數(shù)學(xué) 外文翻譯 外文文獻(xiàn) 英文文獻(xiàn) 具體數(shù)學(xué)

CONCRETEMATHEMATICSRLGRAHAM,DEKNUTH,OPATASHNIKCONCRETEMATHEMATICS，13THEJOSEPHUSPROBLEMRLGRAHAM,DEKNUTH,OPATASHNIKSIXTHPRINTING,PRINTEDINTHEUNITEDSTATESOFAMERICA1989BYADDISONWESLEYPUBLISHINGCOMPANY，REFERENCE14PAGES具體數(shù)學(xué)RL格雷厄姆，DE克努特，O帕塔希尼克具體數(shù)學(xué)，13，約瑟夫環(huán)問題RL格雷厄姆，DE克努特，O帕塔希尼克第一版第六次印刷于美國，韋斯利出版公司，1989年，引用816頁1遞歸問題本章研究三個(gè)樣本問題。這三個(gè)樣本問題給出了遞歸問題的感性知識。它們有兩個(gè)共同的特點(diǎn)它們都是數(shù)學(xué)家們一直反復(fù)地研究的問題；它們的解都用了遞歸的概念，按遞歸概念，每個(gè)問題的解都依賴于相同問題的若干較小場合的解。2約瑟夫環(huán)問題我們最后一個(gè)例子是一個(gè)以FLAVIUSJOSEPHUS命名的古老的問題的變形，他是第一世紀(jì)一個(gè)著名的歷史學(xué)家。據(jù)傳說，如果沒有JOSEPHUS的數(shù)學(xué)天賦，他就不可能活下來而成為著名的學(xué)者。在猶太|羅馬戰(zhàn)爭中，他是被羅馬人困在一個(gè)山洞中的41個(gè)猶太叛軍之一，這些叛軍寧死不屈，決定在羅馬人俘虜他們之前自殺，他們站成一個(gè)圈，從一開始，依次殺掉編號是三的倍數(shù)的人，直到一個(gè)人也不剩。但是在這些叛軍中的JOSEPHUS和他沒有被告發(fā)的同伴覺得這么做毫無意義，所以他快速的計(jì)算出他和他的朋友應(yīng)該站在這個(gè)惡毒的圓圈的哪個(gè)位置。在我們的變形了的問題中，我們以N個(gè)人開始，從1到N編號圍成一個(gè)圈，我們每次消滅第二個(gè)人直到只剩下一個(gè)人。例如，這里我們以設(shè)N10做開始。這時(shí)的消滅順序是2,4,6,8,10,3,7,1,9。所以編號是5的人活下來了。這個(gè)問題就是定位最后活下來的人的數(shù)字JN。我們剛剛看到的是J105的情況。我們可能會(huì)推測當(dāng)N是偶數(shù)的時(shí)候JNN2；而且當(dāng)N2的時(shí)候結(jié)論驗(yàn)證了假設(shè)J21。但是其他一些數(shù)字比較小的情況告訴我們|當(dāng)N4和N6的時(shí)候這個(gè)假設(shè)錯(cuò)誤了。于是我們回到了起點(diǎn)；讓我們試著來個(gè)更好的猜測。呃，JN看起來總是奇數(shù)。而且事實(shí)上，這個(gè)現(xiàn)象的原因是圍成的圓圈的第一輪消滅了所有的編號是偶數(shù)的人。之后我們又回到了與我們開始的時(shí)候類似的情形，除了人數(shù)只有原來一半的人，而且他們的編號改變了。所以，讓我們假設(shè)最開始有2N個(gè)人，在第一輪結(jié)束后，我們剩下而且3將是下一個(gè)出局的。這個(gè)就像是以N個(gè)人開始的情況，除了每個(gè)人的編號變?yōu)閮杀稖p一。那就是，J2N2JN1當(dāng)N1我們現(xiàn)在可以快速的計(jì)算一下當(dāng)N比較大的時(shí)候的值。例如，我們知道J105，所以J202J1012519同樣可知J4017，進(jìn)一步我們可以推算出J52M2M11但是，奇數(shù)的情況呢當(dāng)有2N1個(gè)人的時(shí)候，編號是1的人會(huì)在第2N個(gè)人出局后緊接著出局，然后，我們剩下我們再次獲得了形如N個(gè)人的情況，但是這次他們的編號是兩倍加一。所以J2N12JN1當(dāng)N1與等式J11組合，我們得到一個(gè)定義了J的所有取值的遞推式J11J2N2JN1當(dāng)N1J2N12JN1當(dāng)N1這個(gè)公式不是從JN1計(jì)算JN，這個(gè)遞歸式更加的“高效”，因?yàn)樗?為因子使N遞減了一半或更多。我們可以計(jì)算J1000000，如上所示，我們只要應(yīng)用19次1式。但是，我們依舊要尋找一個(gè)閉合形式的公式，因?yàn)槟菢訒?huì)更加快速和更有意義?？傊?，這是非常重要的事情。用我們的遞歸式，我們可以很快地建造一張較小取值的表?？赡芪覀兛梢酝ㄟ^這張表看出模式并猜出結(jié)果。瞧看起來我們可以以2的冪分組通過表中的豎線；在每組的開始，JN總是1，而且在一組內(nèi)以2遞增。所以，如果我們把N寫成形如N2MJ的公式，當(dāng)2M是不超過N的2的最大次冪，且L是剩余的數(shù)。這樣我們的遞歸式的解法看起來是J2ML2L1當(dāng)M0且0L0且2ML2N那么L是偶數(shù)。且通過1式和歸納法假設(shè)可得J2ML2J2M1L/2122L/2112L1這個(gè)就是我們想要的。奇數(shù)的情況證明方法類似，當(dāng)2ML2L1。我們可能也注意到式子1還表達(dá)了這樣一個(gè)關(guān)系J2N1J2N2總之，這個(gè)數(shù)學(xué)歸納法證明完畢，且2式被證明了。為了展示解法2式，讓我們來計(jì)算一下J100。在這個(gè)例子中，我們有1002636，所以J100236173現(xiàn)在，我們解決了艱難的部分解決問題。我們再說點(diǎn)輕松的每解決一個(gè)問題都可以泛化，使得可以應(yīng)用一大類問題。當(dāng)我們已經(jīng)掌握一項(xiàng)技巧，完整的研究它，看看借助它我們可以走多遠(yuǎn)是非常值得的。所以，在這節(jié)的余下部分，我們將會(huì)研究我們的解法2式以及研究遞歸式1的一些擴(kuò)展。這些研究將會(huì)展示出所有這樣問題的結(jié)構(gòu)和基礎(chǔ)。在我們尋找解法的時(shí)候，2的冪起到了重要的作用，所以很自然的，我們想用2的基數(shù)表示N和JN。假設(shè)N的二進(jìn)制表達(dá)式是NBMBM1B1B02也就是NBM2MBM12M1B12B0每個(gè)BI取值是0或1，且最高位BM是1回想一下N2ML我們先后得到如下表達(dá)式，N1BM1BM2B1B02L0BM1BM2B1B022LBM1BM2B1B022L1BM1BM2B1B012JNBM1BM2B1B0M2最后一個(gè)式子是因?yàn)镴N2L1以及BM2L1以及BM1。我們已經(jīng)證明JBM1BM2B1B02BM1BM2B1B0M23這樣，用計(jì)算機(jī)編程的專業(yè)術(shù)語解釋就是我們從N計(jì)算JN只需要做一位循環(huán)左移多么神奇。例如，如果N10011001002,那么JNJ1100100210010012,也就是648173。如果我們從一開始就一直用二進(jìn)制方法研究，我們可能會(huì)立即就發(fā)現(xiàn)這個(gè)模式。如果我們以N個(gè)人開始，迭代J函數(shù)M1次，計(jì)算機(jī)將會(huì)作M1次的一位循環(huán)左移；所以當(dāng)N是一個(gè)M1位的數(shù)字，我們可能希望最后又得到N。但是實(shí)際上不是。舉個(gè)例子，當(dāng)N13，我們有J1101210112,但是之后J101121112,這時(shí)處理過程中斷了；當(dāng)0出現(xiàn)在首位的時(shí)候會(huì)被忽略。事實(shí)上，根據(jù)定義，JN必須總是N,因?yàn)镴N是存活著的人的編號；所以如果JN0AND2ML2N,THENLISEVENANDJ2ML2J2M1L/2122L/2112L1BY1ANDTHEINDUCTIONHYPOTHESISTHISISEXACTLYWHATWEWANTASIMILARPROOFWORKSINTHEODDCASE,WHEN2ML2L1。WEMIGHTALSONOTETHAT1IMPLIESTHERELATIONJ2N1J2N2EITHERWAY,THEINDUCTIONISCOMPLETEAND2ISESTABLISHEDTOILLUSTRATESOLUTION19,LETSCOMPUTEJ100INTHISCASEWEHAVE1002636,SOJ100236173NOWTHATWEVEDONETHEHARDSTUFFSOLVEDTHEPROBLEMWESEEKTHESOFTEVERYSOLUTIONTOAPROBLEMCANBEGENERALIZEDSOTHATITAPPLIESTOAWIDERCLASSOFPROBLEMSONCEWEVELEARNEDATECHNIQUE,ITSINSTRUCTIVETOLOOKATITCLOSELYANDSEEHOWFARWECANGOWITHITHENCE,FORTHERESTOFTHISSECTION,WEWILLEXAMINETHESOLUTION2ANDEXPLORESOMEGENERALIZATIONSOFTHERECURRENCE1THESEEXPLORATIONSWILLUNCOVERTHESTRUCTURETHATUNDERLIESALLSUCHPROBLEMSPOWERSOF2PLAYEDANIMPORTANTROLEINOURFINDINGTHESOLUTION,SOITSNATURALTOLOOKATTHERADIX2REPRESENTATIONSOFNANDJNSUPPOSENSBINARYEXPANSIONISNBMBM1B1B02THATIS,NBM2MBM12M1B12B0WHEREEACHBIISEITHER0OR1ANDWHERETHELEADINGBITBMIS1RECALLINGTHATN2ML,WEHAVE,SUCCESSIVELY,N1BM1BM2B1B02L0BM1BM2B1B022LBM1BM2B1B022L1BM1BM2B1B012JNBM1BM2B1B0M2THELASTSTEPFOLLOWSBECAUSEJN2L1ANDBECAUSEBM2L1ANDBM1。WEHAVEPROVEDTHATJBM1BM2B1B02BM1BM2B1B0M23THATIS,INTHELINGOOFCOMPUTERPROGRAMMING,WEGETJNFROMNBYDOINGAONEBITCYCLICSHIFTLEFTMAGICFOREXAMPLE,IFN10011001002THENJNJ1100100210010012,WHICHIS648173IFWEHADBEENWORKINGALLALONGINBINARYNOTATION,WEPROBABLYWOULDHAVESPOTTEDTHISPATTERNIMMEDIATELYIFWESTARTWITHNANDITERATETHEJFUNCTIONM1TIMES,WEREDOINGM1ONEBITCYCLICSHIFTSSO,SINCENISANM1BITNUMBER,WEMIGHTEXPECTTOENDUPWITHNAGAINBUTTHISDOESNTQUITEWORKFORINSTANCEIFN13WEHAVEJ1101210112,BUTTHENJ101121112,ANDTHEPROCESSBREAKSDOWNTHE0DISAPPEARSWHENITBECOMESTHELEADINGBITINFACT,JNMUSTALWAYSBEN,BYDENITION,SINCEJNISTHESURVIVORSNUMBERHENCEIFJNNWECANNEVERGETBACKUPTONBYCONTINUINGTOITERATEREPEATEDAPPLICATIONOFJPRODUCESASEQUENCEOFDECREASINGVALUESTHATEVENTUALLYREACHA“FIXEDPOINT,“WHEREJNNTHECYCLICSHIFTPROPERTYMAKESITEASYTOSEEWHATTHATFIXEDPOINTWILLBEITERATINGTHEFUNCTIONENOUGHTIMESWILLALWAYSPRODUCEAPATTERNOFALL1SWHOSEVALUEIS2VN1WHEREVNISTHENUMBEROF1BITSINTHEBINARYREPRESENTATIONOFNTHUS,SINCEV133，WEHAVE2ORMOREJJJJ132317SIMILARLY8ORMOREJJJ101101101101011221011023CURIOUS,BUTTRUELETSRETURNBRIEFLYTOOURRSTGUESS,THATJNN/2WHENNISEVENTHISISOBVIOUSLYNOTTRUEINGENERAL,BUTWECANNOWDETERMINEEXACTLYWHENITISTRUEJNN22L12ML/2L1/32M2IFTHISNUMBERL1/32M2ISANINTEGER,THENN2MLWILLBEASOLUTION,BECAUSELWILLBELESSTHAN2MITSNOTHARDTOVERIFYTHAT2M2ISAMULTIPLEOF3WHENMISODD,BUTNOTWHENMISEVENWEWILLSTUDYSUCHTHINGSINCHAPTER4THEREFORETHEREAREINNITELYMANYSOLUTIONSTOTHEEQUATIONJNN/2BEGINNINGASFOLLOWSNOTICETHEPATTERNINTHERIGHTMOSTCOLUMNTHESEARETHEBINARYNUMBERSFORWHICHCYCLICSHIFTINGONEPLACELEFTPRODUCESTHESAMERESULTASORDINARYSHIFTINGONEPLACERIGHTHALVINGOK,WEUNDERSTANDTHEJFUNCTIONPRETTYWELLTHENEXTSTEPISTOGENERALIZEITWHATWOULDHAVEHAPPENEDIFOURPROBLEMHADPRODUCEDARECURRENCETHATWASSOMETHINGLIKE1,BUTWITHDIFERENTCONSTANTSTHENWEMIGHTNOTHAVEBEENLUCKYENOUGHTOGUESSTHESOLUTION,BECAUSETHESOLUTIONMIGHTHAVEBEENREALLYWEIRDLETSINVESTIGATETHISBYINTRODUCINGCONSTANTS，ANDANDTRYINGTONDACLOSEDFORMFORTHEMOREGENERALRECURRENCEF1F2N2FN,FORN1（4）F2N12FN,FORN1OURORIGINALRECURRENCEHAD1，1AND1。STARTINGWITHF1ANDWORKINGOURWAYUP,WECANCONSTRUCTTHEFOLLOWINGGENERALTABLEFORSMALLVALUESOFNITSEEMSTHATSCOECIENTISNSLARGESTPOWEROF2FURTHERMORE,BETWEENPOWERSOF2,SCOECIENTDECREASESBY1DOWNTO0ANDSINCREASESBY1UPFROM0THEREFOREIFWEEXPRESSFNINTHEFORMFNANBNCN,（6）BYSEPARATINGOUTITSDEPENDENCEON，AND,ITSEEMSTHATAN2MBN2M1LCNL（7）HERE,ASUSUAL,N2MLAND0L2M，F(xiàn)ORN1。ITSNOTTERRIBLYHARDTOPROVE113AND114BYINDUCTION,BUTTHECALCULATIONSAREMESSYANDUNINFORMATIVEFORTUNATELYTHERESABETTERWAYTOPROCEED,BYCHOOSINGPARTICULARVALUESANDTHENCOMBININGTHEMLETSILLUSTRATETHISBYCONSIDERINGTHESPECIALCASE1，0WHENFNISSUPPOSEDTOBEEQUALTOANRECURRENCE111BECOMESA11A2N2AN；FORN1A2N12AN；FORN1SUREENOUGH,ITSTRUEBYINDUCTIONONMTHAT,A2ML2MNEXT,LETSUSERECURRENCE111ANDSOLUTION113INREVERSE,BYSTARTINGWITHASIMPLEFUNCTIONFNANDSEEINGIFTHEREAREANYCONSTANTS,THATWILLDENEITPLUGGINGTHECONSTANTFUNCTIONFN1INTO111SAYSTHATANEATIDEA1221321HENCETHEVALUES,1,1,1SATISFYINGTHESEEQUATIONSWILLYIELDANBNCNFN1。SIMILARLY,WECANPLUGINFNN12N2N2N12NTHESEEQUATIONSHOLDFORALLNWHEN1，2AND1,SOWEDONTNEEDTOPROVEBYINDUCTIONTHATTHESEPARAMETERSWILLYIELDFNNWEALREADYKNOWTHATFNNWILLBETHESOLUTIONINSUCHACASE,BECAUSETHERECURRENCE111UNIQUELYDENESFNFOREVERYVALUEOFNANDNOWWEREESSENTIALLYDONEWEHAVESHOWNTHATTHEFUNCTIONSAN,BN,ANDCNOF113,WHICHSOLVE111INGENERAL,SATISFYTHEEQUATIONSAN2M,ORN2MLAND0L2MANBNCN1ANCNNOURCONJECTURESIN114FOLLOWIMMEDIATELY,SINCEWECANSOLVETHESEEQUATIONSTOGETCNNANLANDBNAN1CN2M1L。THISAPPROACHILLUSTRATESASURPRISINGLYUSEFULREPERTOIREMETHODFORSOLVINGRECURRENCESFIRSTWENDSETTINGSOFGENERALPARAMETERSFORWHICHWEKNOWTHESOLUTIONTHISGIVESUSAREPERTOIREOFSPECIALCASESTHATWECANSOLVETHENWEOBTAINTHEGENERALCASEBYCOMBININGTHESPECIALCASESWENEEDASMANYINDEPENDENTSPECIALSOLUTIONSASTHEREAREINDEPENDENTPARAMETERSINTHISCASETHREE,FOR，ANDEXERCISES16AND20PROVIDEFURTHEREXAMPLESOFTHEREPERTOIREAPPROACHWEKNOWTHATTHEORIGINALJRECURRENCEHASAMAGICALSOLUTION,INBINARYJBMBM1B1B02BM1B1B0BM2,WHENBM1DOESTHEGENERALIZEDJOSEPHUSRECURRENCEADMITOFSUCHMAGICSURE,WHYNOTWECANREWRITETHEGENERALIZEDRECURRENCE111ASF1F2NJ2FNJ,FORJ0,1ANDN1,（8）IFWELET0AND1。ANDTHISRECURRENCEUNFOLDS,BINARYWISEFBMBM1B1B022FBMBM1B12B04FBMBM1B222B1B12MFBM22M1BM1B02M2M1BM1B0SUPPOSEWENOWRELAXTHERADIX2NOTATIONTOALLOWARBITRARYDIGITSINSTEADOFJUST0AND1THEDERIVATIONABOVETELLSUSTHATFBMBM1B1B02BM1BM2B1B02（9）NICEWEWOULDHAVESEENTHISPATTERNEARLIERIFWEHADWRITTEN112INANOTHERWAYFOREXAMPLE,WHENN10011001002OURORIGINALJOSEPHUSVA