《線性代數(shù)》-課本習(xí)題答案1和2章

習(xí)題一1計算下列排列的逆序數(shù)1）9級排列134782695；2）級排列。N12解（1）；347869504201（2）。NN2選擇和，使得IK1）1274569成奇排列；2）1254897為偶排列。解（1）令，則排列的逆序數(shù)為，排列為奇排列。3,8IK127435689從而。,I（2）令，則排列的逆序數(shù)為，排列為奇排列。,6IK與題意不符，從而。33由定義計算行列式。1234124345550AAA解行列式，因?yàn)橹辽儆幸粋€大于123451234512345JJJJJJAA123,J3，所以中至少有一數(shù)為0，從而（任意123JJA123450JJJ），于是。1245,J123451234512345JJJJJJ4計算行列式1）；2）；3）；4032114120574）；5）。64113792852222222213AABBCCDD解（1）40；（2）16；（3）0；（4）1008；（5）0。5計算階行列式N1）；2）；0000XYXYY13100201NN3）（）；4）。121NAA0I2232N解（1）原式（按第一列000XYXY1000NYXXY展開）。1NNXY（2）行列式（后列和加到第一列，1231001020NNN1N再按第一列展開）121NN。（3）行列式（第一行第一列為添加的部分，注意1201NAA此時為級行列式）1N2131NRR120NAA1231NCAC11200NNAA。121NNA（4）行列式2131NRR002N（按第二行展開）21002N。N提高題1已知級排列的逆序數(shù)為，求排列的逆序數(shù)。N121NJJK12NJJ解設(shè)原排列中1前面比1大的數(shù)的個數(shù)為，則1后面比1大的K數(shù)的個數(shù)為，于是新排列中1前比1大的個數(shù)為1K2NJJ個；依此類推，原排列中數(shù)前面比大的數(shù)的個數(shù)為，1NK121IIIK則新排列中前比大的個數(shù)為個記21NJJIIK121NJJ，故新排列的逆序數(shù)為12KK。121NK22NKK2由行列式定義計算中與的系數(shù)，并說明理由。132XF4X3解由于行列式定義中的每一項來自于不同行和不同列的個元素的乘積。而N該行列式中每個元素最高含的一次項，因此的項只能由對角線上的元素乘X4X積所得到，故的系數(shù)為2。4X4134同樣的考慮可得的系數(shù)為1。3X3設(shè)，其中互不相同。2112211NNNXAAPXI1）說明是一個次多項式；X2）求的根。0P解1把按第一行展開得。X112NPXAXAX而，所以是一個次多項式。211212110NNNNAAPX1N根據(jù)范德蒙行列式12112121232NNNNPXAXAAAA2因?yàn)椋ǎ┐胫杏袃尚性叵嗤?，所以行列I,PX式為零，從而的根為。0PX121,NA習(xí)題二解答1計算1）；1213232AXX2）已知；求、。01A2A34解1）；2221121313323AXXAXAAX2）；。01A301A40A2設(shè)1），求。3220BB2），求。1ABCA1ACBA解1）；2）。2042223ABCCBACA3設(shè)是階實(shí)方陣，且。證明。AN0A證明設(shè)，則。從而。121212NNNAA121212NNNAA。212212210NNNAAAAA所以。因?yàn)?222112NNAAA為實(shí)數(shù)，故（）。即。IJ0IJ,IJ0A4設(shè)，互不相同。證明與可交換的矩陣12NAA12,NAA只能為對角矩陣。證明設(shè)與可交換的矩陣為，由得A121212NNNBBBAB。11212122122122NNNNNNABABAB即（）。由于互不相同，所以時，IJJIAB,J1,NAIJ。故。即為對角矩陣。0IJB120NBBB5證明任一方陣可表示成一對稱矩陣和一反對矩陣之和。證明設(shè)為方陣，記，則可知為對稱矩陣，A2A2ACB為反對稱矩陣。且。CB6設(shè)，定義，其中10MFAA10MFAAE是階方陣。已知，計算。AN2F2130AFA解。251802FAE7已知方陣滿足。證明及可逆，并求它們的逆矩7A2E陣。證明由，可得。所以可逆，且20AE7。同理由，可得。所以1727032可逆，且。213A8求下列矩陣的逆陣1）；2）；3）；31223104）；5）。1112解1）；2）；3）；351314143564）；5）。11842689已知，且，求。2013A2AB解由，可得。又B1E，所以。102132AE1205612AB10設(shè)是階方陣，如果對任意矩陣均有。證明。NNX證明記，取，由，可得（121212NNAAA100A10IA）。同理可得（）。從而。1,2I0IJA,1,IJN11已知4階方陣的行列式，求。A5A解因?yàn)?，兩邊取行列式有。所以E43512A。12設(shè)，分別為，階可逆方陣，證明分塊矩陣可逆，并求逆。BMN0CB證明因?yàn)?，可逆，所以，。故，從A0AB0A而可逆。記是的逆，則，0ACB12X0ACB0ACB12XE于是，解得。故矩陣的逆為1210EAXBC12110XBA0B。110A13設(shè)，其中，存在，求。XC1AC1X解因?yàn)?，所以的逆?00E0AC10C。14求下列矩陣的秩1）；2）；3231705414130233）。231ABC解1）2。2）4。3）當(dāng)時，秩為1；當(dāng)有某兩個相等時，ABC,ABC秩為2；當(dāng)互不相等時，秩為3。,ABC提高題1秩為的矩陣可表示為個秩為1的矩陣之和。RR證明設(shè)矩陣的秩，由推論結(jié)果可知存在可逆矩陣和使得APQ，即，其0REPQ1111000RREIIPQ中（）表示第行列元素為1、其余元素為0的階方陣。記KI1,2RKR（），則的秩為1，且。10KKAPQ,2RKA1KA2設(shè)矩陣的秩為1，證明MNA1）可表示成；1NMAB2）是一個數(shù)。AK證明1）因?yàn)榈闹葹?，所以存在某元素。記的第行元素為0IJAAI，則的任一行向量可由第行線性表示（否則與行向量線性無關(guān)，,NBI與的秩為1矛盾）。記依次為第1行、第行的表示系數(shù)，則有A1,NAN。1NMAB2）由1），所以1NMAAB11121NNNNMMMABABBAA（其中）。1NMKB1NK3設(shè)是階方陣，是矩陣，證明ANX11）的第個元素等于的第行元素之和；IAI2）如果可逆，且的每一行元素之和等于常數(shù)，則的每一行元素A1A之和也相等。證明1）記，則。121212NNNAAA121212NNNAAAX2）若的每一行元素之和等于常數(shù)，由1），由于AAAX可逆，所以。從而，即的每一行元素之和等于常數(shù)0A1XA1A1A。4證明1）上（下）三角矩陣的乘積仍是上（下）三角矩陣；2）可逆的上（下）三角矩陣的逆仍是上（下）三角矩陣。證明1）記，為上三角矩陣，。則IJNAAJKNBBCAB時，。對任意，當(dāng)時，當(dāng)時IJK0IJJSI0ISAKIS，即任意，。從而時，0SBSISKI。故上三角矩陣的乘積仍是上三角矩陣。10IKIJIINKCABA同理可證明下三角矩陣的情形。2）對可逆的上三角矩陣，（），12120NNAA0I1,2IN對于，先進(jìn)行第二類初等行12120001NNAAAE變換（），再作第三類初等行變換把左邊變成單位矩陣時，右1IRA,2邊即為上三角矩陣。亦即可逆的上三角矩陣的逆仍是上三角矩陣。5已知實(shí)三階方陣滿足1）；2）。求。AIJIJAA31AA解因?yàn)?，所以。由于，從而有。AE3AIJIJAAA于是或。01若，則，由于為實(shí)三階方陣，由習(xí)題3可得。00此與矛盾。從而。3AA6設(shè)，其中是非零矩陣。證明AE1N1）的充分必要條件是；22）當(dāng)時，是不可逆矩陣。1證明1）若，即有。又是非零矩22EE1N陣，所以是非零矩陣，從而，即。以上每步可N1逆，故命題成立。2）當(dāng)時，由1）