11205013232周星貫(用數(shù)量方法研究幾何問題的綜述)

1、 本科畢業(yè)設計（論文）( 2015屆 )題 目： 用數(shù)量方法研究幾何問題的綜述專 業(yè)： 統(tǒng)計學 班 級： 11統(tǒng)計 姓 名： 周星貫 學 號： 11205013232 指導教師： 謝志敏 職 稱： 講師 完成日期： 2015年4月20日 用數(shù)量方法研究幾何問題的綜述周星貫（溫州大學甌江學院,浙江溫州，325000）摘要：數(shù)量方法在解幾何問題中的應用十分廣泛，是數(shù)形結合的表現(xiàn)之一，是知識轉化為能力的一架橋梁。學習數(shù)學的目的之一是為了解決實際問題,而數(shù)形結合思想又對幾何問題的研究與結局有至關重要的作用。我們應該明確“數(shù)”在幾何的中的應用，理解其實質，熟悉“數(shù)”與“形”相結合的意義。本文試圖運用代數(shù)

2、、三角、向量等這幾個基本工具，通過矩陣法、三角法、解析法三個方面論述用數(shù)量方法在幾何問題中的重要作用。 關鍵詞：數(shù)形結合；代數(shù)法；三角法；分析法；幾何問題Research on geometric problems by quantity methodAbstract: Quantitative methods is widely used in solving the geometric problems,and it is one of the embodiment of symbolic-graphic combination,as well as a bridge of knowled

3、ge into ability.One of the purposes of learning mathematics is to solve practical problems,and it is well known the symbolic-graphic combination thought plays an important part in the study with result of the geometry problem.We should be perfectly clear about the application of number in the geomet

4、ric,and then understand its essence,meanwhile we should know the meaning of number and shape union well.This thesis tries to use a few basic tools such as algebra, triangle, vector and so on,to discuss the important role of quantitative methods in the geometry problem through three aspects:algebraic

5、 method、trigonometry and analysis.KEY WORDS:The combination of number and shape；The algebraic method；Triangle method；Analysis method；Geometry problems目錄題 目： 用數(shù)量方法研究幾何問題的綜述- 0 -摘要- 1 -引言- 3 -一、“數(shù)”與“形”的相互聯(lián)系- 3 -二、主要研究內容及方法- 4 -三、矩陣法在幾何問題中的運用- 5 -（1）運用矩陣方法解決平面位置關系- 5 -（2）運用矩陣方法解決直線位置關系問題- 6 -（3）運用矩陣方法解

6、決線面位置關系問題- 7 -四、三角法在解幾何題中的應用- 8 -（1）三角法解幾何問題的優(yōu)點及基本步驟- 8 -（2）實例應用- 9 -五、解析法在幾何題中的運用- 11 -（1）坐標系的選取- 11 -1、利用對稱正確選取坐標系- 11 -2、利用直角正確選取坐標系- 12 -3、利用平行正確選取坐標系- 13 -（2）方程形式的選擇- 14 -六、坐標法在幾何題中的應用- 15 -七、總結- 16 -參考文獻- 17 -致謝- 18 -引言恩格斯曾說過：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的量的關系與空間形式的科學?！睌?shù)形結合就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結論之間的內在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀

7、，使數(shù)量關的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決?！皵?shù)”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休?！标P鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。美國著名數(shù)學教育家波利亞說過:“掌握數(shù)學就意味著要善于解題。”只有對數(shù)學思想、數(shù)學方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解法。中、高考試題十分重視對于數(shù)學思想方法的考查，其解答過程都蘊含著重要的數(shù)學思想方法。我們要有意識地應用數(shù)

8、學思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學素質，使自己具有數(shù)學頭腦和眼光。而數(shù)形結合思想又顯得格外重要和實用。但在應用中也應該注意其應用的適用性、科學性、合理性等特性。一、“數(shù)”與“形”的相互聯(lián)系“數(shù)”是數(shù)學中的最基本的一個概念，從自然數(shù)到整數(shù)、有理數(shù)，然后是實數(shù)，再到負數(shù)，這個過程是數(shù)學研究不斷深入的過程，也是我們對生活的認知不斷提高的一個過程。“形”在數(shù)學中最常見的定義即為幾何，幾何的發(fā)展是一個長遠的過程，從最早的平面幾何到現(xiàn)今的空間幾何，經(jīng)歷了一代代的研究和發(fā)展，而幾何也分為了無數(shù)的分支，最簡單的平面幾何，再到空間幾何，再發(fā)展為微分幾何、內蘊幾何等等許多的幾何分支，在數(shù)學中幾何占有

9、者即為重要的作用。解析幾何的誕生對幾何的研究有著至關重要的意義。通過數(shù)形結合的思想方法，其將“數(shù)”與“形”原本毫不相關的兩者密切的聯(lián)系在一起。圖形我們都能看的懂，然而其內在的含義和屬性卻不是簡單的幾句話可以去闡述完整的，通過將圖形信息轉換為我們所熟知的數(shù)字信息，經(jīng)過定義和運算，我們就可以簡單清晰的了解到圖形的本質和屬性?？臻g和平面幾何是我們最常見也是對于學生而言無比重要的一個學習要點，初中、高中乃至大學數(shù)學的學習中，無不充斥著幾何問題。然而對于幾何問題的研究，亦是無數(shù)學生一致認為的難點。本文針對幾何問題的數(shù)量關系求解做一個簡要的綜述。二、主要研究內容及方法用數(shù)量關系研究幾何問題思想的定義：數(shù)形

10、結合思想是數(shù)學教學和學習中極為重要的思想之一，而用數(shù)量關系解決幾何問題是數(shù)形結合問題中兩大思想之一，即以“數(shù)”及“形”，將形象的圖形用數(shù)量方法表達出來并進行運算求解。主要研究對象：探究幾何問題內在含義以及對相關幾何問題進行求解。數(shù)量關系對幾何圖形的解析求解，即將幾何問題轉化為其所對應的相關數(shù)量問題加以分析解決。論題的本質：數(shù)量關系在一定程度上決定著幾何圖形的性質，從而通過數(shù)量關系找出幾何問題的相對應的內在本質及屬性?！皵?shù)”具有著精確性這一特性，同時也具有著一定的聯(lián)系性（即在某一特定的范圍內它是連續(xù)不間斷的），唯一性，邏輯性等等，他們之間是可以經(jīng)過多種變換得到的，而通過的“數(shù)”的特性的分析，可以

11、得出“形”的性質及特點，從而針對相關的幾何題進行證明求解。研究思路：首先簡單的分析了解幾何的表面信息，然后將圖形信息部分轉換為相關的數(shù)量信息，進而削弱或清除“形”的相對復雜的推理部分，使要解決的“形”的問題巧妙的轉換為數(shù)量關系的研究及討論，最后得出答案。研究方法：首先對需要求解的幾何題進行分類，選取相對應的解題方法，然后借助于“數(shù)”的精確性及運算的簡潔性來闡明“形”的屬性及本質，最后通過公式及定理進行求解。本文通過矩陣法、解析法、坐標法在幾何題中的應用，對數(shù)學方法研究幾何問題做一個簡要綜述。三、矩陣法在幾何問題中的運用（1）運用矩陣方法解決平面位置關系兩個平面之間有三種位置關系：相交、平行、重

12、合。巧妙的利用代數(shù)方法來研究這三種位置關系從而使幾何的有關問題求解得到大大簡化，使解題和學習變得更加簡便和快捷。定理1：設兩個平面方程為，則（1） 平面與平行,；（2） 平面與重合；（3） 平面與相交：例1：判別下列平面的相關位置（1） x+2y+4z+1=0與x+2y-4z-1=0（2） 6x+2y-4z+3=0與3x+y-2y-1=0解：（1）。，根據(jù)定理1可知兩平面相交。（2）。根據(jù)定理1可知兩平面平行。例2：求過點（2,1,2）及平面的交線的平面。解：由題意我們可以知道所求的平面經(jīng)過點，所以可以設所求平面的解析方程為又知平面與平面和平面相交與一條直線，從而根據(jù)定理1可清楚的得知線性方程

13、組：有無窮多解，。但是由于所以根據(jù)定理有.所以所求的平面的方程為：（2）運用矩陣方法解決直線位置關系問題在針對解析幾何問題中探討量直線相對應的的位置關系時，經(jīng)?？赡苡龅街本€的方程是由一般的方程所表示的，但是在某些特定的問題所需求解過程當中，通常要將一般方程化為所需要的標準方程。而通常這一過程是較為復雜的。于是我們試著去利用代數(shù)的方法來分析和解決這一問題。定理2兩條直線，的相對應位置的充分必要條件為：（1）相交:；（2）重合:；（3）平行:；(4)異面：.這里,例3：判別下面直線的相關位置。（1）及（2）及解：（1）。所以，根據(jù)定理2可知來那個直線異面。（2）。所以，根據(jù)定理可知兩直線平行。（3

14、）運用矩陣方法解決線面位置關系問題和兩直線的位置關系一樣，直線和平面亦存在著三種相對應的位置關系：相交、平行以及在平面上。通過利用代數(shù)的方法來探究這三種位置關系同樣可以使得相關的幾何問題得到大量的簡化，題證變得清晰而簡單。定理3 直線，與平面的位置關系：（1） 相交（2） 平行（3） 直線在面上。這里,例4：判別直線與平面4x-3y+7z-7=0的相關位置。解：=，所以，根據(jù)定理可知直線在平面上。四、三角法在解幾何題中的應用（1）三角法解幾何問題的優(yōu)點及基本步驟優(yōu)點：1、幾何法往往需要作比較巧妙的輔助線，而三角法在許多的情況下，利用現(xiàn)有的圖形，不需要或少需輔助線。而且輔助線一般說來也比較明顯，

15、比較容易想，因而使圖形比較簡潔。2、由于三角法是利用對含有三角函數(shù)的式子進行簡化、計算、證明來進行證明，而這樣的方法常常有成法可循，思路一般說來比幾何法要簡單些，容易被學生所理解、掌握。不但是思路，就是證明過程在許多情況下三角法也簡單于幾何法。基本步驟：1、從圖形中選取幾何元素（邊、半徑、角、高、角平分線、中線等）設為基本元素，它們應當和已知、求證中的所有元素有比較密切的關系。2、用所設的基本元素表示與已知、求證有關的元素，列出等式，此中往往用到正弦定理、余弦定理、面積公式、銳角三角形函數(shù)定義等。而這些等式一定含有三角函數(shù)式（否則不成為三角法）。3、將所列三角函數(shù)式進行恒等變形或化簡、求解。一

16、般來說，有關線段間的相等的證明，往往歸結為三角方程；而關于角的相等的證明，往往歸結為解三角方程。而無論是哪一種情況，都要大量用到同角三角函數(shù)間的關系式、倍角公式、半角公式、誘導公式、加法公式、和差化積公式、積化和差公式、反三角函數(shù)、解三角方程等，還要用到有關的代數(shù)知識。（2）實例應用例1已知，在的外側作正方形ABDM及ACEN，過點D、E向BC作垂線DF、EG。求證：BC=EG+DF證明：令BC=，則，同理 =例2 如圖，直線AB是圓O的一條切線，其切點為B，點C是圓上一個點，的角平分線BE和圓相交于點E，DB和BE垂直，交點D是圓上的一個點。（1）證明：DB=DC；（2）設該圓的半徑為1，B

17、C的長為，將CE延長和AB相交于點F，求相對應外接圓的半徑。證明：（1）連接DE，交BC于G，由弦切角定理得，而，故，得CE=BE，又因為DBBE，所以DE為直徑，則，由與全等，得DB=DC。（2）由（1）知，DB=DC，故DE是BC的中垂線，所以BG=，設DE的中點為0，連接BO，則從而，所以CFBF，故的半徑等于。例3假設四邊形ABCD是對應圓的內接四邊形，求證：ABCD+ADBC=ACBD。證明：在和中運用余弦定理：由于=，所以ADDC+ABBC得同理得：，所以，ABCD+ADBC=ACBD 證明相關幾何題目的方法很多，通過這幾個例題我們可以感受到三角法在解平面幾何中的優(yōu)勢，面對平面幾何

18、題時，我們不需要苦于尋思作輔助線，找三角形的相似或者全等，直接運用三角法，中間省去很多思考，比較容易上手。五、解析法在幾何題中的運用解析法釋義：解析法就是通過分析問題中的各要素之間的關系，用最簡練的語言或形式化的符號來表達它們的關系，得出解決問題所需的表達式，然后設計程序求解問題的方法。用解析法解幾何題，在取定坐標系之后主要歸結為數(shù)和式的計算與變形，解題思路簡明，程序井然，所以一些幾何問題應用解析法往往較之應用綜合法易于得出答案。但在使用解析法解題的過程中常常會帶來大量的計算，導致解題過程變得繁瑣。而主要影響其的兩個關鍵因素為坐標系的選取和方程形式的選擇，接下來就針對這兩點對解析法在解幾何題中

19、的運用通過實例做一個簡要的簡述。（1）坐標系的選取結合圖形特點和題意要求，正確選取坐標系要兼顧一下幾個方面：1、 使已給條件的代數(shù)形式簡單；2、 集體過程中所涉及的點、線及幾何量便于求出；3、 所得結論或所求結果的表現(xiàn)形式盡可能簡單。1、利用對稱正確選取坐標系例1在中，AB=AC，一圓O內切與的外接圓，并且與AB、AC分別相切與P、Q，求證P、Q所連線段的中點是內切圓的圓心。分析：已給圓形相關于直線對稱，自然考慮為一坐標軸，剩下的是如何選取原點。由于真命題中的結論，需要先求出PQ、AB、AC、BC的方程，使得方程便于求出且形式簡單利于求解。而求線的方程只要借助于圓O的方程，坐標系的選取應使圓O

20、的方程盡可能的簡單，所以適宜的選擇是取O為原點。如圖建立坐標系（如圖）證：設圓的半徑為1，則D（0，-1），AC：。因為，多以：，即。聯(lián)立方程解得。從而CB：。的平分線的方程是：，它與y軸的交點M應是ABC的內心，而點M的縱坐標為：，所以M在直線PQ：上，即M使PQ與y軸的交點，從而是線段PQ的中點。2、利用直角正確選取坐標系例2 設相互外離的兩圓、的半徑為、，他們的兩內公切線相互垂直，求亮內切線與一條外公切線所圍成的三角形的面積。分析：解本題歸結為求兩公切線被一外切線所截下的兩段線段的長。若因兩圓關于它們的連心線成軸對稱，就取連心線為一坐標軸，內外公切線的方程雖然易寫出，但是求上述兩線段長則

21、須聯(lián)立內外切線的方程以求交點。如此，計算很為繁瑣。若利用圖中已有直角，取兩內公切線為坐標軸，則解本題歸納為確定外公切線的兩坐標軸上的截距。如此計算量大大減少。如圖建立坐標系：（如圖）解：取兩內公切線作坐標軸，則兩圓的方程為：圓：，圓：；外公切方程為=。分別令y=0與x=0，求得外公切線在兩坐標軸上的截距為：與。所以所求的三角形面積公式為：S=。3、利用平行正確選取坐標系例3 過梯形兩對角線的交點作底邊的平行線，證該平行線在兩腰之間的部分被兩對角線的交點所平分。分析：建立坐標系，若取梯形對角線的交點為原點，平行于底的直線為x軸，則證明本題就歸結為證E、F兩點的橫坐標互為反數(shù)。證：設梯形頂點的坐標

22、系為：，則：BC：，AD：。令y=0，得E、F兩點的橫坐標為：，。另一方面，。于是，從而，所以，從而。（2）方程形式的選擇為了使解題過程得到簡化，除了要恰當?shù)倪x取坐標系以外，另一個非常重要方面是適當選擇所要使用的方程的形式，在某些相關的場合可能用參數(shù)方程或極坐標方程往往可能比普通的方程更為簡便，即使在普通方程的情形下也有對所使用的方程形式的選擇問題、如例1，直線AC用法式方程就較其他的形式來的方便。例4：求證：通過兩點過相交圓的一個交點引一條割線，使得夾于兩圓間的弦相等。解：取如圖坐標系（如圖），令兩圓、的半徑為、，圓心（，0）、（，0），交點A（0，a），則圓：圓：。設所求的過點A的割線方程

23、為。將它與兩圓的方程分別聯(lián)立，解得，因，即，或，所以所求的割線方程為：綜上所述，使用解析法解幾何題條理更為清晰，也變得更加容易理解。而如何避免解析法帶來的弊端，正確使用解析法顯得尤為重要。六、向量坐標在幾何題中的應用運用向量坐標解決運用坐標法解決問題的步驟是：首先在平面上建立坐標系，把已知點的軌跡的幾何條件“翻譯”成代數(shù)方程；然后運用代數(shù)工具對方程進行研究；最后把代數(shù)方程的性質用幾何語言敘述，從而得到原先幾何問題的答案。例1已知正三棱柱-的棱長為2，地面的邊長為1，M是BC的中點，在直線上求一點N，使得MN。解：如圖，建立相應空間直角坐標系，有A（0,0,0）設,那么、，由得=0=0，得通過上

24、述列子我們可以清晰的看到，相對比較復雜的一道幾何題，通過將圖形坐標化，將對應的點用相應的空間坐標表示出來，再通過運算很快捷的可以得出想要打答案，大大的節(jié)省了計算時間，也便于理解。七、總結我們知道，數(shù)是數(shù)學的一個最基本也是相當重要的概念。在歷史上，數(shù)的概念經(jīng)歷了一個非常漫長的發(fā)展過程。而通過對數(shù)的大量的分析，我們慢慢把數(shù)運用到幾何中。數(shù)形結合思想完美的詮釋了數(shù)與形之間的聯(lián)系，同時使得數(shù)學及幾何的研究得到升入和提升，對現(xiàn)代數(shù)學的研究有著至關重要的意義。數(shù)形結合思想不僅僅是數(shù)學課本要求掌握的重要思想方法，也是歷年來不同考試及幾何數(shù)學研究中的重點和難點。巧妙的運用相對應的數(shù)量方法，如本文中所提的三角法

25、、解析法、向量代數(shù)法等等方法都可以使得相對復雜的幾何問題變得一目了然，解題思路也是無比的清晰。隨著數(shù)學的更深一步的研究，數(shù)和形不再是當初兩個獨立的毫不相關的個體，兩者相互滲透相互轉化，使得相關題目變得更為簡潔明了，也極大的拓寬我們的解題思路和數(shù)學視角，為研究數(shù)學問題和學生對數(shù)學的學習開辟了一條無比重要的道路，亦可以稱之為數(shù)學道路上的捷徑。學習數(shù)學從來是學生常常抱怨的一個難點，之所以難，使我們沒有找到一個合適的切入點，就像幾何問題一樣，我們要看的不僅僅是表面，而是希望通過別的方法去剖析其內在的含義。學習數(shù)學重在創(chuàng)造性的思維，通過相關的數(shù)學知識的學習，例如數(shù)形結合思想等，對不同階段的學生的創(chuàng)造性思維的提升有著至關重要的作用，亦可以對學生的思維品質造成長遠的積極向上的影響。合體利用和學習數(shù)學的相對應技巧，有助于提高我們對數(shù)學的認知能力，大量的積累下對于我們現(xiàn)實世界的認知能力也有著大的提