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1、第十章 曲線積分與曲面積分10.1 對弧長的曲線積分一、求曲線從到任意點間的那段弧的質(zhì)量,設(shè)它各點的密度與該點到原點的距離的平方成反比,且在點處的密度為。 () 二、計算下列曲線積分:1. ,其中為旋輪線:()。 ()2. ,其中是頂點為的三角形邊界。 ()3. ,其中是由極坐標曲線所圍成的區(qū)域的邊界曲線。 ()4. ,其中由直線:及螺線組成。 ()三、 計算 ,其中是由所圍成的第一象限部分的邊界。 ()四、 計算 ,其中是圓:。 ()五、 計算 ,其中由直線及曲線所圍成的第一象限部分的整個邊界。 ()10.2 對坐標的曲線積分一、設(shè)一質(zhì)點處于彈性力場中,彈力方向指向原點,彈力大小與質(zhì)點到原點
2、的距離成正比,比例系數(shù)為。若質(zhì)點從點沿橢圓在第一象限部分移動到點,求彈力所做的功。 ()二、計算曲線積分 ,其中是拋物線沿增加的方向。 ()三、 計算 ,其中是曲線從點到點的一段弧。 ()四、 計算 ,其中是曲線從點到點的一段。 ()五、 計算 ,其中,為圓的上半部分,為是一段拋物線。 ()六、 計算 ,其中是由直線和兩個坐標軸構(gòu)成的三角形閉路,沿逆時針方向。 ()七、 計算 ,其中是曲線從到的一段弧。 ()八、已知平面力場,將單位質(zhì)量的質(zhì)點從坐標原點沿直線移動到橢圓在第一象限上,問終點在何處時,力做功最大?并求出功的最大值。 ()10.3 格林公式及其應(yīng)用一、 利用曲線積分計算由旋輪線 ()
3、與軸所圍區(qū)域的面積。 ()二、 利用格林公式計算下列曲線積分:1. ,其中是頂點為的三角形的邊界,沿逆時針方向。 ()2. ,其中是圓周的逆時針方向。 ()3. ,其中是從點沿直線到點,再從點沿圓周的逆時針方向到點。 ()4. ,其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),是連接點和的任何路徑,且與直線所圍成的區(qū)域的面積為定值,總是位于直線的左方。 ()三、 求 ,其中為正方形的逆時針方向。 ()四、設(shè)曲線積分 與路徑無關(guān),其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且,求,并計算積分。 ()五、求 ,其中是的上半圓,由點到點的弧段。 ()六、求 ,其中是以為頂點的三角形的正向邊界曲線。 ()七、證明:在面上是某一函數(shù)的全微分,并求。 ()
4、八、求拋物線與軸所圍區(qū)域的面積。 ()九、設(shè)在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),求,其中是從點到點的直線段。 ()10.4 對面積的曲面積分一、 計算下列曲面積分:1. ,其中是球面。 ()2. ,其中是平面在第一卦限部分。 ()3. ,其中是由圓錐面和平面所圍成的圓錐體的表面。 ()4. ,其中是圓錐面被圓柱面所截下的那塊曲面。 ()5. ,其中是拋物面()。 ()6. ,其中是曲面()在第一卦限的部分。 ()二、求上半球殼的質(zhì)量,此殼的面密度。 ()三、求均勻曲面的重心坐標。 ()10.5 對坐標的曲面積分一、把對坐標的曲面積分 化為對面積的曲面積分:1. 為平面在第一卦限部分的上側(cè)。 ()2. 為球面的內(nèi)側(cè)
5、。 ()二、 計算,其中為連續(xù)函數(shù),為直角平行六面體的表面外側(cè)。()三、 計算,其中為圓柱面在兩卦限內(nèi)被平面及所截部分的外側(cè)。 ()四、 計算,其中為圓錐面及平面所圍成的空間區(qū)域的整個邊界的外側(cè)。 ()五、 計算,其中為連續(xù)函數(shù),為平面在第四卦限部分的上側(cè)。 ()10.6 高斯公式 通量與散度一、利用高斯公式計算曲面積分:1. ,其中是由和三個坐標面所圍成的四面體的外側(cè)表面。 ()2. ,其中是橢球面的外側(cè)。 ()二、求向徑通過圓錐體()全表面外側(cè)的通量。 ()三、求,其中是球面的上半部分的外側(cè)。 ()四、求其中是球面的下半部分的上側(cè),常數(shù),可導(dǎo)。 ()五、求 ,其中是下半球面的上側(cè)。 ()六、計算 ,其中為有向曲面,其法向量與軸正向的夾角為銳角。 ()七、求下列向量場的散度:1. ()2. ,其
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