行列式解法技巧論文完整版.doc

1、行列式解法技巧論文完整版1 行列式的基本理論1.1行列式定義定義 行列式與矩陣不同，行列式是一個值，它是所有不同行不同列的數(shù)的積的和，那些數(shù)的乘積符號由他們的逆序數(shù)之和有關(guān)，逆序數(shù)之和為偶數(shù)符號為正，逆序數(shù)之和為奇數(shù)符號為負。這一定義可以寫成a 11a 21 a n 1j 1j 2 j na 12a 22 a n 2a 1n =j 1j 2 j na 2n a nn(-1) (j 1j 2 j n ) a 1j 1a 2j 2 a nj n, 這里表示對所有 n 級排列求和 .1.2行列式的性質(zhì)1 、行列式的行列互換，行列式不變；a 11a 21 a n 1a 12 a 1n=a 11a 12

2、 a 1na 21 a n 1a 22 a n 2a 2n a nna 22 a 2n a n 2 a nn2 、互換行列式中的兩行或者兩列，行列式反號；a 11 a i 1 a k 1 a n 1a 12 a i 2a 1n a ina 11 a k 1a i 1 a n 1a 12 a i 2a 1n a ina k 2 a kn =-a k 2 a kn a n 2 a nn a n 2 a nn3 、行列式中某行乘以一個數(shù)等于行列式乘以這個數(shù)；a 11 ka i 1 a n 1a 12 a n 2a 1n a nna 11 a n 1a 12 a i 2a 1n a inka i 2

3、ka in =k a i 1a n 2 a nn4 、行列式的某兩行或者某兩列成比例，行列式為零；a 11 a i 1 ka i 1 a n 1a 12 a i 2a 1na 11 a i 1a 12 a i 2 a i 2a 1na in =0 a in a in =kka i 2 ka in a i 1a n 2 a nn a n 1a n 2 a nn5 、行列式的某一列或者某一行可以看成兩列或兩行的和時，行列式可拆另兩個行列式的和。a 11 b 1+c 1a n 1a 12 b 2+c 2a n 2a 1n a nna na 12b 2a 1na 11a 12 c 2a 1nc nb

4、n +c n =b 1a n 1b n +c 1a n 1a n 2 a nn a n 2 a nn6 、把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變。7 、行列式有兩行（列）相同，則行列式為零。1.3基本理論1a i 1A j 1+a i 2A j 2+ +a in A jn =ABA CB D? 2降階定理3? D , ij其中 A ij為元素a ij代數(shù)余子式。? 0, i =j=A D -CA -1BO C =A C4 AB =A B5 非零矩陣 k 左乘行列式的某一行加到另一行上，則新的分塊行列式與原來相等。1.4 幾種特殊行列式的結(jié)果1 三角行列式a 110 0a 11a 12 a 1n a

5、 22 a 2n 00a nn00=a 11a 22 a nn (下三角行列式) =a 11a 22 a nn (上三角行列式)a 21a 22a n 1a n 2 a nn2 對角行列式a 110 00 000 a nn=a 11a 22 a nna 223對稱與反對稱行列式a 11D =a 21 a n 1a 12 a 1na 22 a 2n a n 2 a nn滿足 a ij =a ji (i =1, 2 n , j =1, 2 n )，D 稱為對稱行列式0a 21D =a 31a n 1a 120a 32 a n 2a 13 a 1n a 23 a 2n 0 a n 3a 3n滿足 a

6、 ij =-a ji (i , j =1, 2 n )， D 稱為反對稱行列式。若階數(shù)n 為奇數(shù)時，則D=01a 11a 22a 21a 32a 31a n2=a n4D n =a 12a 1n -1n -1a 21jin (ai-a j )n -1n -1a 3 a n2 行列式的計算技巧2.1定義法a 21例 1：計算行列式 D =a 3100a 12a 22a 32a 42a 52a 13a 23a 33a 43a 530a 24a 34000a 25a 35 00解：由行列式定義知D =j 1 j n(-1)(j 1, j 2, , j n )且 a 11a 14a 15=0， 所 a

7、 1j 1a 2j 2 a nj n，以 D 的非零項 j，只能取 2 或 3，同理由 a 41=a 44=a 45=a 14=a 55=0，因而 j 4j5 只能取 2 或 3，又因 j 1 j 5要求各不相同，故a j 1a j 2 a j 5項中至少有一個必須取零，所以D=0。2.2化成三角形行列式法將行列式化為上三角形行列式計算步驟，如果第一行第一個元素為零，首先將第一行( 或第一列 ) 與其它任一行 ( 或列 ) 交換，使第一行第一個元素不為零，然后把第一行分別乘以適當(dāng)數(shù)加到其它各行，使第一列除第一個元素外其余元素全為零，再用同樣的方法處理除去第一行加第一列余下的低階行列式依次做下去

8、，直至是它成為上三角形行列式，這時主對角線上元素的乘積就是行列式的值。a b b b b a b b例 2 計算行列式 D n =b b a b b b b a解：各行加到第一行中去a +(n -1) b a +(n -1) b a +(n -1) b D n =b b100 0a b00 0b a 000 a -b=a +(n -1) b (a -b ) n -1111 1b a b b=a +(n -1) b b b a bb b b ab a -b=a +(n -1) b bba -b例 3 計算行列式123 n -1234 D =345n 1n 12n 12 n -2n -解：從倒數(shù)第

9、二行(-1) 倍加到第 n 行2113 n -111 11 1-n n 1-n1 1n (n +1)200 02113 n -11 111 1n 1-n 1 11-n 11-n 11n (n +1) 1=2-n1=n (n +1) 2-n1 1-n 1 1 1 1-n1-0 0n -11第一行的（ -1 ）倍加各行上11-n n nn (n +1) 0 -n2-n 0=n (n +1)(-1) n -12n n=(-1)n (n -1) 2(1+n ) n 22.3兩條線型行列式的計算除了較簡單的行列式（如上、下三角行列式等）可以用定義直接計算，少數(shù)幾類行列式可利用行列式性質(zhì)直接計算外，一般行

10、列式計算的主要方法是利用行列式的性質(zhì)做恒等變形化簡，使行列式中出現(xiàn)較多的零元素，然后直接用特殊的行列式的值來計算（如上（下）三角行列式等）或利用按行（列）展開定理降低行列式的階數(shù)。a 10b 1 0000 a n -100 . b n -1a na 2例 4 計算 n 階行列式D =0b n解： 按第 1 列展開得a 20D =a 100b 2 a 3 000 00b 1a 2 00b 2a 3 00 00+b n (-1) n +10a nb 3a n -1b n -1b n -1= a 1a 2 a n +(-1)b 1b 2 b n .n +12.4箭型行列式的計算對于形如的所謂箭型（或

11、爪形）行列式，可以直接利用行列式性質(zhì)化為三角或次三角形行列式來計算，即利用對角元素或次對角元素將一條邊消為零。1010 011 21.例 5 計算行列式D n =n0n -1 0101解1c n -c n -12 =D n1c n -c 1n10 n10 01111- -2n2000：=(-1)n (n -1)2n ! (1-11- -) 2n0n -1 02.5三對角行列式的計算對于形如的所謂三對角行列式，可直接展開得到兩項遞推關(guān)系 D n = D n -1+ D n -2 ，然后采用如下的一些方法求解。方法 1 如果 n 比較小，則直接遞推計算方法 2 用第二數(shù)學(xué)歸納法證明：即驗證n=1

12、時結(jié)論成立，設(shè)若證明 n=k+1 時結(jié)論也成立，則對任意自然數(shù)相應(yīng)的結(jié)論成立n k時結(jié)論也成立，中方法 p +q =3 將 D n = , -pq = D n -1+ D n -2變形為 D n -pD n -1=q (D n -1-pD n -2) 由韋達定理知p 和 q 是一元二次方程，其x 2-x -=0的兩個根。確定p 和q后，令f (x )=D n -pD n -1，則利用f (n )=qf (n -1)遞推求出f (n )，再由D n =pD n -1+f (n )遞推求出D n。方法4設(shè)D n =x n，代入D n - D n -1- D n -2=0得 x n - x - =0

13、（稱n之為特征方程），求出其根x 1和x 2（假設(shè)x 1 x 2 ），則D n =k 1x 1n +k 2x 2，這里k 1，k 2可通過n=1 和n=2 來確定。+1 +1 000 0000例 6 計算行列式 D n =0 00 +00.+1 +解：將行列式按第 n 展開，有D n =(D n -1= +) D n -1- D n -2, D n -(D n -1-D n -2),D n -1= (D n -1- D n -2), D n -n -得 D n - D n -1=D n -1= n ,2(D n -2-D n -3) = = n -2(D 2-D 1) =n同理，得D? (n

14、+1)n , = ;? n +1D =所以 n? - n +1, . ? - ?2.6利用范德蒙行列式范德蒙行列式具有逐行元素遞增的特點。因此遇到具有逐行（或列）元素方冪遞增或遞減的所謂范德蒙型的行列式時，可以考慮將其轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式并利用相應(yīng)的結(jié)果求值1x 1+11x 2+1x 2+x 2n -2221x n +1x n +x n n -1例7 計算行列式 D= x 1x 1+x 1 n -12.+x 1x 2n -1+x 2n -2x n +x nn -2解：把第 1 行的 1 倍加到第 2 行，把新的第 2 行的 1 倍加到第 3 行，以此推直到把新的第 n -1 行的 -1 倍加到第

15、 n 行，便得范德蒙行列式1x 1D =x 12x 1n -11x 22x 21x n2x n =n i j1(x i -x j ) .n -1n -1x 2 x n2.7 Hessenberg型行列式的計算對于形如的所謂 Hessenberg 型行列式，可直接展開得到遞推公式，也可利用行列式的性質(zhì)化簡并降階。1223-2n -2-(n -2)n -1-(n -1)n -1n1-1例 8 計算行列式 D n =解： 將第 1，2n-1列加到第 n 列，得1D n =223-2n -2-(n -2)n -1-1n (n +1) =?(-1) 1+n22-(n -2)n -1 n -1 1-1n

16、(n +1) 2=(-1)n +1 (n +1)!22.8降階法將行列式的展開定理與行列式性質(zhì)結(jié)合使用，即先利用性質(zhì)將行列式的某一行( 或某一列 ) 化成僅含一個非零元素，然后按此行( 列 ) 展開，化成低一階的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或二階行列式直接計算出結(jié)果。1a a21b b21c c21d d2=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d )a 4b 4c 4d 4左邊1=a a 240b -a b 2-a 2440c -a c 2-a 2440d -a d 2-a 244b -a=b 2-a 2c -a c 2

17、-a 2d -a d 2-a 2(b 2+a 2)(b 2-a 2) (c 2+a 2)(c 2-a 2) (d 2+a 2)(d 2-a 2)ab -ac -ad -a111=(b -a )(c -a )(d -a ) b +ac +a a +d(b 2+a 2)(a +b ) (c 2+a 2)(c +a ) (a 2+d 2)(d +a ) =(b -a )(c -a )(d -a )(d -b )11(c 2+bc +b 2) +a (c +b ) (a 2+bd +b 2) +a (b +d )=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a

18、 +b +c +d )例 9 計算行列式a 1+a 2a 1+a n D 2+a 10 a 2+a nn =a，其中 n 2， a i0i =1a n +a 1a n +a 2解：? ? -2a 1 ? ? ? a 1+a 1a 1+a 2 a 1+a n? -2a ? ? ?n ? ? a n +a 1a n +a 2 a ?n +a n? ? -2a? =? 1? -2a 2? ? ? a a 11 ?-1 ? +? 21? ? 10? ? 1 ? 01 ? a 1 1 ? 2 a n ? ?-2a? ?a 1n ? a n 1 ? ? ?-2a 1-2a 2? -2a 1? -1D -2

19、a n?1 ?-2a? ?2? a 1n =10 10? 1? 01? ? ? + ? a 1 a ? n ? ? 01?-2a? ? a n n ? ?11n 1-2=(-2) na i n1i =1-a j 2j =11n -1-n? ?a k2k =1n -2-1=(-2) a i? (n -2) 2-a j?a k?n i =1j , k =1?1-22.9加邊法（升階法）行列式計算的一般方法是降階，但對于某些特殊的n 階行列式，如除對角元（或次對角元）外，其余元素相同或成比例的行列式，有時加上一行一列變成n+1 階的行列式，特別是第 1 列為 (1, 0,. 0)并T適當(dāng)選擇第 1

20、行的元素，就可以使消零化簡單方便，且化簡后常變成箭型行列式，這一方法稱為升階法或加邊法x +a 1a 1a 2x +a 2a 2 a 21-1r i -r 1(i =2, , n +1) -1-1na 3a 3 a 3a 1x 0 0a n a n a n例 10 計算 n 階行列式 D n =a 1a 11a 1 D na nx +a 3.x +a n a 2 a n 0x 000 x解： D n +1=0 0+j =1 a j xa 1 a n x 0n a?0=x 1+ jj =1x?n=0 0? ? . ?x2.10 計算行（列）和相等的行列式對于各行（或各列）之和相等的行列式，將其各

21、列（或各行）加到第 1 列（或行）或第n 列（或行），然后再化簡。11 1011 01例 11 計算 n 階行列式 D n =10 1101 1111 1n -111 0n -1解： D n c n +c i (i =1, 2 n -1)10 1n -101 1n -110r i -r 1(i =2, 3 n )0-110-101 00n -0 00(n +2)(n -1)2-1=(-1)n (n -1) 2(-1) (n -1) (n -1) =(-1)(n -1)以下不作要求2.11相鄰行（列）元素差1 的行列式計算以數(shù)字 1，2， n 為（大部分）元素，且相鄰兩行（列）元素差 1 的 n

22、 階行列式可以如下計算：自第1 行（列）開始，前行（列）減去后行（列）；或自第 n 行（列）開始，后行（列）減去前行（列），即可出現(xiàn)大量元素為 1 或 1 的行列式，再進一步化簡即出現(xiàn)大量的零元素。對于相鄰行（列）元素相差倍數(shù) k 的行列式，采用前行（列）減去后行（列）的 k 倍，或后行（列）減去前行（列）的 k 倍的步驟，即可使行列式中出現(xiàn)大量的零元素。1a n -1a 1a n -1 a 3a 2a 2 a n -2a 1 a 4a n -3 a n -41a n -1a n -2a n -3 a 1例 12 計算 n 階行列式 D n =a n -2 a 2aa 3 a n -1解-a

23、n0 0a01-a n0 0a 2001-a n0a 30 1-a na n -10 01 =(1-a n ) n -1D n r i -ar i +1(i =1, 2 n -1)2.12線性因子法x 0z yy z 0xz y x 0+x11-x 111111-zx y z111例 13計算行列式(1)(2)解： (1) 由各列加上第一列可見，行列式D 可被 x +y +z整除。由第二列加到第一列，并減去第三、四列可見，D 可被 y +z -x整除，由第三列加于第一列，并減去第二、四列可見， D 被 x -y +z整除。最后由第四列加于第一列，并減去第二、三列可見，D 可被 x+y -z整除

24、。我們把x , y , z視為獨立未知量，于是上述四個線性因子式是兩兩互素的，因此， D 可被它們的乘積 (x +y +z )(y +z -x )(x -y +z )(x +y -z )整除。此乘積中含有一項：-z 4，而D 中含有一項：(-1) c z 4=z 4所以D =-(x +y+z )(y +z -x )(x -y +z )(x +y -z )=x 4+y 4+z 4-2x 2y 2-2x 2z 2-2y 2z 224(2) 將行列式 D 的前兩行和兩列分別對換，得-x D =11111+x 11111+z 11111-z如果以 -x代替 x ，又得原來形式的行列式。因此，如果D 含

25、有因式 x ，必含有因式-x ，由于當(dāng)x =0 時， D 有兩列相同，故 D 確有因式x ，從而 D 含有因式 x 2 。同理 D 又含有因式 z 2 ，而 D 的展開式中有一項： x 2z 2 ，從而 D =x 2z 21 1-x 1例14計算行列式：Dn =(n -1) -x解：由n階行列式定義知，D n的展開式是關(guān)于x 的首項系數(shù)為(-1) n -1的 (n -1)=0,因此 D n (x )有k =0n -2n -2次多項式 D n (x ),當(dāng) x =k (k =0, 1, 2 n -2)n -1個互異根 0， 1、2,n-2 由因式定理得 (x時， D n (k )-k ) |D

26、n (x )故D n =(-1) n -1(x-k )k =02.13f 1(a 1)f 1(a n )輔助行列式法例 15 計算行列式D n =f n (a 1) f n (a n )其中f i (x )(i =1, n )為次數(shù) n -2的數(shù)域F 上多項式a 1 a n為F中任意n 個數(shù)。解：若a 1 a n中有兩個數(shù)相等，則D n =0若 a 1 a n互異，則每個n 階行列式f 1(x ) f 1(2) f 1(a n )G (x ) =是 f 1(x ), f 2(x ) f n (x )f n (x ) f n (a 2) f n (a n )的線性組合，據(jù)題f i (x )的次數(shù)

27、 n -2(i =1 n )因而G (x )的次數(shù) n -2,但 G (a 2) = =G (a n ) =0,這說明G (x )至少有 (n -1)個不同的根，故G (x ) =0,所以G (a 1) =0即D n (x ) =02.14 na b b b c ca b b cc b階循環(huán)行列式算法例16計算行列式D n =c c a b其中abc0. bcc a解：設(shè)f (x ) =a +b (x +x 2+ +x n -1)且令x n -=0的n個根為x i (i =1 n ),i =1nc c-x則 D n = f (x i )x n -x +由 f (x ) =a +b () =a

28、+b x n -c -x i(a -b ) x i +(c -a )f (x i ) =a +b b =x i -1x i -1有x -1x -1x -1利用關(guān)系式x i =x i x j = =x i 1x i 2 x i , n-1=0 x 1x 2 x n =(-1) n+1ncbn得 D n = i =1(a -b ) x i +(c -a )=x i -1(a-b ) x +(c -a )ii =1(x-1)ii =1nc(-1) n +1(a -b ) n +(c -a ) n n nc (a -b ) -b (a -c ) =c -b (-1) n +1+(-1) n b例 17

29、 設(shè) f ij (x ), (i , j =1, 2, , n )都是 x 的可微函數(shù)f 11(x )f 1n (x )f 11(x ) f 12(x ) f 1n (x )nd f 21(x ) f 22(x ) f 2n (x ) d d=證明： f i 1(x ) f in (x )dx dx i =1dxf n 1(x ) f n 2(x ) f nn (x )f n 1(x ) f nn (x )證明：f 11(x ) f 12(x ) f 1n (x )d f 21(x ) f 22(x ) f 2n (x ) d= (-1)(j 1j 2 j n ) f 1j 1(x ) f 2

30、j 2(x ) f njn (x )dx dx j 1 j nf n 1(x ) f n 2(x ) f nn (x )=j 1j 2 j n(-1) (j 1j 2 j n )df 1j 1(x ) f 2j 2(x ) f njn (x )dx=j 1j 2 j n(-1)(j 1j 2 j n ) d df 1j 1(x ) f 2j 2(x ) f njn (x ) + +(f 1j 1(x ) f 2j 2(x ) f n -1jn -1(x )(f njn (x )dx dx=j 1j 2 j n(-1)(j 1j 2 j n ) (df 1j 1(x ) f 2j 2(x ) f

31、 njn (x ) + +dxj 1j 2 j n(-1) (j j j ) f 1j 1(x ) f n -1jn -1(x )12ndf njn (x ) ) dxdf 11(x ) dx f 21(x )f n 1(x )d d f 12(x ) f 1n (x ) dx dxf 2n (x ) f 22(x )f n 2(x )f 11(x )f 12(x )f 1n (x )=df (x ) +dx 21f nn (x )f n 1(x ) d d f 22(x ) f 2nn (x )+ +dx dxf n 2(x ) f nn (x )f 11(x ) f 21(x ) f 12

32、(x ) f 22(x )f 1n (x ) f 2n (x )nf 11(x )f 12(x )f 1n (x )d = f i 1(x )d df i 2(x ) f in (x ) f n -1, 1(x ) f n -1, 2(x ) f n -1, n (x ) dx dd i =1dxdxdxf n 1(x ) dx f dn 2(x ) dxf nn (x )f n 1(x ) f n 2(x )f nn (x )2.15有關(guān)矩陣的行列式計算例18 設(shè) A 與B 為同階方陣：證明：ABBA=A +B?A -B證明：ABA+BB+AA+B0BA=BA=BA -B=A+BA-B例 1

33、9 設(shè) A 為 n 階可逆方陣， 、 為兩個 n 維列向量，則A + =(1+ A -1a ) A證明：A-1=A(n +1)(n +1A=A (1+ A -1)01+ -1)例 20 若 n 階方陣 A 與 B 且第 j列不同。證明： 21-n A +B =A +Ba a b證明： A +B =2*a 1+b +b 122b 1 2*a 1 =2*2 2*+2*2 2*a n +b n anbn a 1 b 1=2n -1 *+2n -1 * =2n -1(A +B )an bn21-n A +B =A +B 2.16用構(gòu)造法解行列式例 21 設(shè) f (x ) =(a 1-x )(a 2-x

34、 )(a 3-x ), aba 1ba ba a =a 3證明： D =b a 2 a ?f (b ) -bf (a )a -b證明：構(gòu)造出多項式：a 1+xD (x ) =b +xb +x a 1=b b a 1=b ba +x a 2+x b +xa +x a 3+xa 1+x b +x 1a -a 11a -a 1a 2-b 0a -a 1a -b a 3-ba -a 1a -b a 3-ba +x =b +xa -a 1a 2-b 0a a 2ba -a 1a 3-b a a 3a -b +x 1a 2-b1a -a 11a -a 3a -b a 3-ba +x 1a 2-b? D (

35、x ) =D +xD 1? a 1+(-a ) 00?a 2+(-a ) 0=(a 1-a )(a 2-a )(a 3-a ) =D -aD 1=f (a )=b -a? b -a b -a a 3-a? ?a 1-b a -b a -b? 當(dāng)x =-a , D (-a )? 當(dāng)x =-b , D (-b ) =0a 2-b a -b =(a 1-b )(a 2-b )(a 3-b ) =D -bD 1=f (b )?00a 3-b? D =? ?af (b ) -bf (a )a -b2.17利用拉普拉斯展開x 0-1x 0a n -10-1 000 x00 -1a 1+x例 22 證明：

36、n 級行列式 D = 0a na n -2 a 2證明：利用拉普拉斯展開定理，按第n 行展開有：-1xD n =(-1) n +1a n000 0000 00 00x 000 x000- 0x000x 0 0000000x 0000 x00 + +0-0 000 x -1 0-10 0-10 00 +(-1) n +2a n -10 -10 -1x -1 x -1(-1) n +(n -2) a 20-1 0+(-1) n +(n -1) (a 1+x )x - 0-=(-1) n +1a n (-1) n -1+(-1) n +2a n -1(-1) n -2x + +(-1) n +(n

37、-2)a 2(-1) x n -2+(-1) n +(n -1) (a 1+x ) x n -1=a n +a n -1x +a n -2x 2+ +a 2x n -2+a 1x n -1+x n以上等式右端的n -1級行列式均為“三角形行列式”。計算行列式的方法很多，也比較靈活，上面介紹了計算行列式的幾種方法，計算行列式時，我們應(yīng)當(dāng)針對具體問題，把握行列式的特點，靈活選用方法。3 用多種方法解題下面我們運用上面的介紹的各種方法，選用多種方法解題。x a a a ax a a例 23 計算： D n =a a x aa a a x法 1：將第 2,3, ,x +(n -1) a， n行都加到第1 行上去，得aa ax +(n -1) a x +(n -1) ax a aa a x11 1ax a=x +(n -1) a a a a a a x再將第一行通乘 -a，然后分別加到第2,3, ,n行上，得1D n =x +(n -1) a 010 0100=(x -a ) n -1x +(n -1) a 0x -ax -a法 2：將 2,3, ,n 行分別減去第 1 行得x a -