第四章-多自由度系統振動(a)PPT課件

多自由度系統振動1,第四章,建模方法1：,將車、人等全部作為一個質量考慮，并考慮彈性和阻尼。,要求：對轎車的上下振動進行動力學建模。,例子：轎車行駛在路面上會產生上下振動。,缺點：模型粗糙，沒有考慮人與車、車與車輪之間的相互影響。,優(yōu)點：模型簡單；,分析：人與車、車與車輪、車輪與地面之間的運動存在耦合。,多自由度系統振動,建模方法2：,車、人的質量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼。,優(yōu)點：模型較為精確，考慮了人與車之間的耦合；,缺點：沒有考慮車與車輪之間的相互影響。,多自由度系統振動,建模方法3：,車、人、車輪的質量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼。,優(yōu)點：分別考慮了人與車、車與車輪之間的相互耦合，模型較為精確.,問題：如何描述各個質量之間的相互耦合效應？,多自由度系統振動,教學內容,多自由度系統的動力學方程多自由度系統的自由振動頻率方程的零根和重根情形多自由度系統的受迫振動有阻尼的多自由度系統,多自由度系統振動,作用力方程剛度矩陣和質量矩陣位移方程和柔度矩陣質量矩陣和剛度矩陣的正定性質耦合與坐標變換,多自由度系統的動力學方程,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,作用力方程,幾個例子,例1：雙質量彈簧系統，兩質量分別受到激振力,不計摩擦和其他形式的阻尼,試建立系統的運動微分方程,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,解：,建立坐標：,設某一瞬時：,上分別有位移,加速度,受力分析：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,建立方程：,矩陣形式：,力量綱,坐標間的耦合項,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,例2：轉動運動,兩圓盤,轉動慣量,軸的三個段的扭轉剛度,試建立系統的運動微分方程,外力矩,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,解：,建立坐標：,角位移,設某一瞬時：,角加速度,受力分析：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,建立方程：,矩陣形式：,坐標間的耦合項,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,多自由度系統的角振動與直線振動在數學描述上相同,如同在單自由度系統中所定義的，在多自由度系統中也將質量、剛度、位移、加速度及力都理解為廣義的,k3,k1,k2,P1(t),P2(t),多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,小結：,可統一表示為：,例1：,例2：,作用力方程,位移向量,加速度向量,質量矩陣,剛度矩陣,激勵力向量,若系統有n個自由度，則各項皆為n維矩陣或列向量,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,n個自由度系統:,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,質量矩陣第j列,剛度矩陣第j列,廣義坐標列向量,剛度矩陣和質量矩陣,當M、K確定后，系統動力方程可完全確定,M、K該如何確定？,作用力方程：,先討論K,加速度為零,假設外力是以準靜態(tài)方式施加于系統,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,準靜態(tài)外力列向量,靜力平衡,作用力方程：,假設作用于系統的是這樣一組外力：它們使系統只在第j個坐標上產生單位位移，而在其他各個坐標上不產生位移,即：,代入：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,所施加的這組外力數值上正是剛度矩陣K的第j列,（i=1n）：在第i個坐標上施加的力,結論：剛度矩陣K中的元素kij是使系統僅在第j個坐標上產生單位位移而相應于第i個坐標上所需施加的力,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,考慮：這樣的外力列陣是否唯一？,結論：剛度矩陣K中的元素kij是使系統僅在第j個坐標上產生單位位移而相應于第i個坐標上所需施加的力,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,第j個坐標產生單位位移,剛度矩陣第j列,系統剛度矩陣,j=1n,確定,作用力方程：,討論M,假設系統受到外力作用的瞬時，只產生加速度而不產生任何位移,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,假設作用于系統的是這樣一組外力：它們使系統只在第j個坐標上產生單位加速度，而在其他各個坐標上不產生加速度,這組外力正是質量矩陣M的第j列,結論：質量矩陣M中的元素是使系統僅在第j個坐標上產生單位加速度而相應于第i個坐標上所需施加的力,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,考慮：這樣的外力列陣是否唯一？,第j個坐標單位加速度,質量矩陣第j列,系統質量矩陣,j=1n,確定,質量矩陣M中的元素mij是使系統僅在第j個坐標上產生單位加速度而相應于第i個坐標上所需施加的力,mij、kij又分別稱為質量影響系數和剛度影響系數。根據它們的物理意義可以直接寫出系統質量矩陣M和剛度矩陣K，從而建立作用力方程，這種方法稱為影響系數方法,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,剛度矩陣K中的元素kij是使系統僅在第j個坐標上產生單位位移而相應于第i個坐標上所需施加的力,例：寫出M、K及運動微分方程,解：,先只考慮靜態(tài),令,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,使m1產生單位位移所需施加的力：,保持m2不動所需施加的力：,保持m3不動所需施加的力：,只使m1產生單位位移，m2和m3不動,在三個質量上施加力,能夠使得,系統剛度矩陣的第一列,例：寫出M、K及運動微分方程,解：,先只考慮靜態(tài),令,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,剛度矩陣：,使m1產生單位位移所需施加的力：,保持m2不動所需施加的力：,保持m3不動所需施加的力：,只使m1產生單位位移，m2和m3不動,例：寫出M、K及運動微分方程,解：,先只考慮靜態(tài),多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,使m2產生單位位移所需施加的力：,保持m1不動所需施加的力：,保持m3不動所需施加的力：,只使m2產生單位位移，m1和m3不動,在三個質量上施加力,能夠使得,系統剛度矩陣的第二列,令,例：寫出M、K及運動微分方程,解：,先只考慮靜態(tài),多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,使m2產生單位位移所需施加的力：,保持m1不動所需施加的力：,保持m3不動所需施加的力：,只使m2產生單位位移，m1和m3不動,令,剛度矩陣：,例：寫出M、K及運動微分方程,解：,先只考慮靜態(tài),多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,使m3產生單位位移所需施加的力：,保持m2不動所需施加的力：,保持m1不動所需施加的力：,只使m3產生單位位移，m1和m2不動,在三個質量上施加力,能夠使得,系統剛度矩陣的第三列,令,例：寫出M、K及運動微分方程,解：,先只考慮靜態(tài),多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,使m3產生單位位移所需施加的力：,保持m2不動所需施加的力：,保持m1不動所需施加的力：,只使m3產生單位位移，m1和m2不動,令,剛度矩陣：,例：寫出M、K及運動微分方程,解：,先只考慮靜態(tài),令,令,令,剛度矩陣：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,只考慮動態(tài),令,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,只使m1產生單位加速度，m2和m3加速度為零,所需施加的力：,所需施加的力：,在三個質量上施加力,能夠使得,系統質量矩陣的第一列,m1產生單位加速度的瞬時，m2和m3尚沒有反應,只考慮動態(tài),令,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,只使m1產生單位加速度，m2和m3加速度為零,所需施加的力：,所需施加的力：,m1產生單位加速度的瞬時，m2和m3尚沒有反應,質量矩陣：,同理,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,令,同理,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,令,令,令,有：,令,有：,令,有：,質量矩陣：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,運動微分方程：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,外力列陣,矩陣形式：,例：雙混合擺，兩剛體質量,質心,繞通過自身質心的z軸的轉動慣量,兩剛體質量,h1,C1,C2,h2,l,x,y,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,受力分析,h1,C1,C2,h2,l,x,y,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,解：,先求質量影響系數,令,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,下擺對A取矩：,整體對B取矩：,則需要在兩桿上施加力矩,問：為什么不考慮重力？,示意圖，實際鉛垂,解：,令,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,下擺對A取矩：,整體對B取矩：,則需要在兩桿上施加力矩,令,令,質量矩陣：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,求剛度影響系數,由于恢復力是重力，所以實際上是求重力影響系數,令,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,則需要在兩桿上施加力矩,下擺對A取矩：,整體對B取矩：,令,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,則需要在兩桿上施加力矩,下擺對A取矩：,整體對B取矩：,令,令,剛度矩陣：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,運動微分方程：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,例：,每桿質量m,桿長度l,水平彈簧剛度k,彈簧距離固定端a,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,雙剛體桿,解：,令：,則需要在兩桿上施加力矩,分別對兩桿O1、O2求矩：,令：,則需要在兩桿上施加力矩,分別對兩桿O1、O2求矩：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,剛度矩陣：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,令：,則需要在兩桿上施加力矩,令：,則需要在兩桿上施加力矩,質量矩陣：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,運動學方程：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,例：兩自由度系統,擺長l，無質量，微擺動,求：運動微分方程,x,m1,k1,k2,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,解：,先求解剛度矩陣,令：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,x方向力平衡,A點力矩平衡,剛度矩陣第一列：,需要施加的力和矩,A,x,靜態(tài)平衡,解：,令：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,x方向力平衡,A點力矩平衡,剛度矩陣第二列：,需要施加的力和矩,x,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,剛度矩陣第一列：,剛度矩陣第二列：,系統剛度矩陣：,求解質量矩陣,令：,令：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,瞬時動態(tài),質量矩陣：,剛度矩陣：,運動微分方程：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,小結：,建立動力學方程的影響系數法,多自由度系統作用力方程：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,質量矩陣M中的元素mij是使系統僅在第j個坐標上產生單位加速度而相應于第i個坐標上所需施加的力,剛度矩陣K中的元素kij是使系統僅在第j個坐標上產生單位位移而相應于第i個坐標上所需施加的力,剛度矩陣：,質量矩陣：,靜態(tài),動態(tài),力的量綱,位移方程和柔度矩陣,對于靜定結構，有時通過柔度矩陣建立位移方程比通過剛度矩陣建立作用力方程來得更方便些,柔度定義為彈性體在單位力作用下產生的變形,物理意義及量綱與剛度恰好相反,以一個例子說明位移方程的建立,無質量彈性梁，有若干集中質量,（質量連續(xù)分布的彈性梁的簡化）,以準靜態(tài)方式作用在梁上,梁只產生位移（即撓度），不產生加速度,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,m1位移：,m2位移：,m1位移：,m2位移：,m1位移：,m2位移：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,同時作用時：,矩陣形式：,柔度矩陣,物理意義：系統僅在第j個坐標受到單位力作用時相應于第i個坐標上產生的位移,柔度影響系數,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,當是動載荷時,集中質量上有慣性力存在,位移方程,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,也可按作用力方程建立方程：,若K非奇異,位移方程：,柔度矩陣與剛度矩陣的關系：,剛度矩陣,對于允許剛體運動產生的系統（即具有剛體自由度的系統），柔度矩陣不存在,應當注意：,位移方程不適用于具有剛體自由度的系統,原因：在任意一個坐標上施加單位力，系統將產生剛體運動而無法計算各個坐標上的位移,剛度矩陣K奇異,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,例：求圖示兩自由度簡支梁橫向振動的位移方程,已知梁的抗彎剛度矩陣為,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,柔度影響系數：,柔度矩陣：,位移方程：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,例：教材P72例4.1-2，求柔度陣,（1）在坐標x1上對質量m1作用單位力,系統在坐標x1、x2、x3上產生位移為:,解：,（2）在坐標x2上對質量m2作用單位力,（3）在坐標x3上對質量m3作用單位力,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,柔度矩陣：,可以驗證，有：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,小結：,多自由度系統的位移方程：,柔度矩陣和剛度矩陣互為逆陣,位移的量綱,柔度矩陣：,柔度矩陣fij的含義為系統僅在第j個坐標受到單位力作用時相應于第i個坐標上產生的位移,位移方程不適用于建立存在剛體自由度系統的動力學方程,質量矩陣和剛度矩陣的正定性質,n階方陣A正定,是指對于任意的n維列向量y，總有成立,根據分析力學的結論，對于定常約束系統：,動能：,勢能：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,標量,A0,質量矩陣和剛度矩陣的正定性質,n階方陣A正定,是指對于任意的n維列向量y，總有成立,動能：,除非,即：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,振動系統的質量矩陣總為正定矩陣,A0,質量矩陣和剛度矩陣的正定性質,n階方陣A正定,是指對于任意的n維列向量y，總有成立,勢能：,對于僅具有穩(wěn)定平衡位置的系統，勢能在平衡位置上取極小值,K正定,K0,對于具有隨遇平衡位置的系統，存在剛體位移,K半正定,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,振動系統的剛度矩陣至少為半正定,A0,振動問題中主要討論（1）M陣正定、K陣正定（2）M陣正定、K陣半正定的系統,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,半正定振動系統,正定振動系統,耦合與坐標變換,矩陣中非零的非對角元元素稱為耦合項,質量矩陣中出現耦合項稱為慣性耦合,剛度矩陣或柔度矩陣中出現耦合項稱為彈性耦合,以兩自由度系統為例,不存在慣性耦合,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,如果系統僅在第一個坐標上產生加速度,不出現慣性耦合時，一個坐標上產生的加速度只在該坐標上引起慣性力,同理，不出現彈性耦合時，一個坐標上產生的位移只在該坐標上引起彈性恢復力；而出現彈性耦合時，一個坐標上產生的位移還會在別的坐標上引起彈性恢復力,耦合的表現形式取決于坐標的選擇,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,耦合,非耦合,出現慣性耦合時，一個坐標上產生的加速度還會在別的坐標上引起慣性力,例：研究汽車上下振動和俯仰振動的力學模型,表示車體的剛性桿AB的質量為m，桿繞質心C的轉動慣量為Ic,懸掛彈簧和前后輪胎的彈性用剛度為k1和k2的兩個彈簧來表示,寫出車體微振動的微分方程,選取D點的垂直位移和繞D點的角位移為坐標,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,簡化形式,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,車體所受外力向D點簡化為合力PD和合力矩MD,微振動，桿質心的垂直位移和桿繞質心的角位移：,采用拉氏方法建立方程,動能：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,動能：,勢能：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,拉格朗日方程：,：廣義坐標,：拉格朗日函數,：對應于有勢力以外的其它非有勢力的廣義力,計算廣義力Q1和Q2,設在坐標xD上有虛位移,非有勢力做功,因此,非有勢力做功,因此,設在坐標上有虛位移,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,代入拉格朗日方程，得：,矩陣形式：,存在慣性耦合,存在彈性耦合,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,振動力學方法求解,首先求剛度矩陣,令：,對D點取矩：,力平衡：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,令：,對D點取矩：,力平衡：,剛度矩陣：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,求質量矩陣,令：,質心C所受的慣性力：,力平衡：,力矩平衡：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,令：,質心C所受的慣性力矩：,力平衡：,對D點取矩：,質心C所受的慣性力：,質量矩陣：,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,質量矩陣,剛度矩陣,運動微分方程,和前面采用拉格朗日方程建立的系統運動微分方程一致,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,如果D點選在這樣一個特殊位置，使得：,只存在慣性耦合，而不出現彈性耦合,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,如果D點選在質心C：,只存在彈性耦合，而不出現慣性耦合,：作用在質心上的外力合力和合力矩,多自由度系統振動/多自由度系統的動力學方程,問：能否找到這樣一種坐標使得系統的運動微分方程既不出現慣性耦合，也不出現彈性耦合？,即：,若能夠，則有：,方程解耦，變成了兩個單自由