重力加速度的測定

1、實(shí)驗(yàn)二 重力加速度的測定一、單擺法實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 1學(xué)習(xí)使用秒表、米尺。 2用單擺法測量重力加速度。教學(xué)要求1. 理解單擺法測量重力加速度的原理。2. 研究單擺振動的周期與擺長、擺角的關(guān)系。3. 學(xué)習(xí)在實(shí)驗(yàn)中減小不確定度的方法。實(shí)驗(yàn)器材單擺裝置（自由落體測定儀），秒表，鋼卷尺重力加速度是物理學(xué)中一個重要參量。地球上各個地區(qū)重力加速度的數(shù)值，隨該地區(qū)的地理緯度和相對海平面的高度而稍有差異。一般說，在赤道附近重力加速度值最小，越靠近南北兩極，重力加速度的值越大，最大值與最小值之差約為1/300。研究重力加速度的分布情況，在地球物理學(xué)中具有重要意義。利用專門儀器，仔細(xì)測繪各地區(qū)重力加速度的分布情況，還可以

2、對地下資源進(jìn)行探測。伽利略在比薩大教堂內(nèi)觀察一個圣燈的緩慢擺動，用他的脈搏跳動作為計(jì)時(shí)器計(jì)算圣燈擺動的時(shí)間，他發(fā)現(xiàn)連續(xù)擺動的圣燈，其每次擺動的時(shí)間間隔是相等的，與圣燈擺動的幅度無關(guān)，并進(jìn)一步用實(shí)驗(yàn)證實(shí)了觀察的結(jié)果，為單擺作為計(jì)時(shí)裝置奠定了基礎(chǔ)。這就是單擺的等時(shí)性原理。應(yīng)用單擺來測量重力加速度簡單方便，因?yàn)閱螖[的振動周期是決定于振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)，即決定于重力加速度g和擺長l，只需要量出擺長，并測定擺動的周期，就可以算出g值。實(shí)驗(yàn)原理 單擺是由一根不能伸長的輕質(zhì)細(xì)線和懸在此線下端體積很小的重球所構(gòu)成。在擺長遠(yuǎn)大于球的直徑，擺球質(zhì)量遠(yuǎn)大于線的質(zhì)量的條件下，將懸掛的小球自平衡位置拉至一邊（很小距離，

3、擺角小于5），然后釋放，擺球即在平衡位置左右作周期性的往返擺動，如圖2-1所示。f =p sinf t=p cosp = mgl圖2-1 單擺原理圖擺球所受的力f是重力和繩子張力的合力，f指向平衡位置。當(dāng)擺角很小時(shí)（5），圓弧可近似地看成直線，f也可近似地看作沿著這一直線。設(shè)擺長為l，小球位移為x，質(zhì)量為m，則 sin= f=psin=-mg =-mx （2-1）由f=ma，可知a=-x式中負(fù)號表示f與位移x方向相反。 單擺在擺角很小時(shí)的運(yùn)動，可近似為簡諧振動，比較諧振動公式：a=-2x可得=于是得單擺運(yùn)動周期為： t=2/=2 （2-2） t2=l （2-3）或 g=42 （2-4）利用單擺

4、實(shí)驗(yàn)測重力加速度時(shí)，一般采用某一個固定擺長l，在多次精密地測量出單擺的周期t后，代入（2-4）式，即可求得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭。 由式（2-3）可知，t2和l之間具有線性關(guān)系，為其斜率，如對于各種不同的擺長測出各自對應(yīng)的周期，則可利用t2l圖線的斜率求出重力加速度g。 上述單擺測量g的方法依據(jù)的公式是(2-2)式,這個公式的成立是有條件的，否則將使測量產(chǎn)生如下系統(tǒng)誤差: 1. 單擺的擺動周期與擺角的關(guān)系，可通過測量5時(shí)兩次不同擺角1、2的周期值進(jìn)行比較。在本實(shí)驗(yàn)的測量精度范圍內(nèi)，驗(yàn)證出單擺的t與無關(guān)。 實(shí)際上，單擺的周期t隨擺角增加而增加。根據(jù)振動理論，周期不僅與擺長l有關(guān)，而且與擺動的角振幅有

5、關(guān)，其公式為：t=t01+()2sin2+()2sin2+ 式中t0為接近于0o時(shí)的周期，即t0=22懸線質(zhì)量m0應(yīng)遠(yuǎn)小于擺球的質(zhì)量m，擺球的半徑r應(yīng)遠(yuǎn)小于擺長l，實(shí)際上任何一個單擺都不是理想的，由理論可以證明，此時(shí)考慮上述因素的影響，其擺動周期為： 3如果考慮空氣的浮力，則周期應(yīng)為：式中t0是同一單擺在真空中的擺動周期，空氣是空氣的密度，擺球 是擺球的密度，由上式可知單擺周期并非與擺球材料無關(guān)，當(dāng)擺球密度很小時(shí)影響較大。4忽略了空氣的粘滯阻力及其他因素引起的摩擦力。實(shí)際上單擺擺動時(shí)，由于存在這些摩擦阻力，使單擺不是作簡諧振動而是作阻尼振動，使周期增大。上述四種因素帶來的誤差都是系統(tǒng)誤差，均來

6、自理論公式所要求的條件在實(shí)驗(yàn)中未能很好地滿足，因此屬于理論方法誤差。此外，使用的儀器如停表、米尺也會帶來儀器誤差。操作步驟 1儀器調(diào)整： 本實(shí)驗(yàn)是在自由落體測定儀上進(jìn)行，故需要把自由落體測定儀的支柱調(diào)成鉛直。調(diào)整方法是：安裝好擺錘后，調(diào)節(jié)底座上的水平調(diào)節(jié)螺絲，使擺線與立柱平行。 2測量擺長l 測量擺線支點(diǎn)與擺球質(zhì)心之間的距離l。由于擺球質(zhì)心位置難找，可用米尺測懸點(diǎn)到擺球最低點(diǎn)的距離l1，（測三次），用千分尺測球的直徑d，（測三次），則擺長： l=l1-d/2 3測量擺動周期t 使擺球擺動幅度在允許范圍內(nèi)，測量擺球往返擺動50次所需時(shí)間t50，重復(fù)測量3次，求出t=。測量時(shí)，選擇擺球通過最低點(diǎn)時(shí)

7、開始計(jì)時(shí)，最后計(jì)算時(shí)單位統(tǒng)一為秒。 4. 將所測數(shù)據(jù)列于下表中，并計(jì)算出擺長、周期及重力加速度。次數(shù)l1（cm）擺 球直徑d(cm)擺長l=l1-d/2(cm)50個周期t50(s)周期t(s)重力加速度g(cm/s2)123平均5實(shí)驗(yàn)不確定度 對g=42 根據(jù)不確定度的相對式有： 其中： = 注意事項(xiàng)： 1擺長的測定中，擺長約為1米，鋼卷尺與懸線盡量平行，盡量接近，眼睛與擺球最低點(diǎn)平行，視線與尺垂直，以避免誤差。 2測定周期t時(shí)，要從擺球擺至最低點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，并從最低點(diǎn)停止計(jì)時(shí)。這樣可以把反應(yīng)延遲時(shí)間前后抵消，并減少人為的判斷位置產(chǎn)生的誤差。 3鋼卷尺使用時(shí)要小心收放 4秒表輕拿輕放，切勿摔

8、碰。 5實(shí)驗(yàn)完畢，松開秒表發(fā)條。問題討論 1從誤差分析角度說明為什么不直接測量單擺往返一次的時(shí)間。 2擺球從平衡位置移開幾分之一擺長時(shí)，5度。 3單擺擺動時(shí)受到空氣阻力作用，擺幅越來越小，它的周期有什么變化？如用木球代替鐵球有何不同。 二、光電控制計(jì)時(shí)法實(shí)驗(yàn)內(nèi)容用自由落體法測定重力加速度教學(xué)目的 1學(xué)習(xí)使用數(shù)字毫秒計(jì)和米尺 2理解掌握勻加速直線運(yùn)動的規(guī)律實(shí)驗(yàn)器材 自由落體測定儀，鋼卷尺，數(shù)字毫秒計(jì) 實(shí)驗(yàn)原理在重力作用下，物體的下落運(yùn)動是勻加速直線運(yùn)動。這種運(yùn)動可以表示為： s=v0t+gt2/2式中s是在時(shí)間t秒內(nèi)物體下落的距離，g是重力加速度。如果物體下落的初速度為零，即v0=0，則 s=

9、gt2/2 （2-5） 可見，如果能測得物體在最初t秒內(nèi)通過的距離s，就可以算出重力加速度值g。 實(shí)際中由于v0=0這一條件不易達(dá)到，往往造成小球通過第一光電門時(shí)有一初速度v0，測得的時(shí)間值比小球?qū)嶋H下落時(shí)間短，使測得結(jié)果g值偏大。同時(shí)，測量s也有一定困難，所以我們可以采取測量兩次下落的高度差來消除誤差。若s1=gt12 ，s2=gt22，兩式相減整理有，即 （2-6） 上述測定重力加速度值的實(shí)驗(yàn)，還可以用稍微不同的方式進(jìn)行。如圖2-2所示，讓物體從o點(diǎn)開始自由下落，設(shè)它到達(dá)點(diǎn)a的速度為v1。從點(diǎn)a開始，經(jīng)過時(shí)間t1后，物體到達(dá)b點(diǎn)。令a、b間的距離為s1，則 s1=v1t1+gt12 （2-

10、7）ooabs1abs2圖2-2 自由落體示意圖 若保持前面所述的條件不變，則從點(diǎn)a起，經(jīng)過時(shí)間t2后，物體到達(dá)點(diǎn)b。令a、b間的距離為s2 ,則 s2=v1t2+gt22 （2-8） 將式(2-8)t1-(2-7)t2 ，得 s2t1-s1t2=(t22t1-t12t2) 于是得到 （2-9）操作步驟：（一） 按式（2-6）測定重力加速度 1將重錘懸掛在鐵芯上，調(diào)節(jié)底座螺旋，使支柱處于鉛直狀態(tài)后，取下重錘。 2捏緊氣囊，使它吸住小球。將第一個光電門固定在小球恰好不擋光的地方，調(diào)整第二光電門與第一光電門的距離，然后測出這個距離。 3使小球自由下落，記下數(shù)字毫秒計(jì)上顯示時(shí)間t，共測次。 4改變第光電門的位置，重復(fù)上述步驟。 5按式（2-6）計(jì)算重力加速度的平均值。 6計(jì)算不確定度。 由 g= 其中： = (二)按式（2-9）測定重力加速度 1. 調(diào)節(jié)好落體測定儀。2將第一光電門固定在支柱上部某一位置，第光電門固定在支柱中間位置。測出這個距離s1。3小球自由下落，記錄時(shí)間 t,共測6次。4改變第光電門的位置，重復(fù)上述步驟。5按式（2-9）計(jì)算重力加速度。 6計(jì)算不確定度。 其