第十章曲線積分與曲面積分

1、第十章 曲線積分與曲面積分10.1 對弧長的曲線積分一、求曲線從到任意點間的那段弧的質(zhì)量，設(shè)它各點的密度與該點到原點的距離的平方成反比，且在點處的密度為。 （） 二、計算下列曲線積分：1. ，其中為旋輪線：（）。 （）2. ，其中是頂點為的三角形邊界。 （）3. ，其中是由極坐標曲線所圍成的區(qū)域的邊界曲線。 （）4. ，其中由直線：及螺線組成。 （）三、 計算 ，其中是由所圍成的第一象限部分的邊界。 （）四、 計算 ，其中是圓：。 （）五、 計算 ，其中由直線及曲線所圍成的第一象限部分的整個邊界。 （）10.2 對坐標的曲線積分一、設(shè)一質(zhì)點處于彈性力場中，彈力方向指向原點，彈力大小與質(zhì)點到原點

2、的距離成正比，比例系數(shù)為。若質(zhì)點從點沿橢圓在第一象限部分移動到點，求彈力所做的功。 （）二、計算曲線積分 ，其中是拋物線沿增加的方向。 （）三、 計算 ，其中是曲線從點到點的一段弧。 （）四、 計算 ，其中是曲線從點到點的一段。 （）五、 計算 ，其中，為圓的上半部分，為是一段拋物線。 （）六、 計算 ，其中是由直線和兩個坐標軸構(gòu)成的三角形閉路，沿逆時針方向。 （）七、 計算 ，其中是曲線從到的一段弧。 （）八、已知平面力場，將單位質(zhì)量的質(zhì)點從坐標原點沿直線移動到橢圓在第一象限上，問終點在何處時，力做功最大？并求出功的最大值。 （）10.3 格林公式及其應(yīng)用一、 利用曲線積分計算由旋輪線 （）

3、與軸所圍區(qū)域的面積。 （）二、 利用格林公式計算下列曲線積分：1. ，其中是頂點為的三角形的邊界，沿逆時針方向。 （）2. ，其中是圓周的逆時針方向。 （）3. ，其中是從點沿直線到點，再從點沿圓周的逆時針方向到點。 （）4. ，其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，是連接點和的任何路徑，且與直線所圍成的區(qū)域的面積為定值，總是位于直線的左方。 （）三、 求 ，其中為正方形的逆時針方向。 （）四、設(shè)曲線積分 與路徑無關(guān)，其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，求，并計算積分。 （）五、求 ，其中是的上半圓，由點到點的弧段。 （）六、求 ，其中是以為頂點的三角形的正向邊界曲線。 （）七、證明：在面上是某一函數(shù)的全微分，并求。 （）

4、八、求拋物線與軸所圍區(qū)域的面積。 （）九、設(shè)在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求，其中是從點到點的直線段。 （）10.4 對面積的曲面積分一、 計算下列曲面積分：1. ，其中是球面。 （）2. ，其中是平面在第一卦限部分。 （）3. ，其中是由圓錐面和平面所圍成的圓錐體的表面。 （）4. ，其中是圓錐面被圓柱面所截下的那塊曲面。 （）5. ，其中是拋物面（）。 （）6. ，其中是曲面（）在第一卦限的部分。 （）二、求上半球殼的質(zhì)量，此殼的面密度。 （）三、求均勻曲面的重心坐標。 （）10.5 對坐標的曲面積分一、把對坐標的曲面積分 化為對面積的曲面積分：1. 為平面在第一卦限部分的上側(cè)。 （）2. 為球面的內(nèi)側(cè)

5、。 （）二、 計算，其中為連續(xù)函數(shù)，為直角平行六面體的表面外側(cè)。（）三、 計算，其中為圓柱面在兩卦限內(nèi)被平面及所截部分的外側(cè)。 （）四、 計算，其中為圓錐面及平面所圍成的空間區(qū)域的整個邊界的外側(cè)。 （）五、 計算，其中為連續(xù)函數(shù)，為平面在第四卦限部分的上側(cè)。 （）10.6 高斯公式 通量與散度一、利用高斯公式計算曲面積分：1. ，其中是由和三個坐標面所圍成的四面體的外側(cè)表面。 （）2. ，其中是橢球面的外側(cè)。 （）二、求向徑通過圓錐體（）全表面外側(cè)的通量。 （）三、求，其中是球面的上半部分的外側(cè)。 （）四、求其中是球面的下半部分的上側(cè)，常數(shù)，可導(dǎo)。 （）五、求 ，其中是下半球面的上側(cè)。 （）六、計算 ，其中為有向曲面，其法向量與軸正向的夾角為銳角。 （）七、求下列向量場的散度：1. （）2. ，其