2018年中考壓軸題匯編幾何證明及通過幾何計算進行說理含答案

1、3.2幾何證明及通過幾何計算進行說理問題例1 2017年杭州市中考第22題如圖1,在厶ABC中，BC AC,/ ACB = 90,點 D在AB邊上，DE丄AC于點E.(1) 若 AD =- , AE = 2,求 EC 的長；DB 3(2) 設點F在線段EC上，點G在射線CB上，以F、C、G為頂點的三角形與 EDC 有一個銳角相等，F(xiàn)G交CD于點P 問：線段CP可能是 CFG的高還是中線？或兩者都有可能？請說明理由.例2 2017年安徽省中考第23題如圖1,正六邊形 ABCDEF的邊長為a, P是BC邊上的一動點，過 P作PM/AB交AF 于M，作PN/CD交DE于N.(1)/ MPN =求證：

2、PM + PN = 3a;(2)如圖2，點O是AD的中點，聯(lián)結 OM、ON.求證：0M = ON.OG平分/ MON，判斷四邊形 OMGN是否為特殊的(3) 如圖3,點O是AD的中點, 四邊形，并說明理由.圖1圖3例 3 2018 年上海市黃浦區(qū)中考模擬第 24題已知二次函數 y= x2+ bx+ c的圖像經過點 P(0, 1)與Q(2, 3).( 1 )求此二次函數的解析式；(2)若點A是第一象限內該二次函數圖像上一點，過點A作x軸的平行線交二次函數圖像于點B，分別過點B、A作x軸的垂線，垂足分別為 C、D，且所得四邊形 ABCD恰為 正方形 求正方形的 ABCD 的面積； 聯(lián)結PA、PD,

3、 PD交AB于點E，求證： PADPEA.3.2幾何證明及通過幾何計算進行說理問題答案例1 2017年杭州市中考第22題如圖1,在厶ABC中，BC AC,/ ACB = 90,點 D在AB邊上，DE丄AC于點E.(1) 若 AD =- , AE = 2,求 EC 的長；DB 3(2) 設點F在線段EC上，點G在射線CB上，以F、C、G為頂點的三角形與 EDC 有一個銳角相等，F(xiàn)G交CD于點P 問：線段CP可能是 CFG的高還是中線？或兩者都有可能？請說明理由.動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 15杭州22”，拖動點D在AB上運動，可以體驗到，CP既可以是 CFG的高，也可以是 CFG的中線.思路

4、點撥CFG與厶EDC都是直角三角形，有一個銳角相等，分兩種情況.2. 高和中線是直角三角形的兩條典型線，各自聯(lián)系著典型的定理，一個是直角三角形 的兩銳角互余，一個是直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.3. 根據等角的余角相等，把圖形中相等的角都標記出來.滿分解答(1) 由/ ACB = 90, DE丄AC,得 DE/BC .所以些 =AD =1 所以_L =! 解得EC= 6.EC DB 3EC 3(2) CFG與厶EDC都是直角三角形，有一個銳角相等，分兩種情況： 如圖2，當/ 1 = / 2時，由于/ 2與/ 3互余，所以/ 2與/ 3也互余.因此/ CPF = 90.所以 CP是厶CF

5、G的高. 如圖3，當/ 1 = / 3時，PF = PC.又因為/ 1與/ 4互余，/ 3與/ 2互余，所以/ 4=/ 2.所以PC= PG .所以PF = PC = PG .所以CP是厶CFG的中線.綜合、，當 CD是/ ACB的平分線時，CP既是 CFG的高，也是中線(如圖 4).圖2圖3圖4考點伸展這道條件變換的題目，不由得勾起了我們的記憶：如圖5,在厶ABC中，點D是AB邊上的一個動點，DE/BC交AC于E, DF/AC交BC于F，那么四邊形 CEDF是平行四邊形.如圖6,當CD平分/ ACB時，四邊形 CEDF是菱形.圖6如圖7,當/ ACB= 90，四邊形 CEDF是矩形.如圖8,

6、當/ ACB= 90 , CD平分/ ACB時，四邊形 CEDF是正方形.圖7圖8例2 2017年安徽省中考第23題如圖1,正六邊形 ABCDEF的邊長為a, P是BC邊上的一動點，過 P作PM/AB交AF于M，作PN/CD交DE于N.(1)/ MPN =求證：PM + PN = 3a;（2）如圖2，點O是AD的中點，聯(lián)結 OM、ON.求證：0M = ON.OG平分/ MON，判斷四邊形 OMGN是否為特殊的（3）如圖3,點O是AD的中點, 四邊形，并說明理由.圖1圖3動感體驗請打開幾何畫板文件名 “ 14安徽23”，拖動點P運動，可以體驗到，PM + PN等于正六 邊形的3條邊長. AOM

7、BOP , COPA DON ,所以OM = OP = ON.還可以體驗到， MOG與厶NOG是兩個全等的等邊三角形，四邊形 OMGN是菱形.思路點撥1. 第（1）題的思路是，把 PM + PN轉化到同一條直線上.2第（2）題的思路是，以 O為圓心，OM為半徑畫圓，這個圓經過點 N、P 于是想 到聯(lián)結OP，這樣就出現(xiàn)了兩對全等三角形.3.第（3）題直覺告訴我們，四邊形 OMGN是菱形.如果你直覺 MOG與厶NOG是 等邊三角形，那么矛盾就是如何證明/MON = 120 .滿分解答(1)/ MPN = 60如圖4，延長FA、ED交直線 BC與M、N ；那么 ABM、 MPM 、 DCN、 EPN

8、都是等邊三角形.所以 PM + PN= M N = M B + BC+ CN = 3a.圖6圖4圖5(2)如圖5，聯(lián)結OP .由(1)知，AM = BP, DN = CP.由 AM = BP,/ OAM = Z OBP = 60, OA = OB, 得厶 AOM BOP .所以 OM = OP .同理 COP也厶DON，得ON = OP .所以OM = ON .（3）四邊形OMGN是菱形.說理如下：由（2）知，/ AOM =Z BOP,/ DON =Z COP （如圖 5）.所以/ AOM + / DON = / BOP+Z COP= 60 .所以/ MON = 120 . 如圖 6,當 OG

9、 平分Z MON 時，Z MOG =/ NOG = 60 .又因為Z AOF = Z FOE = Z EOD = 60,于是可得Z AOM = Z FOG = Z EON . 于是可得厶AOM FOG EON .所以 OM = OG = ON.所以 MOG與厶NOG是兩個全等的等邊三角形.所以四邊形 OMGN的四條邊都相等，四邊形 OMGN是菱形.考點伸展在本題情景下，菱形 OMGN的面積的最大值和最小值各是多少？因為 MOG與厶NOG是全等的等邊三角形，所以 OG最大時菱形的面積最大，OG最小時菱形的面積最小.OG的最大值等于 OA,此時正三角形的邊長為 a，菱形的最大面積為 -a2.2OG

10、與EF垂直時最小，此時正三角形的邊長為3a ,菱形的最小面積為 色a2 .2 8例3 2018年上海市黃浦區(qū)中考模擬第24題已知二次函數 y= x2+ bx+ c的圖像經過點 P(0, 1)與Q(2, 3).(1) 求此二次函數的解析式；(2) 若點A是第一象限內該二次函數圖像上一點，過點A作x軸的平行線交二次函數 圖像于點B，分別過點B、A作x軸的垂線，垂足分別為 C、D，且所得四邊形 ABCD恰為 正方形. 求正方形的ABCD的面積； 聯(lián)結PA、PD, PD交AB于點E，求證： PADPEA.動感體驗請打開幾何畫板文件名“ 13黃浦24”，拖動點A在第一象限內的拋物線上運動，可以 體驗到，

11、/ PAE與/ PDA總保持相等， PAD與厶PEA保持相似.請打開超級畫板文件名“ 13黃浦24”，拖動點A在第一象限內的拋物線上運動，可以 體驗到，/ PAE與/ PDA總保持相等， PAD與厶PEA保持相似.思路點撥1數形結合，用拋物線的解析式表示點A的坐標，用點 A的坐標表示AD、AB的長，當四邊形 ABCD是正方形時，AD = AB.2. 通過計算/ PAE與/ DPO的正切值，得到/ PAE = Z DPO =Z PDA ,從而證明厶PAD PEA.滿分解答(1)將點c =1,P(0, 1)、Q(2, 3)分別代入 y= x2+ bx+ c,得 解得b=0,以 2b 1 二-3.C=1.所以該二次函數的解析式為y= x2+ 1.(2)如圖1,設點A的坐標為(x, x2 + 1),當四邊形ABCD恰為正方形時，AD = AB.此時 yA= 2xA.解方程x2 + 1 = 2x,得 x - -1 _ 2 .所以點A的橫坐標為.2-1.因此正方形 ABCD的面積等于2( 2 -1)2 =12 _8 2 .設 OP 與 AB 交于點 F，那么 PF =OP -OF =1 - 2( & -1) =3-= ( 2 - 1)2 .所以 tanNPAE =)=近 _1 .AF 血1又因為 tan PDA 二 tan DPO = 2 -1 ,OP