一元二次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)練習(xí)題

1、一、一元二次方程1、 一元二次方程：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次 方程。2、 一元二次方程的一般形式：ax2 bx c = 0(a = 0)，它的特征是：等式左邊加一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。二、一元二次方程的解法1、直接開(kāi)平方法：利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方法。直接開(kāi)平方法適用于解形如(x a)2二b的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，x a是b的平方根，當(dāng)b _ 0時(shí)，x a -二、.b，x - -a二i b，當(dāng)b0

2、時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。2、配方法：配方法的理論根據(jù)是完全平方公式a2 _2ab b(a b)2，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有x2二2bx b2 = (x二b)2。配方法的步驟：先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1,再同時(shí)加上1次項(xiàng)的系數(shù)的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程ax2 bx 0(a嚴(yán)0)的求根公式：- b 二、一 b2 - 4ac 2x(b -4ac _ 0)2a公式法的步驟：就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入，這里二次項(xiàng)的系數(shù)為a，一次項(xiàng)的系數(shù)為b，常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為 c

3、4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)單易行，是解 一元二次方程最常用的方法。分解因式法的步驟：把方程右邊化為0,然后看看是否能用提取公因式，公式法(這里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘，如果可以，就可以化為乘積的形式5、韋達(dá)定理利用韋達(dá)定理去了解，韋達(dá)定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之積=c/a也可以表示為x1+x2=-b/a,x1x2=c/a 。利用韋達(dá)定理，可以求出一元二次方程中的各系數(shù)，在 題目中很常用三、一元二次方程根的判別式根的判別式一元二次方程ax2 bx c = 0(a = 0)中，b2 -4ac叫做一元二次方程 a

4、x2 bx c二0(a 0)的根的判別式，通常用厶”來(lái)表示，即 厶二b2 - 4acI當(dāng)厶0時(shí)，一元二次方程有 2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； II當(dāng)厶=0時(shí)，一元二次方程有 2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根；III當(dāng)厶0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系2b如果方程ax bx c = 0（a = 0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是論，x2 ,那么x1 x2ax1x2。也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次a項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。五、一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時(shí)，一 般要先將方程寫成一般形

5、式，同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)。直接開(kāi)平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程（有人稱之為 萬(wàn)能法），在使用公式法時(shí)，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在 用公式前應(yīng)先計(jì)算根的判別式的值，以便判斷方程是否有解。配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程 了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)有廣 泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學(xué)方法之一，一定要掌握好。練習(xí)題：一、選擇題2 21、 若關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x +5x+m-3m+2=0有一個(gè)根為0，貝U m的值等于（）A

6、. 1 B . 2 C .1 或 2 D .02、 巴中日?qǐng)?bào)訊：今年我市小春糧油再獲豐收，全市產(chǎn)量預(yù)計(jì)由前年的45萬(wàn)噸提升到50萬(wàn)噸，設(shè)從前年到今年我市的糧油產(chǎn)量年平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為（）A.45 2x =50 B . 45(1 x)2=50 C . 50(1-x)2 =45D. 45(1 2x) =503、已知a,b是關(guān)于x的一元二次方程 nx1 = 0的兩實(shí)數(shù)根,A.B.-n22C.n2 -2D. -n2-24、已知a、b、c分別是三角形的三邊，則(a+ b)x 2 + 2cx + (a + b) = 0的根的情況是(A.沒(méi)有實(shí)數(shù)根.可能有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根有兩

7、個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根5、已知 m,n 是方程 x2 -2x -1=0 的兩根，且（7m2 -14ma）（3n2 -6n - 7） = 8，則 a 的值等于（）A. - 5B.5C.-9D.926、 已知方程x bx a =0有一個(gè)根是-a（a = 0）,則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是（）aA. abB .C . a b D . a-bb7、 x2-2x-2=0的一較小根為下面對(duì)X1的估計(jì)正確的是（）A. 2 為：-1 B. 一 1 為：0 C. 0 X1 -1D. 1 ： X1 ： 2_ , 28、關(guān)于x的一元二次方程x -mx 2m -1 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1 x2 ,且x1 x| = 7

8、，則(旨-x2)2的值是()A. 1B . 12C . 13D . 259、中江縣2011年初中畢業(yè)生診斷考試)某校九年級(jí)學(xué)生畢業(yè)時(shí)，每個(gè)同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送了2450張相片，如果全班有 x名學(xué)生，根據(jù)題意，列出方程為()A x(x 1) =2450 B. x(x 1)=2450 C. 2x(x 1)=2450 D. x(x ) = 245022210、設(shè)a, b是方程x - x-2009 =0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a 2a b的值為()A. 2006B. 2007C. 2008D. 200911、 對(duì)于一元二次方程ax+bx+c=0(a豐0)，下列說(shuō)法： 若a

9、+c=0,方程ax2+bx+c=0必有實(shí)數(shù)根；2 2 若b +4ac0,則方程ax +bx+c=0 一定有實(shí)數(shù)根； 若a-b+c=0，則方程ax2+bx+c=0 一定有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；2 2 . 若方程ax +bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則方程cx +bx+a=0 一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.其中正確的是()A . B . C . D .二、填空題21、若一元二次方程 x (a+2)x+2a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是 3、b,貝U a+b=求 些 一(a-2)2 b2 -4的值為3、方程(x - 1) ( x + 2 ) = 2 (x + 2 )的根是 .24、關(guān)于x的一元二次方程 ax +bx+1=0(a

10、=0)有兩個(gè)相等實(shí)根,25、 在等腰 ABC中，三邊分別為 a, b, c,其中a=5,若關(guān)于x的方程x +(b+2)x+6-b=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則ABC的周長(zhǎng)為.2 26、 已知關(guān)于x的一元二次方程x -6x-k =0 (k為常數(shù)).設(shè)x1, x2為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x1 +2x 2=14，貝U k的值為.2 2 27、已知 m n 是方程 x 2 -2003x+2004=0 的兩根，則(n -2004n+2005)與(m -2004m+2005)的積是.計(jì)算題2k1關(guān)于x的方程kx - (k 2)x0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.4(1) 求k的取值范圍。(2) 是否存在實(shí)數(shù)k,使方程的兩

11、個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在，求出k的值；若不存在,說(shuō)明理由增長(zhǎng)率問(wèn)題：1、 某房屋開(kāi)發(fā)公司經(jīng)過(guò)幾年的不懈努力， 開(kāi)發(fā)建設(shè)住宅面積由 2000年4萬(wàn)平方米，到2002 年的7萬(wàn)平方米。設(shè)這兩年該房屋開(kāi)發(fā)公司開(kāi)發(fā)建設(shè)住宅面積的年平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為；2、 某種電腦病毒傳播非?？欤绻慌_(tái)電腦被感染，經(jīng)過(guò)兩輪感染后就會(huì)有 81臺(tái)電腦被感染請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)分析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過(guò)700臺(tái)？3、2009年5月17日至21日甲型H1N1流感在日本迅速蔓延，每天的新增病例和累計(jì)確 診病例人數(shù)如圖所示.(1) 在5月17日

12、至5月21日這5天中，日本新增甲型 H1N1流感病例最多的是哪一 天？該天增加了多少人？(2) 在5月17日至5月21日這5天中，日本平均每天新增加甲型H1N1流感確診病例多少人？如果接下來(lái)的5天中，繼續(xù)按這個(gè)平均數(shù)增加，那么到 5月26日，日本甲型H1N1流感累計(jì)確診病例將會(huì)達(dá)到多少人？(3) 甲型H1N1流感病毒的傳染性極強(qiáng)，某地因 1人患了甲型H1N1流感沒(méi)有及時(shí)隔離治療，經(jīng)過(guò)兩天 傳染后共有9人患了甲型 H1N1流感，每.天.傳染中平均一個(gè)人 傳染了幾個(gè)人？如果按照這個(gè)傳染速度，再經(jīng)過(guò)5天的傳染后，這個(gè)地區(qū)一共將會(huì)有多少人患甲型 H1N1流感？日本2009年5月16日至5月21日行程問(wèn)

13、題：1、甲、乙兩艘旅游客輪同時(shí)從臺(tái)灣省某港出發(fā)來(lái)廈門。甲沿直航線航行180海里到達(dá)廈門;乙沿原來(lái)航線繞道香港后來(lái)廈門，共航行了720海里，結(jié)果乙比甲晚 20小時(shí)到達(dá)廈門。已知乙速比甲速每小時(shí)快 6海里，求甲客輪的速度（其中兩客輪速度都大于 16海里/小時(shí)）？2、為了開(kāi)闊學(xué)生視野，某校組織學(xué)生從學(xué)校出發(fā)，步行6千米到科技展覽館參觀。返回時(shí)比去時(shí)每小題少走 1千米，結(jié)果返回時(shí)比去時(shí)多用了半小時(shí)。求學(xué)生返回時(shí)步行的速度3、甲、乙兩個(gè)城市間的鐵路路程為1600公里，經(jīng)過(guò)技術(shù)改造，列車實(shí)施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小時(shí)，列車從甲城到乙城行駛時(shí)間減少4小時(shí)，這條鐵路在現(xiàn)有的安全條件下安全行駛

14、速度不得超過(guò)140公里/小時(shí)請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明在這條鐵路現(xiàn)有的條件下列車還可以再次提速經(jīng)濟(jì)問(wèn)題：1、某商店以2400元購(gòu)進(jìn)某種盒裝茶葉，第一個(gè)月每盒按進(jìn)價(jià)增加20%作為售價(jià)，售出 50盒，第二個(gè)月每盒以低于進(jìn)價(jià) 5元作為售價(jià)，售完余下的茶葉在整個(gè)買賣過(guò)程中盈利350元，求每盒茶葉的進(jìn)價(jià).2、黃岡百貨商店服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂(lè)”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元為了迎接“六一”國(guó)際兒童節(jié)，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，減少庫(kù)存經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價(jià)4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝因應(yīng)降價(jià)多少元

15、？3、某企業(yè)2006年盈利1500萬(wàn)元，2008年克服全球金融危機(jī)的不利影響，仍實(shí)現(xiàn)盈利2160萬(wàn)元.從2006年到2008年，如果該企業(yè)每年盈利的年增長(zhǎng)率相同，求：(1) 該企業(yè)2007年盈利多少萬(wàn)元？(2) 若該企業(yè)盈利的年增長(zhǎng)率繼續(xù)保持不變，預(yù)計(jì)2009年盈利多少萬(wàn)元？工程問(wèn)題：2240米的河堤進(jìn)行加固，由于采用新的20米,因而完成此段加固工程所需天數(shù)1、為加強(qiáng)防汛工作，市工程隊(duì)準(zhǔn)備對(duì)蘇州河一段長(zhǎng)為 加固模式，現(xiàn)在計(jì)劃每天加固的長(zhǎng)度比原計(jì)劃增加了將比原計(jì)劃縮短 2天為進(jìn)一步縮短該段加固工程的時(shí)間，如果要求每天加固 224米,那么在現(xiàn)在計(jì)劃的基礎(chǔ)上，每天加固的長(zhǎng)度還要再增加多少米2、某公司需在一個(gè)月(31天)內(nèi)完成新建辦公樓的裝修工程如果由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合 做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)做，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用10天完成.(1) 求甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程所需的天數(shù).(2) 如果請(qǐng)甲工程隊(duì)施工，公司每日需付費(fèi)用 2000元；如果請(qǐng)乙隊(duì)施工，公司每