立體幾何作輔助線的一般思路和常用方法

1、 立體幾何作輔助線的一般思路和常用方法 做立體幾何題，性質(zhì)定理是打開解題思路的關(guān)鍵，也是引入輔助線的基礎(chǔ)，它可告訴我們應(yīng)該如何作輔助線，其中最常用的是線面平行和面面垂直性質(zhì)定理。 1、若題中給出直線a面這一條件，做題時首先考慮的是：要運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理，對照該定理中的條件就會想到應(yīng)過a作一平面和b，則得ab，然后再根據(jù)其它條件完成證明。 例1巳知直線a面。且a面，求證(86年廣東高考題) 分析:要證兩面垂直,根據(jù)判定定理,須在一面內(nèi)作一條直線和另一面垂直,因a面,考慮將直線a移到即可,看已知條件a面,應(yīng)該想到用線面平行的性質(zhì)定理,這時對照定理應(yīng)過直線a作一平面和面交于直線b,可得出a/b,

2、完成證明.練習(xí)： 已知直線a面，a面且b，求證：ab(93年3+2高考題)ab 2、若題中給出條件，作題時，先想到的是面面垂直的性質(zhì)定理，要運(yùn)用該定理就必須在其中一面內(nèi)作兩面交線的垂線a，則得出a垂直于另一平面。 例2已知平面，且a.求證：a(93年3+2高考題)分析：要證a，須證直線a垂直內(nèi)的兩條相交直線，所以考慮在內(nèi)作兩條相交直線，由條件，應(yīng)想到用兩面垂直的性質(zhì)定理，在內(nèi)先取點(diǎn)o，在面內(nèi)分別做oa 、ob交線b、c，可得出oa、ob,易知aoa、aob，從而有a。acbabo例3 已知直線a，面且a不包含于,求證：a (92年三南考題)分析：要證a ，須在內(nèi)作一直線與a平行，因已知中有面，

3、這時該想到兩面垂直的性質(zhì)定理， 在內(nèi)作兩面交線的垂線b，則有b ,又a，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得a/b，然后完成證明。ab2.用兩面垂直的性質(zhì)定理作一面的垂線:在證題或解題中為找一線在一面內(nèi)的射影(或找線面角.點(diǎn)到面的距離.用三垂線逆定理作平面角)都需過一點(diǎn)作一面的垂線,為定垂足的位置.需先找兩面垂直(即先過這點(diǎn)找一面與該面垂直)然后用兩面垂直的性質(zhì)定理將垂足作在兩面的交線上.例4已知a1b1c1一abc是正三棱柱.d是ac中點(diǎn).(1)證明ab1面dbc1.(2)假設(shè)ab bc1,求以bc1為棱.dbc1與cbc1為面的二面角的大小.(94年3+2考題)分析：1、要證ab1/面bdc1,須在

4、面bdc1內(nèi)作一直線平行于ab1，從結(jié)論出發(fā)，先承認(rèn)線面平行，根據(jù)性質(zhì)定理只須過ab1作一平面，這面就是面ab1c，此面與面bdc1交于od，可知有ab1/od，但證明時，應(yīng)先連b1c，然后取b1c中點(diǎn)o,即可2、作平面角時，抓住棱是bc1，由1知odbc1，用三垂線逆定理作平面角時，關(guān)鍵是作面的垂線，應(yīng)想到得先過d找兩面垂直，想到后就很容易從已知中知底面與側(cè)面垂直，然后用兩面垂直的性質(zhì)定理，在底面abc內(nèi)作dg交線bc于g,則dg面bcc1,連結(jié)og可知ogbc1 ,從而作出了平面角。b1baca1c1dog 例5園柱的軸截面abcd是正方形，點(diǎn)b在底面園周上，afde，f是垂足 i 求證：afdb 2 若園柱與三棱錐dabe的體積比等于3，求直線de與平面abcd所成的角。 (文：若aba，vdabe3，求點(diǎn)b到面abcd的距離。 95年考題) 練習(xí)：長方形紙片abcd中aba，adb，將紙片沿過a直線aal折成直二面角，問怎樣折法才能使bd最小。 abedcf分析：1、證明兩線垂直的基本思路主要有兩條，一是先證一線垂直于另一線所在的平面，然后得線線垂直；二是用三垂線定理。此題可考慮證af垂直bd所在平面，因易證be面dae,所以af be又af de ，af面bde,故有af bd2、要求線面角，得先找de在面abcd內(nèi)的射影，考慮過e作面a