山西省山西大學(xué)附屬中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月總第十一次模塊診斷試題文含解析

1、山西省山西大學(xué)附屬中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月（總第十一次）模塊診斷試題 文（含解析）考試時間：120分鐘 滿分：150分一、選擇題（本大題共12 小題，每小題5 分，共60 分. 在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.）1. 表示集合中整數(shù)元素的個數(shù)，設(shè)集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出，再結(jié)合題意即可求出結(jié)果.詳解】， ，.故選C【點睛】本題考查集合的交集，考查運算求解能力與新定義的理解能力，屬于基礎(chǔ)題型.2. 已知復(fù)數(shù)z滿足，則的共軛復(fù)數(shù)是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復(fù)數(shù)z，

2、然后求得其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由，得，所以.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算，考查了共軛復(fù)數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.3. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得到，結(jié)合單調(diào)性和偶函數(shù)的性質(zhì)可得大小關(guān)系.【詳解】為上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)值大小關(guān)系的比較，關(guān)鍵是能夠利用奇偶性將自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，由自變量的大小關(guān)系，利用函數(shù)單調(diào)性即可得到函數(shù)值的大小關(guān)系.4. 宋代詩詞大師歐陽修的賣油翁中有一段關(guān)于賣油翁的精湛技藝的細節(jié)描寫：“（翁）乃取一葫蘆置

3、于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕”如果銅錢是直徑為的圓，錢中間的正方形孔的邊長為，則賣油翁向葫蘆內(nèi)注油，油正好進入孔中的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)幾何概型面積型計算公式直接求解即可.【詳解】由題，所以故選：D【點睛】本題考查了幾何概型面積型計算公式，屬于基礎(chǔ)題.5. 命題：，命題：，則是（ ）A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件C. 必要充分條件D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】 表示的范圍，用圖像來表示就是以 為圓心， 為半徑的圓內(nèi)；：， 表示以 為頂點的菱形；畫出圖像知道菱形包含了圓形；故范圍比范圍小，根據(jù)小范圍推大

4、范圍，得是的充分非必要條件；故選A點睛：充分必要條件中，小范圍推大范圍，大范圍推不出小范圍；這是這道題的跟本；再者，根據(jù)圖像判斷范圍大小很直觀，快捷，而不是去解不等式；6. 已知數(shù)列中，若利用如圖所示的程序框圖計算該數(shù)列的第項，則判斷框內(nèi)的條件是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】執(zhí)行程序框圖，從開始運行，當運行求出的值，然后對判斷框進行判斷即可.【詳解】由遞推式，可得，.將以上個式子相加，可得，則.由程序框圖可知，當判斷框內(nèi)的條件是時，則輸出的，.綜合可知，若要想輸出式的結(jié)果，則故選：B【點睛】本題考查了對程序框圖中的判斷框的判斷，屬于基礎(chǔ)題.7. 函數(shù)的大致圖象為（ ）

5、A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用，以及函數(shù)的極限思想，可以排除錯誤選項得到正確答案【詳解】，排除，B，C，當時，則時，排除A，故選D【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用排除法結(jié)合函數(shù)的極限思想是解決本題的關(guān)鍵8. 若函數(shù)（其中，圖象的一個對稱中心為，其相鄰一條對稱軸方程為，該對稱軸處所對應(yīng)的函數(shù)值為，為了得到的圖象，則只要將的圖象( )A. 向右平移個單位長度B. 向左平移個單位長度C. 向左平移個單位長度D. 向右平移個單位長度【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出，由五點法作圖求出的值，可得的解析式，再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)

6、公式，得出結(jié)論【詳解】根據(jù)已知函數(shù)其中，的圖象過點，可得，解得：再根據(jù)五點法作圖可得，可得：，可得函數(shù)解析式為：故把的圖象向左平移個單位長度，可得的圖象，故選B【點睛】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出，由五點法作圖求出的值，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題9. 已知是圓的直徑，點為直線上任意一點，則的最小值是（ ）A. B. C. 0D. 1【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由題意得，設(shè)，,又因為,所以，所以的最小值為1，故答案選D.考點：1.圓的性質(zhì)；2.平面向量的數(shù)量積的運算.10. 圓錐（其中為頂點，為底面圓心）的側(cè)面積與底面

7、積的比是，則圓錐與它外接球（即頂點在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得圓錐母線與底面圓半徑r的關(guān)系，從而得到圓錐的高與r關(guān)系，計算圓錐體積，由截面圖得到外接球的半徑R與r間的關(guān)系，計算球的體積，作比即可得到答案.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,圓錐母線長為l，則側(cè)面積為，側(cè)面積與底面積的比為,則母線l=2r,圓錐的高為h=,則圓錐的體積為,設(shè)外接球的球心為O,半徑為R,截面圖如圖，則OB=OS=R,OD=h-R=,BD=r,在直角三角形BOD中，由勾股定理得,即,展開整理得R=所以外接球的體積為,故所求體積比為故選A【

8、點睛】本題考查圓錐與球的體積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生計算能力，屬于中檔題.11. 已知直線與雙曲線交于兩點，以為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點，若的面積為，則雙曲線的離心率為A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】通過雙曲線和圓的對稱性，將的面積轉(zhuǎn)化為的面積；利用焦點三角形面積公式可以建立與的關(guān)系，從而推導(dǎo)出離心率.【詳解】由題意可得圖像如下圖所示：為雙曲線的左焦點為圓的直徑 根據(jù)雙曲線、圓的對稱性可知：四邊形為矩形又，可得： 本題正確選項：【點睛】本題考查雙曲線的離心率求解，離心率問題的求解關(guān)鍵在于構(gòu)造出關(guān)于的齊次方程，從而配湊出離心率的形式.12. 若對于任意的，都有，則的最大值為

9、（ ）A. B. C. 1D. 【答案】C【解析】由已知有，兩邊同時除以，化簡有，而，構(gòu)造函數(shù)，令 令 ，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由對于恒成立，即在為增函數(shù)，則，故 的最大值為1，選C.點睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性上的應(yīng)用，屬于中檔題本題關(guān)鍵是將已知不等式恒等變形為，再根據(jù)單調(diào)性得出結(jié)果二. 填空題（本大題共4 小題，每題5 分，共20 分.）13. 某校高三科創(chuàng)班共48人，班主任為了解學(xué)生高考前的心理狀況，將學(xué)生按1至48的學(xué)號用系統(tǒng)抽樣方法抽取8人進行調(diào)查，若抽到的最大學(xué)號為48，則抽到的最小學(xué)號為_【答案】6【解析】【分析】抽到的最大學(xué)號為48，由系統(tǒng)抽樣等基礎(chǔ)

10、知識即可得最小學(xué)號.【詳解】由系統(tǒng)抽樣方法從學(xué)號為1到48的48名學(xué)生中抽取8名學(xué)生進行調(diào)查，把48人分成8組，抽到的最大學(xué)號為48，它是第8組的最后一名，則抽到的最小學(xué)號為第一組的最后一名6號.故答案為6【點睛】本題考查了系統(tǒng)抽樣等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題14. 在中，角、的對邊分別為、，若，則的值為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理、二倍角的正弦公式、余弦公式直接進行求解即可.【詳解】由正弦定理可得：，即，故答案為：【點睛】本題考查了正弦定理的應(yīng)用，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了數(shù)學(xué)運算能力.15. 正四棱錐底面邊長為，高為，是邊的中點，動點在四棱錐表面上運動，

11、并且總保持，則動點的軌跡的周長為_【答案】【解析】【分析】取，的中點， 根據(jù)三角形中位線、面面平面的判定定理、線面垂直的判定定理，可以證明出平面，這樣可以確定動點在四棱錐表面上運動的軌跡為，然后求出周長即可.【詳解】如圖所示，取，的中點，則，由線面判定定理可知：平面，平面，而，所以平面平面，設(shè)是底面正方形的中心，所以正四棱錐的高為，則，則有，而，所以平面，所以平面，因為，所以有，則動點在四棱錐表面上運動的軌跡為，則動點的軌跡的周長為故答案為：【點睛】本題考查了立體幾何中軌跡問題，考查了線面垂直的判定定理、面面平行的判定定理，考查了推理認證能力和空間想象能力.16. 定義在上的函數(shù)滿足，的導(dǎo)函數(shù)

12、，且對恒成立，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性可得；然后構(gòu)造函數(shù)，可得，從而得到，即為所求【詳解】設(shè)，則故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故設(shè)，則在上單調(diào)遞減，所以，則，所以故的取值范圍是【點睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)求范圍，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意中給出的條件構(gòu)造出兩個函數(shù)，然后再根據(jù)取特殊值得到所求的范圍，綜合考查創(chuàng)新和應(yīng)用能力，具有一定的綜合性和難度三. 解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17. 在公差為的等差數(shù)列中，.（1）求取值范圍；（2）已知，試問：是否存在等差數(shù)列，使得數(shù)列的前項和為？若存在，求的通項公式；若不存在，請說明理由

13、.【答案】（1）（2）存在，通項公式為【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)，將代入，化簡整理即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)求出，再假設(shè)存在等差數(shù)列，結(jié)合題意求出，再由裂項相消法求出數(shù)列的前項和，即可求出結(jié)果.【詳解】解:（1），整理得，則，解得，則的取值范圍為.（2），即，則.假設(shè)存在等差數(shù)列，則，即，解得，從而.此時， ，故存在等差數(shù)列，且，使得數(shù)列的前項和為.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式與性質(zhì)，以及裂項相消法求數(shù)列的和，熟記公式即可，屬于?？碱}型.18. 如圖，多面體中，是菱形，平面，且.（1）求證：平面平面；（2）求多面體的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（

14、1）通過證明四邊形為平行四邊形，可知；根據(jù)線面垂直性質(zhì)和菱形可分別證明出和，根據(jù)線面垂直的判定定理可證得平面，從而得到平面，根據(jù)面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）將所求幾何體拆分成三棱錐和四棱錐，分別求解出兩個部分的體積，作和可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：連接交于，設(shè)中點為,連接，分別為，的中點,且 且四邊形為平行四邊形, 即平面，平面 四邊形是菱形 平面，即平面又平面 平面平面（2）平面平面 到平面的距離為【點睛】本題考查面面垂直的證明、空間幾何體的體積求解問題，涉及到線面垂直的判定與性質(zhì).求解體積問題的關(guān)鍵是能夠把不規(guī)則幾何體拆分成規(guī)則幾何體，從而分部分來進行求解.19. 某家庭記錄了

15、未使用節(jié)水龍頭天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：）和使用了節(jié)水龍頭天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：未使用節(jié)水龍頭天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量頻數(shù)使用了節(jié)水龍頭天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量頻數(shù)（1）在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（2）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于的概率；（3）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按天計算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表）【答案】（1）直方圖見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題中所給的使用了節(jié)水龍頭天的日用水量頻數(shù)分布表，算出落在相應(yīng)區(qū)間上的頻率，借助于直方圖中長方形的面積表示的

16、就是落在相應(yīng)區(qū)間上的頻率，從而確定出對應(yīng)矩形的高，從而得到直方圖；（2）結(jié)合直方圖，算出日用水量小于的矩形的面積總和，即為所求的頻率；（3）根據(jù)組中值乘以相應(yīng)的頻率作和求得天日用水量的平均值，作差乘以天得到一年能節(jié)約用水多少，從而求得結(jié)果.【詳解】（1）頻率分布直方圖如下圖所示：（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭使用節(jié)水龍頭后天日用水量小于的頻率為；因此該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于的概率的估計值為；（3）該家庭未使用節(jié)水龍頭天日用水量的平均數(shù)為該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為估計使用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)省水【點睛】該題考查的是有關(guān)統(tǒng)計的問題，涉及到的知識點有頻率分布直方圖的繪制、利用

17、頻率分布直方圖計算變量落在相應(yīng)區(qū)間上的概率、利用頻率分布直方圖求平均數(shù)，在解題的過程中，需要認真審題，細心運算，仔細求解，就可以得出正確結(jié)果.20. 已知橢圓，點和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率.（1）求橢圓的方程；（2）若過原點直線與橢圓交于兩點，且在直線上存在點，使得是以為直角頂點的直角三角形，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）； （2）或.【解析】【分析】（1）將點代入橢圓方程，并結(jié)合，可以求出，然后將點代入橢圓方程即可求出，即可得到答案；（2）將直線與橢圓聯(lián)立，可以得到兩點的坐標關(guān)系，設(shè)，則，由題意，即，從而可以建立等式關(guān)系：，可以整理為關(guān)于的一元二次方程，令即可求出的取值范圍【詳解】（1

18、）由題設(shè)知，.由點在橢圓上，得.解得，又點在橢圓上，.即，解得.所以橢圓的方程是.（2）設(shè)、，由得，設(shè)，則依題意，得即有解化簡得，或【點睛】本題考查了直線與橢圓的綜合問題，涉及橢圓方程的求法，橢圓的離心率，一元二次方程根的特點，直角三角形的幾何關(guān)系的利用，屬于難題21. 已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）定義：對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為函數(shù)的不動點.如果函數(shù)存在不動點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)見解析；(2) 【解析】【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論的范圍，即可判斷的單調(diào)性；(2)由存在不動點，得到有實數(shù)根，即有解，構(gòu)造函數(shù)令，通過求導(dǎo)即可判斷的單調(diào)性，從而得到的取值范圍，即可得到的范圍【詳解】(1)的定義域為，對于函數(shù)，當時，即時，在恒成立.在恒成立.在為增函數(shù)；當，即或時， 當時，由，得或，在為增函數(shù)，減函數(shù).為增函數(shù)，當時，由在恒成立，在為增函數(shù)綜上，當時，在為增函數(shù)，減函數(shù)，為增函數(shù)；當時，在為增函數(shù)（2），存在不動點，方程有實數(shù)根，即有解，令，令，得，當時，單調(diào)遞減； 當時，單調(diào)遞增； ，