熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理答案

1、第一章 熱力學(xué)的基本規(guī)律習(xí)題1.1 試求理想氣體的體脹系數(shù),壓強(qiáng)系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)。解：由 所以, 習(xí)題1.2 試證明任何一種具有兩個(gè)獨(dú)立參量的物質(zhì),其物態(tài)方程可由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的體脹系數(shù)及等溫壓縮系數(shù),根據(jù)下述積分求得:如果 ,試求物態(tài)方程。解： 因?yàn)?所以,我們可寫成,由此, , 因?yàn)?所以, 所以, ,當(dāng). 習(xí)題1.3測(cè)得一塊銅塊的體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)分別為和，可近似看作常量，今使銅塊加熱至10c。問(wèn)（1壓強(qiáng)要增加多少才能使銅塊體積不變？（2若壓強(qiáng)增加100，銅塊的體積改多少解：分別設(shè)為，由定義得： 所以，習(xí)題1.4描述金屬絲的幾何參量是長(zhǎng)度，力學(xué)參量是張力，物態(tài)方 程是實(shí)驗(yàn)通常在下進(jìn)行，其

2、體積變化可忽略。線脹系數(shù)定義為等楊氏摸量定義為其中是金屬絲的截面積，一般說(shuō)來(lái)，和是的函數(shù)，對(duì)僅有微弱的依賴關(guān)系，如果溫度變化范不大，可看作常數(shù)。假設(shè)金屬絲兩端固定。試證明，當(dāng)溫度由降時(shí)，其張力的增加為解： 所以， 因 所以, 習(xí)題1.7在下，壓強(qiáng)在0至1000之間，測(cè)得水的體積如果保持溫度不變，將1mol的水從1加壓至1000，求外界所做的功。解：外界對(duì)水做功:習(xí)題1.8解：外界所作的功： 習(xí)題1.10抽成真空的小匣帶有活門，打開(kāi)活門讓氣體充入。當(dāng)壓強(qiáng)達(dá)到外界壓強(qiáng)p0時(shí)將活門關(guān)上。試證明：小匣內(nèi)的空氣在沒(méi)有與外界交換熱量之前，它的內(nèi)能與原來(lái)大氣中的之差為，其中是它原來(lái)在大氣中的體積。若氣體是理

3、想氣體，求它的溫度和體積。解：假設(shè)先前的氣體狀態(tài)是（p0，dv0,t0）內(nèi)能是u0，當(dāng)把這些氣體充入一個(gè)盒子時(shí)，狀態(tài)為（p0,dv,t）這時(shí)的內(nèi)能為u，壓縮氣體所做的功為： ,依絕熱過(guò)程的熱力學(xué)第一定律， 得 積分得 對(duì)于理想氣體，上式變?yōu)?故有 所以 對(duì)于等壓過(guò)程 習(xí)題1.15熱泵的作用是通過(guò)一個(gè)循環(huán)過(guò)程將熱量從溫度較低的環(huán)境傳送掃溫度較高的物體上去。如果以理想氣體的逆卡諾循環(huán)作為熱泵的循環(huán)過(guò)程，熱泵的效率可以定義為傳送到高溫物體的熱量與外界所作的功的比值。試求熱泵的效率。如果將功直接轉(zhuǎn)化為熱量而令高溫物體吸收，則“效率”為何？解：ab 等溫過(guò)程bc 絕熱過(guò)程cd 等溫吸熱da 絕熱， 由絕

4、熱過(guò)程泊松方程： ； 將功a直接轉(zhuǎn)化為熱量，令高溫物體吸收。有a=q1 。習(xí)題1.16假設(shè)理想氣體的cp和cv之比是溫度的函數(shù)，試求在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中t和v的關(guān)系。該關(guān)系試中要用到一個(gè)函數(shù)f(t)，其表達(dá)式為：解：準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中：， (1)對(duì)于理想氣體，由焦耳定律知內(nèi)能的全微分為 (2)物態(tài)方程 (3)(2)，(3)代入(1)得： （其中） 關(guān)系式為t的函數(shù) v-1為t的函數(shù)。 。第二章 均勻物質(zhì)的熱力學(xué)性質(zhì)習(xí)題2.2已知在體積保持不變的情況下,一氣體的壓強(qiáng)正比于其絕對(duì)溫度.試證明在溫度保持不變時(shí),該氣體的熵隨體積而增加。解：由題意得： 。 因v不變,t、p升高,故k(v)0 據(jù)麥?zhǔn)详P(guān)系(2

5、.2.3)式得: = =(v) (k(v)0) 由于k(v)0, 當(dāng)v升高時(shí)(或v0v,vv0),于是 t不變時(shí),s隨v的升高而升高。2.3設(shè)一物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式，試證明其內(nèi)能與體積無(wú)關(guān)。解： ，()t = - p = =0 得證。習(xí)題2.4求證：() 0證: 由式(2.1.2)得： 等h過(guò)程: （）h=-0; t0)由基本方程：;（）u=0.習(xí)題2.5已知 =0 , 求證 =0。解： 由式(2.2.7)得：=-p; =0 ; =0= 0 ; =0。習(xí)題2.6試證明一個(gè)均勻物體在準(zhǔn)靜態(tài)等過(guò)程中熵隨體積的增減取決于等壓下溫度隨體積的增減。解： f=u-ts, 將自由能f視為p,v的函數(shù);

6、 f=f(p,v) = 由關(guān)系;。習(xí)題2.7 試證明在相同的壓強(qiáng)降落下,氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹中的溫度降落大于在節(jié)流過(guò)程中的溫度降落。（提示:證明-0）證：聯(lián)立（1），（2）式得：-=據(jù)： 熵不變時(shí)，（ds=0）, =-=； 原題得證。 習(xí)題2.14一彈簧在恒溫下的恢復(fù)力x與其伸長(zhǎng)x成正比,即.x= -ax；今忽略彈簧的熱膨脹,試證明彈簧的自由能f、熵s和內(nèi)能u的表達(dá)式分別為； 解： + ; =由于, =x=0時(shí)，u=0,即不考慮自身因溫度而帶來(lái)的能量。實(shí)際上，=0 或 = 即得： ; 進(jìn)而求(略)。 代入習(xí)題2.21如下圖所示，電介質(zhì)的介電常數(shù)與溫度有關(guān)，試求電路為閉路時(shí)電介質(zhì)的熱容量與充電后

7、再令電路斷開(kāi)后的熱容量之差。解：當(dāng)電路閉合時(shí)，電容器電場(chǎng)恒定當(dāng)電路斷開(kāi)時(shí)，電容器電荷恒定，因而習(xí)題2.22已知順磁物質(zhì)的磁化強(qiáng)度為：，若維持物質(zhì)溫度不變,使磁場(chǎng)由0增至h,求磁化熱。解： ；據(jù)式(2.7.7) =等t下： 習(xí)題2.23已知超導(dǎo)體的磁感應(yīng)強(qiáng)度；求證:()cm與m無(wú)關(guān)，只是t的函數(shù)，其中cm是在磁化強(qiáng)度m保持不變時(shí)的熱容量；()；() 解：超導(dǎo)體 () (式2.7.9)；() 據(jù)式(2.7.3). ;代入表達(dá)式，其中u0為0k時(shí)的內(nèi)能。() 由(ii)中已應(yīng)用了； 忽略因體積變化帶來(lái)的影響。習(xí)題2.24實(shí)驗(yàn)測(cè)得順磁介質(zhì)的磁化率。如果忽略其體積的變化,試求特性函數(shù)f(m,t),并導(dǎo)出

8、內(nèi)能和熵。解： 顯然只與t有關(guān)；=； ; ; ; ；既已知：；第三章 單元系的相變習(xí)題3.2試由及證明及。證： 由式(2.2.1) =;+ (1) (2)由麥?zhǔn)详P(guān)系(2.2.3)代入(1)式中 -由式(2.2.5) ；即. 于是： 0正數(shù)于是： 0）,故對(duì)積分可得： ， (s=l2)習(xí)題6.4在極端相對(duì)論情形下，粒子的能量動(dòng)量關(guān)系為。試求在體積v內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)能量范圍內(nèi)三維粒子的量子態(tài)數(shù)。解：由于只與有關(guān)，與、無(wú)關(guān)，于是以上已經(jīng)代入了 于是， 習(xí)題6.5 設(shè)系統(tǒng)含有兩種粒子，其粒子數(shù)分別為n和n.粒子間的相互作用很弱，可看作是近獨(dú)立的。假設(shè)粒子可分辨，處在一個(gè)個(gè)體量子態(tài)的粒子數(shù)不受限制。

9、試證明，在平衡態(tài)下兩種粒子的最概然分布分別為：和。其中和是兩種粒子的能級(jí)，和是能級(jí)簡(jiǎn)并度。證： 粒子a能級(jí)，粒子數(shù)分布：al簡(jiǎn)并度 粒子b能級(jí)，粒子數(shù)分布：al簡(jiǎn)并度 由 即使最大， 達(dá)到最大。 （注：與在此情況下獨(dú)立） 討論，若將一系作為子系統(tǒng)，意味總能守恒，于是參照教材玻爾茲曼分布證明 同一，原題得證。這也是滿足熱平衡的要求。第七章 玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)習(xí)題7.1根據(jù)公式證明，對(duì)于非相對(duì)論粒子：，=0，1，2，有,上述結(jié)論對(duì)玻耳茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都成立。證：=其中 ; (對(duì)同一,)=習(xí)題7.2試根據(jù)公式證明，對(duì)于極端相對(duì)論粒子：，=0，1，2，有,上述結(jié)論對(duì)玻耳茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分

10、布都成立。證： ；對(duì)極端相對(duì)論粒子 類似得 =習(xí)題7.3當(dāng)選擇不同的能量零點(diǎn)時(shí)，粒子第個(gè)能級(jí)的能量可以取為，以表示二者之差。試證明相應(yīng)的配分函數(shù)存在以下關(guān)系，并討論由配分函數(shù)z1和z*1求得的熱力學(xué)函數(shù)有何差別。證： 配分函數(shù) 以內(nèi)能u為例，對(duì)z1: 對(duì)z1*: 習(xí)題7.4試證明，對(duì)于遵從玻爾茲曼分布的系統(tǒng)，熵函數(shù)可以表示為式中ps是總粒子處于量子態(tài)s的概率，,對(duì)粒子的所有量子態(tài)求和。證法一：出現(xiàn)某狀態(tài)幾率為ps 設(shè)s1,s2,sk狀態(tài)對(duì)應(yīng)的能級(jí)； 設(shè)sk+1,sk+2,sw狀態(tài)對(duì)應(yīng)的能級(jí)； 類似；則出現(xiàn)某微觀狀態(tài)的幾率可作如下計(jì)算：根據(jù)玻爾茲曼統(tǒng)計(jì) ；顯然nps代表粒子處于某量子態(tài)s下的幾率

11、，。于是代表處于s狀態(tài)下的粒子數(shù)。例如，對(duì)于能級(jí)個(gè)粒子在上的k個(gè)微觀狀態(tài)的概率為： 類似寫出：等等。于是n個(gè)粒子出現(xiàn)某一微觀狀態(tài)的概率。一微觀狀態(tài)數(shù) ，（基于等概率原理）將帶入；習(xí)題7.5固體含有a、b兩種原子。試證明由于原子在晶體格點(diǎn)的隨機(jī)分布引起的混合熵為其中n是總原子數(shù)，x是a原子的百分比，（1-x ）是b原子的百分比。注意x1，上式給出的熵為正值。證： 顯然 s=-n=；由于 1， 故；原題得證。習(xí)題7.8氣體以恒定的速度沿方向作整體運(yùn)動(dòng)。試證明，在平衡狀態(tài)下分子動(dòng)量的最概然分布為 證： 設(shè)能級(jí)這樣構(gòu)成：同一中，p相同，而p與p在變化，于是有： ()參照教材玻耳茲曼分布證明；有 -,其

12、中 由(1)知: 將代入 并配方得: =其中 對(duì)比page238式（7.2.4）得： 整個(gè)體積內(nèi)，分布在 內(nèi)分子數(shù)為：由條件（3）知 計(jì)算得 = =代入得出分布： 其中 ,習(xí)題7.11試根據(jù)麥克斯韋速度分布率導(dǎo)出兩分子的相對(duì)速度和相對(duì)速率的概率分布，并求相對(duì)速率的平均值。解：兩分子的相對(duì)速度在內(nèi)的幾率同理可求得分量為和引進(jìn)，速度分布變?yōu)槔们驑O坐標(biāo)系可求得速率分布為：相對(duì)速率平均值 習(xí)題7.13試證明，單位時(shí)間內(nèi)碰到單位面積上，速率介于與之間的分子數(shù)為：證： 在斜圓柱體內(nèi),分速度為的方向的分子數(shù)為: 對(duì)于 時(shí)間碰撞到面積上的分子數(shù)（） = 得到：若只計(jì)算介于分子數(shù)則為：（只對(duì)積分） 習(xí)題7.1

13、4 分子從器壁小孔射出，求在射出的分子束中，分子平均速度和方均根速度。解： ； 變量代換 習(xí)題7.15已知粒子遵從經(jīng)典玻耳茲曼分布，其能量表達(dá)式為：其中是常數(shù)，求粒子的平均能量。 解： 習(xí)題7.16氣柱的高度為，截面為，在重力場(chǎng)中。試求解此氣柱的內(nèi)能和熱容量。解： 配分函數(shù) 設(shè) ； 習(xí)題7.17試求雙原子理想氣體的振動(dòng)熵。解： 振動(dòng)配分函數(shù) 代入式（7.6.1） 代入熵計(jì)算式。習(xí)題7.18對(duì)于雙原子分子，常溫下遠(yuǎn)大于轉(zhuǎn)動(dòng)的能級(jí)間距。試求雙原子分子理想氣體的轉(zhuǎn)動(dòng)熵。解：由式（7.5.14）轉(zhuǎn)動(dòng)配分函數(shù) 其中習(xí)題7.19氣體分子具有固有電偶極矩，在電場(chǎng)下轉(zhuǎn)動(dòng)能量的經(jīng)典表達(dá)式為：，證明在經(jīng)典近似下轉(zhuǎn)

14、動(dòng)配分函數(shù)：解：經(jīng)典近似下，視為準(zhǔn)連續(xù)能量配分函數(shù) 利用 習(xí)題7.20同19題，試證在高溫()極限下,單位體積電偶極矩（電極化強(qiáng)度）為：。解：電極化強(qiáng)度高溫極限下，保留至。其中習(xí)題7.21試求愛(ài)因斯坦固體的熵。解：將，代入至表達(dá)式即得，注意n取3n。(略)第九章 系綜理論習(xí)題9.1證明在正則分布中熵可表為其中是系統(tǒng)處在態(tài)的概率。證： 多粒子配分函數(shù)由(1)知 代至(2)得 ;于是 習(xí)題9.2試用正則分布求單原子分子理想氣體的物態(tài)方程，內(nèi)能和熵證： 符號(hào)符號(hào)利用式（9.5.3）類似求。習(xí)題9.3體積內(nèi)盛有兩種組元的單原子混合理想氣體，其摩爾數(shù)為和，溫度為。試由正則分布導(dǎo)出混合理想氣體的物態(tài)方程，內(nèi)能和熵。解：習(xí)題9.5利用范氏氣體的配分函數(shù)，求內(nèi)能和熵。解： 一般認(rèn)為較小；習(xí)題9.9利用德拜頻譜求固體在高溫和低溫下配分函數(shù)對(duì)數(shù)，從而求內(nèi)能和熵。解：式（3.9.4）德拜頻