可分離變量微分方程ppt課件

1、( , )d( , )d0M x yxN x yyd( , )dyf x yx轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 可分別變量微分方程可分別變量微分方程 第二節(jié)第二節(jié)xxfyygd)(d)(可分別變量方程可分別變量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22( ( )d ( )( )dgxxf xx分別變量方程的解法分別變量方程的解法:xxfyygd)(d)(設(shè)設(shè) y (x) 是方程的是方程的解解, xxfxxxgd)(d)()(兩邊積分兩邊積分, 得得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(那么有恒等那么有恒等式式 )(yG)(xF當(dāng)當(dāng)G(y) 與與F(x) 可微可微

2、G(y) g(y)0,時時,由確定的隱函數(shù)由確定的隱函數(shù) y(x) 是的解是的解. 那么那么有有稱為方程的隱式通解稱為方程的隱式通解, 或通積分或通積分.同樣同樣,當(dāng)當(dāng)F(x)= f (x)0 時時,上述過程可逆上述過程可逆,由確定的隱函數(shù)由確定的隱函數(shù) x(y) 也是的解也是的解. 例例1. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解的通解.解解: 分別變量得分別變量得xxyyd3d2兩邊積分兩邊積分xxyyd3d2得得13lnCxyCxylnln3即即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 為恣意常數(shù)為恣意常數(shù) )或或闡明闡明: 在求解過程中在求解過程中每一步不一定是同解每一

3、步不一定是同解變形變形, 因此能夠增、因此能夠增、減解減解.( 此式含分別變量時喪失的解此式含分別變量時喪失的解 y = 0 )例例2. 解初值問題解初值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分別變量得分別變量得xxxyyd1d2兩邊積分得兩邊積分得Cxyln11lnln2即即Cxy12由初始條件得由初始條件得 C = 1,112xy( C 為恣意常數(shù)為恣意常數(shù) )故所求特解為故所求特解為 1)0(y例例3. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令令 , 1yxu那么那么yu1故有故有uu2sin1即即xuuddsec2Cxutan解得解得Cxyx) 1tan

4、( C 為恣意常數(shù)為恣意常數(shù) )所求通解所求通解:練習(xí)練習(xí):.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分別變量分別變量xeyexyddCeexy即即01)(yxeCe( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1則故有故有ueu1積分積分Cxeuu1dCxeuu)1 (ln( C 為恣意常數(shù)為恣意常數(shù) )所求通解所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1 (1d(1)1uuueeddMt例例4. 子的含量子的含量 M 成正比成正比,0M求在求在衰變過程中鈾含量衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時間隨時間 t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律. 建模建模: 相關(guān)變量相關(guān)變量, 有有:d(1) (0)dM

5、Mt 00(2) tMM(初始條件初始條件)知知 t = 0 時鈾的含量為時鈾的含量為知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變原知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變原t時間時間M鈾含量鈾含量問題問題, 求求:( )MM t條件條件:解解: 根據(jù)題意根據(jù)題意, 有有)0(ddMtM00MMt(初始條件初始條件)對方程分別變量對方程分別變量, MMd,lnlnCtM得即即teCM利用初始條件利用初始條件, 得得0MC 故所求鈾的變化規(guī)律為故所求鈾的變化規(guī)律為.0teMMM0Mto然后積分然后積分:td)(M 成正比成正比,0M求在衰變過程中鈾含求在衰變過程中鈾含量量M(t) 隨時間隨時間 t 的變化規(guī)

6、律的變化規(guī)律. 知知 t = 0 時鈾的含量為時鈾的含量為知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變原子的含量知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變原子的含量 例例4.例例5.成正比成正比,求求并設(shè)降落傘分開跳傘塔時并設(shè)降落傘分開跳傘塔時( t = 0 ) 速度為速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系. 建模建模: 相關(guān)變量相關(guān)變量, 有有:(1) (0)Fmgkvk0(2) 0tv(初始條件初始條件)t時間時間,v下落速度下落速度問題問題, 求求:( )vv t條件條件:根據(jù)牛頓第二定律

7、根據(jù)牛頓第二定律d(3) dvmtmgvkF力力解解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程根據(jù)牛頓第二定律列方程tvmdd00tv初始條件為初始條件為對方程分別變量對方程分別變量,mtvkmgvdd然后積分然后積分 :得得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此處利用初始條件利用初始條件, 得得)(ln1gmkC代入上式后化簡代入上式后化簡, 得特解得特解)1 (tmkekgmvmgvkkmgv t 足夠大時足夠大時成正比成正比,求求并設(shè)降落傘分開跳傘塔時并設(shè)降落傘分開跳傘塔時( t = 0 ) 速度為速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下

8、落速度與時間的函數(shù)關(guān)系降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系. 例例5.例例6. 有高有高 1m 的半球描畫器的半球描畫器, 水從它的底部小孔流出水從它的底部小孔流出,.cm12S開場時容器內(nèi)盛滿了水開場時容器內(nèi)盛滿了水,從小孔流出過程中從小孔流出過程中, 水面的高度水面的高度 h 隨時間隨時間 t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律.求水求水小孔橫截面積小孔橫截面積建模建模, 相關(guān)變量相關(guān)變量, 有有:t時間時間,V體積體積問題問題, 求求:( )hh t條件分析條件分析:h高度高度cm100hho由水力學(xué)知由水力學(xué)知, 水從孔口流出的流量為水從孔口流出的流量為tVQddhgS262. 0流量系數(shù)流量系數(shù)孔口截面

9、面積孔口截面面積即即thgVd262. 0d(1)重力加速度重力加速度解解:cm100r設(shè)在設(shè)在d,ttt內(nèi)水面高度由內(nèi)水面高度由 h 降到降到 ),0d(dhhhhhdhho對應(yīng)下降體積對應(yīng)下降體積hrVdd222)100(100hr2200hhhhhVd)200(d2thgVd262. 0d(1)(2)hhhthgd)200(d262. 02綜合綜合(1)與與(2)式式, 得得:微量分析微量分析 列方程列方程cm100rhhdhho因此得微分方程定解問題因此得微分方程定解問題:hhhthgd)200(d262. 021000th將方程分別變量將方程分別變量:hhhgtd)200(262.

10、0d2321gt262. 0兩端積分兩端積分, 得得g262. 0hhhd)200(2321233400(h)5225hChhhthgd)200(d262. 02利用初始條件利用初始條件, 得得5101514262. 0gC因此容器內(nèi)水面高度因此容器內(nèi)水面高度 h 與時間與時間 t)310107(265. 4252335hhgt1000thcm100rhhdhho35224002()350.62 2thhCg 通解通解有以下關(guān)系有以下關(guān)系:內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 可分別變量方程的求解方法可分別變量方程的求解方法:分別變量后積分分別變量后積分; 根據(jù)定解條件定常數(shù)根據(jù)定解條件定常數(shù) . 找出事物的

11、共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根據(jù)幾何關(guān)系列方程根據(jù)幾何關(guān)系列方程 ( 如如: P263,5(2) ) 2) 根據(jù)物理規(guī)律列方程根據(jù)物理規(guī)律列方程 ( 如如: 例例4 , 例例 5 )3) 根據(jù)微量分析列方程根據(jù)微量分析列方程 ( 如如: 例例6 )2. 解微分方程運用題的方法和步驟解微分方程運用題的方法和步驟(2) 利用反映事物個性的特殊形狀確定定解條件利用反映事物個性的特殊形狀確定定解條件.(3) 求通解求通解, 并根據(jù)定解條件確定特解并根據(jù)定解條件確定特解. 作業(yè)作業(yè) P 269 1(1)(5)(7)(10); 2 (3)(4) ; 4 ; 5課堂練習(xí)課堂練習(xí)課堂練習(xí)參考答案課堂練習(xí)參考答案課堂練習(xí)參考答案課堂練習(xí)參考答案,0) 1 ,0(,1FCF備用題備用題1 知曲線積分知曲線積分與途徑無關(guān)與途徑無關(guān), 其中其中求由求由確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù)解解: 因積分與途徑無關(guān)因積分與途徑無關(guān) , 故有故有xFxFxsincosxFxyFysinsin即即因此有因此有dcosdsin),(yxxxyyxFL0),(yxF. )(xfy x