a，b 答案: 1商式=x2-x+ 余數(shù)=- 2用綜合除法求f（x）（x-）的余數(shù)得f（）= 3令f（x）=2x4-5x3-10x2+15x+18 f（-）=2（-）4-5（-）3-10（-）2+15（-）+18=0，2x+3是f（x）的因式 4令f（x）=x3+y3+z3-3xyz，當(dāng)x=-（y+z）時，f（x）=f（-（x+y）=-（y+z）3+y3+z3+3（y+z）yz=-（y+z）3+（y+z）3=0，由因式定理知原式有因式x+y+z，又因為原式是關(guān)于x，y，z的三次齊次式，故令原式=（x+y+z）a（x2+y2+z2）+b（xy+yz+zx），比較兩邊