高三平面向量專題復(fù)習(xí)

1、高三二輪復(fù)習(xí)專題講座專題四 平面向量 “平面向量融數(shù)、形于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的雙重身份，它是中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點，成為聯(lián)系多項內(nèi)容的媒介，向量的引入大大拓廣了解題的思路與方法，使它在研究其他許多問題時獲得了廣泛的應(yīng)用”文6、文7、文9已經(jīng)作了比較詳細(xì)的分析，以下筆者對“平面向量”的考試要求、高考題型作簡要歸類分析，著重對平面向量的二輪復(fù)習(xí)作幾點提示，希望對您的教學(xué)能有所幫助 一、高考考綱要求1理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念2掌握向量的加法與減法3掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件4了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的

2、坐標(biāo)運算5掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件6掌握平面兩點間的距離公式，掌握線段的定比分點和中點公式，并且能熟練運用；掌握平移公式二、高考考點分析1考查平面向量的基本概念和運算律例1（2004年全國卷）向量,滿足(-)(2+)=4,且|=2,|=4,則與夾角的余弦值等于 例2（2004年浙江卷）已知平面上三點A,B,C滿足則的值等于 例3（2004年福建卷）已知、是非零向量且滿足(2) ，(2) ，則與的夾角是A B C D例4（2004年全國卷）已知,均為單位向量,它們的夾角為60,那么|+3|= A B C D4例

3、5（2004年全國卷）已知向量、滿足：|1，|2，|2，則|（A）1（B）（C）（D）例6（2004年重慶卷）若向量的夾角為，,則向量的模為 A 2 B 4 C 6 D 12例7（2004年湖北卷）已知為非零的平面向量. 甲：A甲是乙的充分條件但不是必要條件 B甲是乙的必要條件但不是充分條件C甲是乙的充要條件 D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件2考查平面向量的幾何意義例8（2003年新課程卷）是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足則的軌跡一定通過的A外心B內(nèi)心C重心D垂心 分析：由于表示向量上的單位向量，表示向量上的單位向量，所以表示單位向量與單位向量的和，由向量加法的幾何意義

4、可知表示以單位向量為鄰邊的菱形對角線，所以表示向量（點在角的平分線上，其位置由確定）點的軌跡為角的平分線，故選（B）例9（2003年新課程遼寧卷）已知四邊形是菱形，點在對角線上（不包括端點），則等于 A B. C. D. 解：由向量的運算法則而點P在對角線上，所以與同向，且因此故選（A）評注：以上兩題考查的知識點是平面向量加法及實數(shù)與平面向量積的幾何意義，雖然知識上的要求并不高，但新穎的表述形式、抽象的符號語言使學(xué)生理解起來普遍感到困難，很多學(xué)生覺得題目不知所云3考查向量的坐標(biāo)運算例10（2004年廣東卷）已知平面向量，且，則=（ ）A. 3 B. 1 C. 1 D . 3例11（2004年天

5、津卷）若平面向量與向量的夾角是，且，則 A. B. C. D. 例12（2004年天津卷） 已知向量，若與垂直，則實數(shù)等于 例13（2004年湖南卷）已知向量,向量則的最大值，最小值分別是ABC16，0D4，0例14（2004年江蘇卷）平面向量中，已知=(4，3)，=1，且=5，則向量=_ 例15（2004年上海卷）已知點A(1, 2),若向量與=（2,3）同向, =2,則點B的坐標(biāo)為 例16（2004年全國卷）已知平面上直線的方向向量，點O(0,0)和A(1,2)在上的射影分別是O1和A1，則，其中（A） （B） （C）2 （D）24考查平面向量與解析幾何的綜合例17(2004年河南、河北、

6、山東、山西、安徽、江西等地區(qū)卷)設(shè)雙曲線C：相交于兩個不同的點A、B.（1）求雙曲線C的離心率e的取值范圍：（2）設(shè)直線l與y軸的交點為P，且求a的值.例18(2004年四川、吉林、黑龍江、云南等地區(qū))給定拋物線C：y2=4x,F是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點(1) 設(shè)l的斜率為1，求與的夾角的大??；(2)設(shè)，若4,9，求l在y軸上截距的變化范圍例19（2004年湖南卷）如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P（0,m）(m0)作直線與拋物線交于A，B兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點.（1）設(shè)點P分有向線段所成的比為，證明:；（2）設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A、

7、B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程.例20（2004年遼寧卷）設(shè)橢圓方程為，過點M（0，1）的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標(biāo)原點，點P滿足，點N的坐標(biāo)為，當(dāng)l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求：（1）動點P的軌跡方程；（2）的最小值與最大值. 例21（2004年天津卷）橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點F（c，0）（）的準(zhǔn)線與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點（1）求橢圓的方程及離心率；（2）若，求直線PQ的方程；（3）設(shè)（），過點P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點M，證明例22（2004年江蘇卷）已知橢圓的中心在原點，離心率為，一個焦點

8、是F（-m,0）(m是大于0的常數(shù)). (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)Q是橢圓上的一點，且過點F、Q的直線與y軸交于點M. 若，求直線的斜率.三、高考熱點分析數(shù)學(xué)高考命題注重知識的整體性和綜合性，重視知識的交互滲透，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點設(shè)計試題由于向量具有代數(shù)和幾何的雙重身份，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點，成為聯(lián)系多項知識的媒介因此，平面向量與其他知識的結(jié)合特別是與解析幾何的交匯、融合仍將是高考命題的一大趨勢，同時它仍將是近幾年高考的熱點內(nèi)容四、二輪復(fù)習(xí)建議提示一：重視基礎(chǔ)高三復(fù)習(xí)的永恒主題從一道習(xí)題的幾種錯誤解法談起例23、中，已知,求證：為正三角形錯解一： , . 即 、均為非零向量,

9、故是正三角形錯因剖析：我們知道向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，若兩個實數(shù)相等，則它們的絕對值也相等因此，是成立的；乍看起來也沒有問題，因為這是我們很熟悉的實數(shù)絕對值性質(zhì)但實數(shù)的性質(zhì)在向量的運算中仍然成立嗎？我們不妨先從特殊情形入手令，（其中、分別是軸、軸上的單位向量）,此時，而，所以顯然有由向量的數(shù)量積定義可知，cos,-1,因此，我們可以得到，當(dāng)且僅當(dāng)或，即與共線時等號成立題目中由于、不是共線向量，因此是不成立的，這正是此題錯解的癥結(jié)所在若, ，由可得，這實際上也是柯西不等式的二維形式錯解二： ，同理可得 故是正三角形錯因剖析：由于向量的數(shù)量積滿足分配律，所以由可以得到，但由教材第119頁向量的數(shù)量

10、積性質(zhì)知：“當(dāng)都是非零向量時，”所以由，不能得到這個錯誤解法的信息源是實數(shù)的性質(zhì)“若，則”另外，若，則的三條邊平行或重合，也不能得到是正三角形錯解三： 由正弦定理得，即. 同理. 故是正三角形錯因剖析：由于向量的夾角是，而不是，所以由向量數(shù)量積的定義可知，這是學(xué)生在學(xué)習(xí)向量數(shù)量積時經(jīng)常發(fā)生的一種錯誤實際上，由于，因此連續(xù)兩次夾角錯誤，恰好使問題的結(jié)論仍然成立錯解四：， 約分得，同理可得故是正三角形錯因剖析：這種錯誤的解法類似于錯解二，是受實數(shù)運算法則“若則”影響造成的實際上這種運算法則在向量的數(shù)量積運算中不再成立以下給出該題的四種正確解法，供參考解法一：如圖，取邊上的中線，由平行四邊形性質(zhì)得，

11、又由條件得 同理，故是正三角形解法二： 又 即 同理故是正三角形解法三：， 由正弦定理得又都是的內(nèi)角， 故是正三角形解法四：以為原點，邊所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)點的坐標(biāo)為點的坐標(biāo)為 故是正三角形啟發(fā)1、平面向量的引入，大大地拓寬了解題的途徑和方法，使它在研究其它問題時得到廣泛的應(yīng)用但向量與實數(shù)之間，有聯(lián)系，更有區(qū)別，我們在復(fù)習(xí)中中要對這兩個概念及其性質(zhì)進(jìn)行對比，總結(jié)它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，防止出現(xiàn)實數(shù)知識對向量學(xué)習(xí)的負(fù)面影響向量的數(shù)量積與實數(shù)的積的相同點：實數(shù)的乘積向量的數(shù)量積運算的結(jié)果是一個實數(shù)運算的結(jié)果是一個實數(shù)交換律分配律 且 |向量的數(shù)量積與實數(shù)的積的不同點：實數(shù)的乘積向量的

12、數(shù)量積結(jié)合律或 （注：關(guān)于此題錯誤的研究詳見文5）.2004年高考類似試題鏈結(jié)：1（浙江卷）已知平面上三點滿足，則的值等于 2（湖北卷）已知為非零的平面向量甲：則A甲是乙的充分條件但不是必要條件 B甲是乙的必要條件但不是充分條件C甲是乙的充要條件 D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件啟發(fā)2、關(guān)注平面向量的基礎(chǔ)知識，不能遺漏一個基本概念，如單位向量、方向向量、基底、相反向量、投影等概念提示二：回到課本事半功倍的復(fù)習(xí)策略數(shù)學(xué)教材是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、形成基本技能的“藍(lán)本”,能力是在知識傳授和學(xué)習(xí)過程中得到培養(yǎng)和發(fā)展的高考試卷中平面向量有三分之一的問題與課本的例習(xí)題相同或相似，它對高三復(fù)習(xí)具有指導(dǎo)

13、意義，所以我們在教學(xué)中要重視教材的使用應(yīng)有不可估量的作用，要在掌握教材的基礎(chǔ)上把各個局部知識按照一定的觀點和方法組織成整體，形成知識體系例24（2002年新課程卷）平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，已知，若點滿足，其中，且，則點的軌跡方程為 A. B. C. D. 解析：設(shè)的坐標(biāo)為, .又 消去得，故選（）.評注：本題主要考查向量的坐標(biāo)運算以及解析幾何中參數(shù)法思想說明：此題是教材第109頁例5的延伸和拓廣，該例題為：不共線，用表示，它的結(jié)論是此題等價于“不共線，若三點共線，則且”此例題可以進(jìn)一步推廣為“不共線，三點共線的充要條件是且”教材中還有以下兩道習(xí)題值得仔細(xì)推敲：1、課本復(fù)習(xí)題B組第2題、已

14、知兩兩所成的角相等，并且求向量的長度及與已知向量的夾角2、課本復(fù)習(xí)題B組第5題、已知：如圖，的夾角為夾角為試用提示三、研究性復(fù)習(xí)提高復(fù)習(xí)效益的有效途徑一道課本復(fù)習(xí)題的幾種解法及其變式、引申和拓展例25（課本復(fù)習(xí)題B組第6題）（此題筆者在3+2復(fù)習(xí)一書已作了一些說明）已知向量，求證： 是正三角形分析：從條件我們不難發(fā)現(xiàn)（1）向量均為單位向量，且任意兩個向量的和與另一個向量是相反向量；（2）O是的外心；（3）向量的兩兩夾角都相等；（4）向量的大小均相等證明思路一： 從數(shù)量積入手，求向量的夾角得同理即中任意兩個向量的夾角為故是正三角形證明思路二：從消元法入手，求向量的大小OP 故是正三角形證明思路三

15、：從幾何意義入手，依托圖形來推理如圖，以為鄰邊作平行四邊形，則由題意得，故于是，即是正三角形，于是從而（以下同思路一）證明思路四：從坐標(biāo)法入手，利用平面幾何模型設(shè)為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系設(shè)則故由題意得而的重心G的坐標(biāo)為即重心G為原點O又，故O為的外心因為的重心與外心重合，故是正三角形評注：由于思維起點不同，學(xué)生解題的策略也會有差異，這正是宏觀整合知識結(jié)構(gòu)，滲透數(shù)學(xué)思想方法，優(yōu)化思維品質(zhì)的最佳時機(jī)，通過相互之間的交流、討論、比較和總結(jié)，能引發(fā)思維的“共振”，促進(jìn)能力的發(fā)展和素質(zhì)的提高變式、引申、拓展1、數(shù)量變式：將條件中改為會有什么結(jié)論？結(jié)論：將條件中改為不影響證題進(jìn)程，只是正的邊長變?yōu)?、逆

16、向引申：已知向量， 是正三角形，則3、升維拓展：已知向量，構(gòu)成凸四邊形，則四邊形是正方形嗎？結(jié)論：四邊形是矩形，證明過程詳見數(shù)學(xué)之友4、逆向延伸：已知向量，四邊形是正方形，則5、拓展推廣：已知向量，邊形是正多邊形，則6、應(yīng)用令則這與物理學(xué)中三相交流電知識“若三相交流電則”相吻合該問題對高三復(fù)習(xí)的幾點啟示：1、傳統(tǒng)復(fù)習(xí)課大多數(shù)是先羅列知識，再列舉題型，并講解相應(yīng)的解題套路，最后作強(qiáng)化練習(xí)，這種教學(xué)程序?qū)ι匆话愕膶W(xué)校是比較有效的，但這樣的教學(xué)使學(xué)生始終處于一種被動的狀態(tài)，缺乏對學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，難以真正提高學(xué)生素質(zhì)，所以在生源比較好的學(xué)校我們經(jīng)常會有這樣的感受：隨著復(fù)習(xí)時間的推移，越來越多學(xué)生

17、的學(xué)習(xí)興趣與日俱減，他們對課堂沒有激情，許多學(xué)生認(rèn)為他們的數(shù)學(xué)能力不是提高而是反而下降了，我個人認(rèn)為這正是其中的癥結(jié)所在2、我們倡導(dǎo)高三的研究性復(fù)習(xí)，特別是二輪復(fù)習(xí)，不必一味地以追求教學(xué)容量為教學(xué)設(shè)計的目標(biāo)指向3、學(xué)生的理性思維、創(chuàng)新意識不是高考前一兩個月能培養(yǎng)出來的，它應(yīng)貫穿于高三復(fù)習(xí)的全過程之中，在每一節(jié)課中特別是二輪復(fù)習(xí)的每一節(jié)課中要有意識加入一些思維量比較大的內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生思考當(dāng)然這也對我們教師課前的精心準(zhǔn)備與預(yù)設(shè)，課上的教學(xué)機(jī)智和生成評價都提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)提示四、高考新熱點平面向量與其它知識交匯與融合1、 平面向量與解析幾何的交匯與融合由于向量作為一種有向線段本身就是直線上的一段，且

18、向量的坐標(biāo)可用其起點、終點的坐標(biāo)來表示，因而使向量與解析幾何保持著一種天然的聯(lián)系，兩者之間的結(jié)合是高考命題的必然趨勢平面向量與解析幾何交匯與融合的例子很多，此處不再贅述，具體分析可參考文72、 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用處理平面幾何問題平面向量最重要的應(yīng)用之一，但由于教材對這一內(nèi)容涉及較少，所以我們在教學(xué)中不宜對此知識點做過多的挖掘以下是向量在平面幾何中的幾個結(jié)論：在平行四邊形中，若，則，即菱形模型若，則，即矩形模型在中，若，是的外心；一定過的中點，通過的重心；若，則是的重心；若，則是的垂心；向量必通過的內(nèi)心；若，則是的內(nèi)心；3、 平面向量與三角函數(shù)、函數(shù)等知識的結(jié)合例26（2004年福建卷）

19、設(shè)函數(shù)f(x)=，其中向量=(2cosx，1)，=(cosx， sin2x)，xR.（1）若f(x)=1且x，求x； （2）若函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量=(m，n)(|m|)平移后得到函數(shù)y=f(x)的圖象，求實數(shù)m、n的值.提示五：三種表示方法解決平面向量問題的三種途徑1、 幾何表示：與平面幾何、物理等知識結(jié)合見例8、例92、符號表示：體現(xiàn)向量自身符號系統(tǒng)的優(yōu)越性例27（2004年湖北卷） 如圖，在RtABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，問的夾角取何值時的值最大？并求出這個最大值 3、坐標(biāo)表示：與解析幾何、三角函數(shù)、函數(shù)等知識結(jié)合例27（2004年湖北卷）解法二：以直角頂點A為坐標(biāo)原點，兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.提示六：關(guān)注高中課改新教材對我們的啟示丁爾升教授在高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革的幾個問題一文中指出“在高中主要要實現(xiàn)由定性幾何到定量幾何，從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，以及由確定性數(shù)學(xué)到隨機(jī)性數(shù)學(xué)等重大轉(zhuǎn)折實現(xiàn)第一個轉(zhuǎn)