奧本海姆_信號與系統(tǒng)

第1章信號與系統(tǒng)SIGNALSANDSYSTEMSSIGNALSANDSYSTEMSV信號的描述V信號的自變量變換V基本信號V系統(tǒng)及其數(shù)學(xué)模型V系統(tǒng)的性質(zhì)本章的基本內(nèi)容10引言INTRODUCTION討論信號與系統(tǒng)的基本概念，建立其相應(yīng)的數(shù)學(xué)描述方法，以便利用這種數(shù)學(xué)描述及其表示方法，建立一套信號與系統(tǒng)的分析體系。目的11連續(xù)時(shí)間與離散時(shí)間信號（CONTINUOUSTIMEANDDISCRETETIMESIGNALS）一信號信號可以描述范圍極其廣泛的物理現(xiàn)象。信號可以分為確知信號與隨機(jī)信號，也可以分為連續(xù)時(shí)間信號與離散時(shí)間信號。確知信號可以表示成一個(gè)或幾個(gè)自變量的函數(shù)。作為信號分析的基礎(chǔ)，本課程只研究確知信號。連續(xù)時(shí)間信號的例子離散時(shí)間信號的例子信號的描述離散時(shí)間信號人口年份190019301930196019602000人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)連續(xù)時(shí)間信號連續(xù)時(shí)間信號在離散時(shí)刻點(diǎn)上的樣本可以構(gòu)成一個(gè)離散時(shí)間信號。二信號的能量與功率連續(xù)時(shí)間信號在區(qū)間的平均功率定義為連續(xù)時(shí)間信號在區(qū)間的能量定義為離散時(shí)間信號在區(qū)間的能量定義為離散時(shí)間信號在區(qū)間的平均功率為在無限區(qū)間上也可以定義信號的總能量連續(xù)時(shí)間情況下離散時(shí)間情況下在無限區(qū)間內(nèi)的平均功率可定義為1能量信號信號具有有限的總能量，即三類重要信號2功率信號信號有無限的總能量，但平均功率有限。即3信號的總能量和平均功率都是無限的。即如果信號是周期信號，則三周期信號與非周期信號或連續(xù)時(shí)間周期信號離散時(shí)間周期信號（以T為周期）或（以N為周期）或如果信號是非周期的，且能量有限則稱為能量信號。這種信號也稱為功率信號，通常用它的平均功率來表征。12自變量變換（TRANSFORMATIONSOFTHEINDEPENDENTVARIABLE一由于信號可視為自變量的函數(shù)，當(dāng)自變量改變時(shí)，必然會使信號的特性相應(yīng)地改變。當(dāng)時(shí)，信號向右平移時(shí)，信號向左平移當(dāng)時(shí)，信號向右平移時(shí)，信號向左平移1時(shí)移變換SHIFTOFSIGNALS2反轉(zhuǎn)變換REFLECTIONOFSIGNALS信號以為軸呈鏡像對稱。與連續(xù)時(shí)間的情況相同。3尺度變換SCALING時(shí),是將在時(shí)間上壓縮A倍，時(shí),是將在時(shí)間上擴(kuò)展1/A倍。實(shí)例照片放大。由于離散時(shí)間信號的自變量只能取整數(shù)值，因而尺度變換只對連續(xù)時(shí)間信號而言。01234562112322220123例如顯然是從中依次抽出自變量取偶數(shù)時(shí)的各點(diǎn)而構(gòu)成的。這一過程稱為對信號的抽取（DECIMATION）。綜合示例由011011/23/2011/21/6做法一做法二做法三011011/3011/61/2101011/67/6011/61/2可視為周期信號，但它的基波周期沒有確定的定義。二周期信號與非周期信號周期信號滿足此關(guān)系的正實(shí)數(shù)（正整數(shù)）中最小的一個(gè)，稱為信號的基波周期（）?？梢砸暈橹芷谛盘?，其基波周期。如果有則稱該信號是偶信號。（鏡像偶對稱）三奇信號與偶信號ODDSIGNALSANDEVENSIGNALS對實(shí)信號而言非周期信號周期信號如果有則稱該信號為奇信號（鏡像奇對稱）如果有則稱該信號為共軛偶信號。如果有則稱為共軛奇信號。對復(fù)信號而言任何信號都能分解成一個(gè)偶信號與一個(gè)奇信號之和。對實(shí)信號有其中其中對復(fù)信號有其中其中012121222101111例1例2信號的奇偶分解13復(fù)指數(shù)信號與正弦信號（EXPONENTIALANDSINUSOIDALSIGNALS）一連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)信號與正弦信號其中C,A為復(fù)數(shù)1實(shí)指數(shù)信號C，A為實(shí)數(shù)呈單調(diào)指數(shù)上升。呈單調(diào)指數(shù)下降。是常數(shù)。2周期性復(fù)指數(shù)信號與正弦信號，不失一般性取實(shí)部與虛部都是正弦信號。顯然是周期的，其基波周期為0一般情況下其基波周期為,基波頻率為，當(dāng)時(shí)通常稱為直流信號。對而言，它在一個(gè)周期內(nèi)的能量是它的平均功率為3成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集當(dāng)K取任何整數(shù)時(shí)，該信號集中的每個(gè)信號都是彼此獨(dú)立的。只有該信號集中的所有信號才能構(gòu)成一個(gè)完備的正交函數(shù)集。該信號集中的每個(gè)信號都是周期的，它們的頻率分別為，都是的整數(shù)倍，因而稱它們是成諧波關(guān)系的。信號集中信號的基波頻率為，基波周期為，各次諧波的周期分別為，它們的公共周期是。4一般復(fù)指數(shù)信號其中C,A為復(fù)數(shù)令則該信號可看成是振幅按實(shí)指數(shù)信號規(guī)律變化的周期性復(fù)指數(shù)信號。它的實(shí)部與虛部都是振幅呈實(shí)指數(shù)規(guī)律變化的正弦振蕩。當(dāng)時(shí)，是指數(shù)增長的正弦振蕩。時(shí)，是指數(shù)衰減的正弦振蕩。時(shí)，是等幅的正弦振蕩。當(dāng)時(shí)，呈單調(diào)指數(shù)增長時(shí)，呈單調(diào)指數(shù)衰減時(shí)，呈擺動(dòng)指數(shù)衰減時(shí)，呈擺動(dòng)指數(shù)增長二離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號與正弦信號一般為復(fù)數(shù)1實(shí)指數(shù)信號均為實(shí)數(shù)2正弦信號其中為實(shí)數(shù)。離散時(shí)間正弦信號不一定是周期的，這是與連續(xù)時(shí)間正弦信號的重大區(qū)別。離散時(shí)間信號的頻率表示為，其量綱是弧度。3一般復(fù)指數(shù)信號令則其實(shí)部與虛部都是幅度按實(shí)指數(shù)規(guī)律變化的正弦序列。當(dāng)時(shí)幅度呈指數(shù)增長，時(shí)幅度呈指數(shù)衰減。離散時(shí)間復(fù)指數(shù)序列不一定是周期性的，要具有周期性，必須具備一定條件。即于是有三離散時(shí)間復(fù)指數(shù)序列的周期性設(shè)則有表明只有在與的比值是一個(gè)有理數(shù)時(shí)，才具有周期性。對，當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的信號振蕩頻率越來越高不會發(fā)生逆轉(zhuǎn)。而對，當(dāng)時(shí)，只要是變化的范圍，如，則由于，總是會有。這表明當(dāng)變化時(shí)，并非所有的都是互相獨(dú)立的。離散時(shí)間信號的有效頻率范圍只有區(qū)間。其中，處都對應(yīng)最低頻率；或處都對應(yīng)最高頻率。在滿足周期性要求的情況下，總能找到互為質(zhì)數(shù)的兩個(gè)正整數(shù)M,N使得（M與N無公因子）此時(shí)即為該信號的周期,也稱為基波周期,因此該信號的基波頻率為。離散時(shí)間周期性復(fù)指數(shù)信號也可以構(gòu)成一個(gè)成諧波關(guān)系的信號集。該信號集中的每一個(gè)信號都是以N為周期的,N是它們的基波周期。稱為直流分量，稱為基波分量。稱為二次諧波分量等等。每個(gè)諧波分量的頻率都是的整數(shù)倍。特別值得指出的是該信號集中的所有信號并不是全部獨(dú)立的。這表明該信號集中只有N個(gè)信號是獨(dú)立的。即當(dāng)K取相連的N個(gè)整數(shù)時(shí)所對應(yīng)的各個(gè)諧波才是彼此獨(dú)立的。因此，由N個(gè)獨(dú)立的諧波分量就能構(gòu)成一個(gè)完備的正交函數(shù)集。顯然有這是與連續(xù)時(shí)間的情況有重大區(qū)別的。信號和的比較V不同，信號不同V對任何信號都是周期的V基波頻率V基波周期T0頻差的整數(shù)倍時(shí)，信號相同僅當(dāng)時(shí)，信號是周期的基波頻率基波周期N一離散時(shí)間單位脈沖與單位階躍1單位脈沖序列14單位沖激與單位階躍（THEUNITIMPULSEANDUNITSTEPFUNCTIONS）定義102單位階躍序列，定義，與之間的關(guān)系一次差分10具有提取信號中某一點(diǎn)的樣值的作用。11單位階躍，102單位沖激定義定義的不嚴(yán)密性，由于在不連續(xù)，因而在該處不可導(dǎo)。二連續(xù)時(shí)間單位階躍與單位沖激定義定義如圖所示10可認(rèn)為0即可視為一個(gè)面積始終為1的矩形，當(dāng)其寬度趨于零時(shí)的極限。顯然當(dāng)時(shí)表示為1001矩形面積稱為沖激強(qiáng)度。顯然有0也具有提取連續(xù)時(shí)間信號樣本的作用。用階躍表示矩形脈沖GT0TG1T0T0T輸入信號與輸出響應(yīng)都是連續(xù)時(shí)間信號的系統(tǒng)。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)15連續(xù)時(shí)間與離散時(shí)間系統(tǒng)一系統(tǒng)（CONTINUOUSTIMEANDDISCRETETIMESYSTEMS）連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)系統(tǒng)是非常廣泛的概念。通常將若干相互依賴，相互作用的事物所組成的具有一定功能的整體稱為系統(tǒng)。它可以是物理系統(tǒng)，也可以是非物理系統(tǒng)。系統(tǒng)分析的基本思想1根據(jù)工程實(shí)際應(yīng)用，對系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型。通常表現(xiàn)為描述輸入輸出關(guān)系的方程。2建立求解這些數(shù)學(xué)模型的方法。離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)輸入信號與輸出響應(yīng)都是離散時(shí)間信號的系統(tǒng)。本課程所研究的對象LTI（LINEARTIMEINVARIANTSYSTEMS）系統(tǒng)就是這樣的一類系統(tǒng)。（2）很多工程實(shí)際中的系統(tǒng)都能夠利用這類系統(tǒng)的方法建模（即具有普遍性）。為此要求所研究的系統(tǒng)具有以下兩點(diǎn)重要特性（1）這一類系統(tǒng)應(yīng)該具有一些性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，通過它們能夠?qū)ο到y(tǒng)的行為作出透徹的描述，并能對這一類系統(tǒng)建立有效的分析方法（即可行性）?？梢酝ㄟ^對簡單系統(tǒng)（子系統(tǒng)）的分析并通過子系統(tǒng)互聯(lián)而達(dá)到分析復(fù)雜系統(tǒng)的目的。也可以通過將若干個(gè)簡單子系統(tǒng)互聯(lián)起來而實(shí)現(xiàn)一個(gè)相對復(fù)雜的系統(tǒng)。這一思想對系統(tǒng)分析和系統(tǒng)綜合都是十分重要的。二系統(tǒng)的互聯(lián)（INTERCONNECTIONOFSYSTEMS）現(xiàn)實(shí)中的系統(tǒng)是各式各樣的，其復(fù)雜程度也大相徑庭。但許多系統(tǒng)都可以分解為若干個(gè)簡單系統(tǒng)的組合。2并聯(lián)PARALLELINTERCONNECTION1級聯(lián)CASCADEINTERCONNECTION3反饋聯(lián)結(jié)FEEDBACKINTERCONNECTION工程實(shí)際中也經(jīng)常將級聯(lián)、并聯(lián)混合使用，如在任何時(shí)刻，系統(tǒng)的輸出都只與當(dāng)前時(shí)刻的輸入有關(guān)，而與該時(shí)刻以外的輸入無關(guān)，則稱該系統(tǒng)是無記憶系統(tǒng)。否則就是記憶系統(tǒng)，即（MEMORYSYSTEMS或SYSTEMSWITHMEMORY。如果一個(gè)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)不僅與當(dāng)時(shí)的輸入有關(guān),而且與該時(shí)刻以外的其它時(shí)刻的輸入有關(guān)，則系統(tǒng)是記憶的。16系統(tǒng)的基本性質(zhì)BASICSYSTEMPROPERTIES1記憶系統(tǒng)與無記憶系統(tǒng)MEMORYSYSTEMSANDMEMORYLESSSYSTEMS例如（電容）RC、RLC電路（累加器）（差分器）等都是記憶系統(tǒng)在無記憶系統(tǒng)中有一種特例，即任何時(shí)刻系統(tǒng)的輸出響應(yīng)與輸入信號都相同，即有,或這樣的無記憶系統(tǒng)稱為恒等系統(tǒng)IDENTITYSYSTEM。2可逆性與逆系統(tǒng)INVERITIBILITYANDINVERSESYSTEMS如果一個(gè)系統(tǒng)對任何不同的輸入都能產(chǎn)生不同的輸出，即輸入與輸出是一一對應(yīng)的，則稱該系統(tǒng)是可逆系統(tǒng)INVERTIBLESYSTEMS。如果一個(gè)系統(tǒng)對兩個(gè)或兩個(gè)以上不同的輸入信號能產(chǎn)生相同的輸出，則系統(tǒng)是不可逆的，稱為不可逆系統(tǒng)NONINVERTIBLESYSTEMS。如果一個(gè)可逆系統(tǒng)與另一個(gè)系統(tǒng)級聯(lián)后構(gòu)成一個(gè)恒等系統(tǒng)，則稱后者是前者的逆系統(tǒng)INVERSESYSTEM。例如是可逆系統(tǒng)，其逆系統(tǒng)是是可逆系統(tǒng)，其逆系統(tǒng)是還原為。輸入時(shí),；輸入時(shí),。是不可逆系統(tǒng)，因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的也是不可逆的，因?yàn)槭遣豢赡嫦到y(tǒng)，因?yàn)闊o法從不可逆；也是不可逆系統(tǒng)。調(diào)制或編碼過程必須是可逆的，其逆系統(tǒng)是解調(diào)器或解碼器。而輸入和能產(chǎn)生相同的輸出。如果一個(gè)系統(tǒng)在任何時(shí)刻的輸出都只與當(dāng)時(shí)這個(gè)時(shí)刻的輸入以及該時(shí)刻以前的輸入有關(guān)，而和該時(shí)刻以后的輸入無關(guān)就稱該系統(tǒng)是因果的CAUSALSYSTEM。否則就是非因果的NONCAUSALSYSTEM。3因果性CAUSALITY一般說來，非因果系統(tǒng)是物理不可實(shí)現(xiàn)的。這體現(xiàn)了因果性對系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的重要性。但對非實(shí)時(shí)處理信號的離散時(shí)間系統(tǒng)，或信號的自變量并不具有時(shí)間概念的情況，因果性并不一定成為系統(tǒng)能否物理實(shí)現(xiàn)的先決條件。例如在圖像處理中,自變量是圖像中各點(diǎn)的坐標(biāo)位置，而并非代表時(shí)間。對某些數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)，如股市分析、經(jīng)濟(jì)預(yù)測等,實(shí)際上是以足夠的延時(shí)來換取非因果性的實(shí)現(xiàn)。時(shí)決定于以后時(shí)刻的輸入。是非因果系統(tǒng)。RLC電路,都是因果系統(tǒng)。4穩(wěn)定性STABILITY如果一個(gè)系統(tǒng)當(dāng)輸入有界時(shí)，產(chǎn)生的輸出也是有界的，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)STABLESYSTEM。否則，就是不穩(wěn)定系統(tǒng)UNSTABLESYSTEM。例如單擺、RC電路都是穩(wěn)定系統(tǒng)；也是穩(wěn)定系統(tǒng)。都是不穩(wěn)定系統(tǒng)。如果一個(gè)系統(tǒng)當(dāng)輸入信號有一個(gè)時(shí)移時(shí)，輸出響應(yīng)也產(chǎn)生同樣的時(shí)移。除此之外，輸出響應(yīng)無任何其它變化，則稱該系統(tǒng)是時(shí)不變的TIMEINVARIANTSYSTEM。否則就是時(shí)變的TIMEVARYING。工程實(shí)際中總希望所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因此穩(wěn)定性對系統(tǒng)來說是非常重要的。5時(shí)不變性TIMEINVARIANCE即若則系統(tǒng)是時(shí)不變的。檢驗(yàn)一個(gè)系統(tǒng)時(shí)不變性的步驟1令輸入為，根據(jù)系統(tǒng)的描述，確定此時(shí)的輸出。2將輸入信號變?yōu)椋俑鶕?jù)系統(tǒng)的描述確定輸出。3令根據(jù)自變量變換，檢驗(yàn)是否等于。如當(dāng)時(shí)，時(shí)，由于系統(tǒng)是時(shí)變的。當(dāng)令則有又如該系統(tǒng)是時(shí)變的。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，令則有而6線性（LINEARITY）其中A,B是常數(shù)滿足此關(guān)系的系統(tǒng)是線性的。若例如,滿足可加性，但不滿足齊次性。當(dāng)時(shí)其實(shí)部變?yōu)樘摬?，虛部變?yōu)閷?shí)部。滿足齊次性但不滿足可加性。因?yàn)?，若輸入為則如果一個(gè)系統(tǒng)是線性的，當(dāng)我們能夠把輸入信號分解成若干個(gè)簡單信號的線性組合時(shí)，只要能得到該系統(tǒng)對每一個(gè)簡單信號所產(chǎn)生的響應(yīng)，就可以很方便的根據(jù)線性特性，通過線性組合而得到系統(tǒng)對的輸出響應(yīng)。即若，且則這一思想是信號與系統(tǒng)分析理論和方法建立的基礎(chǔ)。在工程實(shí)際中，有一類系統(tǒng)并不滿足線性系統(tǒng)的要求。但是這類系統(tǒng)的輸出響應(yīng)的增量與輸入信號的增量之間滿足線性特性。這類系統(tǒng)稱為增量線性系統(tǒng)（INCREMENTALLYLINEARSYSTEMS。該系統(tǒng)既不滿足齊次性，也不滿足可加性，但當(dāng)考查輸入的增量與輸出的增量之間的關(guān)系時(shí)，有例如可見輸入的增量與輸出的增量之間是滿足線性關(guān)系的，它是一個(gè)增量線性系統(tǒng)。顯然有任何增量線性系統(tǒng)都可以等效為一個(gè)線性系統(tǒng)再加上一部分與輸入無關(guān)的響應(yīng)。線性系統(tǒng)增量線性系統(tǒng)當(dāng)增量線性系統(tǒng)的時(shí)，。此時(shí)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)完全由決定。此時(shí)系統(tǒng)處于零初始狀態(tài)，故將稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)?？梢姡隽烤€性系統(tǒng)的響應(yīng)包括零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)兩部分。根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性，可得出線性系統(tǒng)當(dāng)輸入為零（即根本沒有輸入）時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為零（即沒有輸出響應(yīng)）