考研數(shù)學(xué)二真題及答案詳解

1、2015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（二）試題解析一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的,請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)下列反常積分收斂的是( )(a) (b) (c)(d) 【答案】(d)【解析】，則.(2) 函數(shù)在內(nèi)( )(a) 連續(xù)(b) 有可去間斷點(diǎn)(c)有跳躍間斷點(diǎn)(d) 有無(wú)窮間斷點(diǎn)【答案】(b)【解析】，故有可去間斷點(diǎn).(3) 設(shè)函數(shù),若在處連續(xù)則:( )(a) (b)(c)(d)【答案】(a)【解析】時(shí)，時(shí)，在處連續(xù)則：得得：，答案選擇a(4)設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其中二階導(dǎo)數(shù)的圖形如圖所示，則曲線的拐點(diǎn)的

2、個(gè)數(shù)為( )(a) (b) (c) (d) 【答案】(c)【解析】根據(jù)圖像觀察存在兩點(diǎn)，二階導(dǎo)數(shù)變號(hào).則拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).(5) 設(shè)函數(shù)滿足，則與依次是 ( )(a) (b) (c) (d) 【答案】(d)【解析】此題考查二元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)的求解.令，則，從而變?yōu)?故，因而.故選（d）.(6)設(shè)是第一象限由曲線，與直線，圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在上連續(xù)，則 ( )(a) (b)(c)(d) 【答案】(b)【解析】根據(jù)圖可得，在極坐標(biāo)系下計(jì)算該二重積分的積分區(qū)域?yàn)樗怨蔬xb.(7) 設(shè)矩陣,.若集合，則線性方程組有無(wú)窮多解的充分必要條件為 ( )(a) (b) (c)(d) 【答案】(d)【解析】，由，

3、故或，同時(shí)或.故選（d）(8) 設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為，其中，若則在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為( )(a) (b) (c)(d) 【答案】(a)【解析】由，故.且.由已知可得故所以.選（a）二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上. (9) 則【答案】48【解析】. (10)函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù)_【答案】【解析】根據(jù)萊布尼茨公式得：(11) 設(shè)連續(xù)，若，則【答案】【解析】已知，求導(dǎo)得，故有則. (12)設(shè)函數(shù)是微分方程的解，且在處取得極值3，則=.【答案】【解析】由題意知：，由特征方程：解得所以微分方程的通解為：代入，解得：解得：(13)若函數(shù)由方程確定，則=.

4、【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，則對(duì)該式兩邊求偏導(dǎo)可得.將（0,0,0）點(diǎn)值代入即有則可得(14) 若階矩陣的特征值為，其中為階單位陣，則行列式.【答案】21【解析】的所有特征值為的所有特征值為所以.三、解答題：1523小題,共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15) (本題滿分10分）設(shè)函數(shù)，.若與在時(shí)是等價(jià)無(wú)窮小，求的值.【答案】【解析】方法一：因?yàn)?，那么，可得：，所以，方法二：由題意得由分母，得分子，求得c；于是由分母，得分子，求得；進(jìn)一步，b值代入原式，求得 (16) (本題滿分10分)設(shè)a0，d是由曲線段及直線，所圍成的平面區(qū)域，分別表示d繞軸與繞

5、軸旋轉(zhuǎn)成旋轉(zhuǎn)體的體積，若，求a的值.【答案】【解析】由旋轉(zhuǎn)體的體積公式，得由題求得(17) (本題滿分11分)已知函數(shù)滿足，求的極值.【答案】極小值【解析】?jī)蛇厡?duì)y積分，得，故，求得，故，兩邊關(guān)于x積分，得由，求得所以.令，求得.又，當(dāng)時(shí)，為極小值.(18) (本題滿分10分)計(jì)算二重積分，其中【答案】【解析】(19)(本題滿分 11 分)已知函數(shù)，求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)？【答案】個(gè)【解析】令,得駐點(diǎn)為,在,單調(diào)遞減,在,單調(diào)遞增故為唯一的極小值,也是最小值.而在,故從而有考慮，所以.所以函數(shù)在及上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.(20) (本題滿分10分)已知高溫物體置于低溫介質(zhì)中，任一時(shí)刻該物體溫度

6、對(duì)時(shí)間的變化率與該時(shí)刻物體和介質(zhì)的溫差成正比，現(xiàn)將一初始溫度為的物體在的恒溫介質(zhì)中冷卻，30min后該物體降至，若要將該物體的溫度繼續(xù)降至，還需冷卻多長(zhǎng)時(shí)間？【答案】【解析】設(shè)時(shí)刻物體溫度為，比例常數(shù)為，介質(zhì)溫度為,則，從而，所以，即又所以，所以當(dāng)時(shí)，所以還需要冷卻min.(21) (本題滿分10分)已知函數(shù)在區(qū)間上具有2階導(dǎo)數(shù)，設(shè)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)是，證明.【證明】根據(jù)題意得點(diǎn)處的切線方程為令，得因?yàn)樗詥握{(diào)遞增，又因?yàn)樗?，又因?yàn)樗杂忠驗(yàn)?，而在區(qū)間（a,b）上應(yīng)用拉格朗日中值定理有所以因?yàn)樗詥握{(diào)遞增所以所以，即，所以，結(jié)論得證. (22) (本題滿分 11 分)設(shè)矩陣且.(1) 求的值；(2) 若矩陣滿足，為3階單位陣，求.【答案】【解析】(i)(ii)由題意