第44節(jié)不定積分的觀點與性質(zhì)

1、第四講不定積分的概念與性質(zhì)微積分教學(xué)設(shè)計教學(xué)札記教學(xué)對象：財經(jīng)類，管理類等專業(yè)教學(xué)內(nèi)容：不定積分的概念、幾何意義不定積分的性質(zhì) ，基本積 分公式教學(xué)目的：理解不定積 分的概念，掌握不定積分的基本性質(zhì) 和基本積 分公式。教學(xué)方法：利用多媒體進(jìn) 行啟發(fā) 式教學(xué)教學(xué)重點：不定積 分的概念、性質(zhì)教學(xué)難點：不定積 分的幾何意義教學(xué)過程1. 不定積分的定 義若 F (x) 是函數(shù) f ( x) 在區(qū) 間 I 上的一個原函數(shù)，稱f (x) 在 I 上的所有原函數(shù) F ( x)C 稱為 f (x) 在區(qū) 間 I 上的不定 積分，記作f (x)dxF ( x) C .其中函數(shù)f (x) 稱為被積函數(shù) ，x 稱為

2、積分變量，C 稱為積分常數(shù)(constant of integration)。例1 求函數(shù)例2 求函數(shù)f ( x )x（1）的不定積分。f ( x )1x 的不定 積分。演示實驗2. 不定積分的幾何意 義由于不定 積分f ( x ) dx 是被積函數(shù) f ( x) 的所有原函數(shù)F (x) C 的集合，所以 對任意 給定的常數(shù) C0，都對應(yīng) 唯一確定的原函數(shù) F (x) C0 ，我們稱之 為 f (x) 的積分曲 線 (curve of integration) 。因為常數(shù) C 可取任意的 實數(shù)，所以不定 積分f ( x)dx 表示 f (x) 的一簇積分曲線。如圖任意 給定自 變量 x的一個

3、值 x0 ，積分曲線簇 F (x) C 中所有曲 線在相 應(yīng)點的切 線彼此平行，切教學(xué)心得線的斜率都等于f ( x0 ) ，因此 f (x) 的積分曲 線簇中每一條曲 線均可由 F (x) 沿 y 軸方向上或下平移 |C |個單位而得到。3 不定 積分的性 質(zhì)（1）求不定 積分運算與求 導(dǎo)數(shù)（或求微分）運算互為逆運算，即df ( x)dx f (x) ， 或 d f ( x) dx f (x)dx .dx教學(xué)札記f ( x)dxf ( x)C ， 或df ( x)f ( x)C .* 對應(yīng)于基本求導(dǎo)公式，可得如下基本積分公式：1.kdxkxC （ k 為常數(shù)）2.xdx1x1C（1）13.1

4、dxln | x |Cx4.x1x（）a dxln a aCa0,a15.ex dxexC6.sin xdxcos xC7.cos xdxsin xC8.sec2 xdxtanxC9.csc2 xdxcot xC10.secx tan xdxsecx C11.csc x cot xdxcsc xC12.1dxarcsin xCarccos xC1x 213.1dxarctan xCarccotxC .1x2（2）兩個函數(shù)和的不定 積分等于各個函數(shù)不定積分的和，即 f ( x)g (x)dxf ( x)dxg (x) dx .（3）不定 積分中被 積函數(shù)的非零常數(shù)因子可提到積分號的外面，即：kf

5、 (x)dx k f (x)dx，（ 為非零常數(shù)）k例 3求不定 積分 (t)2dt，并進(jìn)一步 計算12dt.t(t t )0例 4 判別下列命 題是否正確，并加以改正。(1)因為ln( 2x 1)2，所以 ln(2x1) 為函數(shù)2的一2x12x1個原函數(shù)，且2dxln( 2x1).2x1教學(xué)心得(2)因為f (x)dx f (x)0dx,所以 f (x)dxf (x)dx0dx，故 0dx 0 .(3)2(e2xe 2x )dx(exe x ) 2C 或 = ( e xe x ) 2C 或= e2x e 2 x C .(4) (ex x2 )dx ex 2x C .例 5求下列不定 積分（1）(3ex2 x 1 )dx（2） tan 2d（）x 2dx（）cos2x dx31 x242例 6已知 函數(shù) f ( x)x 1x0 ，求 f ( x)dx .cos xx0例 7 考慮一口油井的成本有兩種： 固定成本 (與井的深度無關(guān) )和邊際 成本 (每深 鉆 1m 的成本增 額) 。同時邊際 成本與你正在采掘的井的深度有關(guān)，在地下掘得越深，每 鉆 1m 的成本就越高。 記鉆 x m 總成本為 C( x