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2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(四川延考卷)數(shù) 學(xué)(理科)一選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。(1)集合,的子集中,含有元素的子集共有(A)2個(gè) (B)4個(gè) (C)6個(gè) (D)8個(gè)【解析】【方法一】組合數(shù)討論法:的子集共個(gè),含有元素0的和不含元素0的子集各占一半,有4個(gè)選B【方法二】分類(lèi)討論:只含一個(gè)元素的集合含二個(gè)元素的集合含三個(gè)元素的集合(2)已知復(fù)數(shù),則(A) (B) (C) (D)【解析】 選D(3)的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為 (A)4 (B)6 (C)10 (D)12【解析】展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為選C(4)已知,則不等式的解集為(A)199, (B)200, (C)201, (D)202,【解析】 選B(5)已知,則(A) (B) (C) (D)【解析】 ,。選C(6)一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)等于一個(gè)球的半徑,該正三棱錐的高等于這個(gè)球的直徑,則球的體積與正三棱錐體積的比值為(A) (B) (C) (D)【解析】設(shè)球的半徑為;正三棱錐的底面面積,。所以 ,選A(7)若點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為,則雙曲線的離心率為(A) (B) (C) (D)【解析】設(shè)過(guò)一象限的漸近線傾斜角為所以,因此,選A(8)在一次讀書(shū)活動(dòng)中,一同學(xué)從4本不同的科技書(shū)和2本不同的文藝書(shū)中任選3本,則所選的書(shū)中既有科技書(shū)又有文藝書(shū)的概率為(A) (B) (C) (D)【解析】【方法一】因文藝書(shū)只有2本,所以選3本必有科技書(shū)。問(wèn)題等價(jià)于選3本書(shū)有文藝書(shū)的概率:。選D【方法二】分類(lèi)討論:只有一本文藝書(shū)有種選法;有二本文藝書(shū)有種選法。(9)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn),則的最小值為(A) (B) (C) (D)【解析】 弦心距最大為,此時(shí)的最小值為(10)已知兩個(gè)單位向量與的夾角為,則的充要條件是(A) (B)(C) (D)【解析】 ,選C(11)設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線及直線對(duì)稱(chēng),且時(shí),則(A) (B) (C) (D)【解析】選B(12)一個(gè)正方體的展開(kāi)圖如圖所示,為原正方體的頂點(diǎn),為原正方體一條棱的中點(diǎn)。在原來(lái)的正方體中,與所成角的余弦值為(A) (B) (C) (D)【解析】還原正方體如右圖所示設(shè),則,,,與所成角等于與所成角,所以余弦值為,選 D【方法二】用空間向量求。二填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分。把答案填在題中模式橫線上。(13)函數(shù) 的反函數(shù)為 解:,所以反函數(shù)(14)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且。若,則 3 解:【方法一】直接法:由已知,?!痉椒ǘ刻厥庵捣ǎ海√厥庵盗?,所以(15)已知函數(shù) 在單調(diào)增加,在單調(diào)減少,則 解:由題意又,令得(由已知。如,則,與已知矛盾)(16)已知,為空間中一點(diǎn),且,則直線與平面所成角的正弦值為 解:由對(duì)稱(chēng)性點(diǎn)在平面內(nèi)的射影必在的平分線上作于,連結(jié)則由三垂線定理,設(shè),又,所以,因此直線與平面所成角的正弦值三解答題:本大題共6個(gè)小題,共74分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。(17)(本小題滿(mǎn)分12分)在中,內(nèi)角對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是,已知。()若,且為鈍角,求內(nèi)角與的大?。唬ǎ┤?,求面積的最大值【解】()由題設(shè)及正弦定理,有故因?yàn)殁g角,所以由,可得,得,()由余弦定理及條件,有,故由于面積,又,當(dāng)時(shí),兩個(gè)不等式中等號(hào)同時(shí)成立,所以面積的最大值為(18)(本小題滿(mǎn)分12分)一條生產(chǎn)線上生產(chǎn)的產(chǎn)品按質(zhì)量情況分為三類(lèi):類(lèi)、類(lèi)、類(lèi)檢驗(yàn)員定時(shí)從該生產(chǎn)線上任取2件產(chǎn)品進(jìn)行一次抽檢,若發(fā)現(xiàn)其中含有類(lèi)產(chǎn)品或2件都是類(lèi)產(chǎn)品,就需要調(diào)整設(shè)備,否則不需要調(diào)整已知該生產(chǎn)線上生產(chǎn)的每件產(chǎn)品為類(lèi)品,類(lèi)品和類(lèi)品的概率分別為,和,且各件產(chǎn)品的質(zhì)量情況互不影響()求在一次抽檢后,設(shè)備不需要調(diào)整的概率;()若檢驗(yàn)員一天抽檢3次,以表示一天中需要調(diào)整設(shè)備的次數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望【解】()設(shè)表示事件“在一次抽檢中抽到的第件產(chǎn)品為類(lèi)品”,表示事件“在一次抽檢中抽到的第件產(chǎn)品為類(lèi)品”,表示事件“一次抽檢后,設(shè)備不需要調(diào)整”則由已知, 所以,所求的概率為 ()由()知一次抽檢后,設(shè)備需要調(diào)整的概率為 ,依題意知,的分布列為01230.7290.2430.0270.001(19)(本小題滿(mǎn)分12分)如圖,一張平行四邊形的硬紙片中,沿它的對(duì)角線把折起,使點(diǎn)到達(dá)平面外點(diǎn)的位置()證明:平面平面;()如果為等腰三角形,求二面角的大小【解】()證明:因?yàn)?,所以,因?yàn)檎郫B過(guò)程中,所以,又,故平面又平面,所以平面平面()解法一:如圖,延長(zhǎng)到,使,連結(jié),因?yàn)?,所以為正方形,由于,都與平面垂直,所以,可知因此只有時(shí),為等腰三角形在中,又,所以為等邊三角形,由()可知,所以為二面角的平面角,即二面角的大小為解法二:以為坐標(biāo)原點(diǎn),射線,分別為軸正半軸和軸正半軸,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,則,由()可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,其中,則有 因?yàn)闉榈妊切?,所以或若,則有由此得,不合題意若,則有 聯(lián)立和得,故點(diǎn)的坐標(biāo)為由于,所以與夾角的大小等于二面角的大小又,所以即二面角的大小為(20)(本小題滿(mǎn)分12分)在數(shù)列中,()求的通項(xiàng)公式;()令,求數(shù)列的前項(xiàng)和;()求數(shù)列的前項(xiàng)和【解】()由條件得,又時(shí),故數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為1,公式為的等比數(shù)列從而,即()由得,兩式相減得 :, 所以 ()由得 所以(21)(本小題滿(mǎn)分12分)已知橢圓的中心和拋物線的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn),和有公共焦點(diǎn),點(diǎn)在軸正半軸上,且的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)及點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離成等比數(shù)列()當(dāng)?shù)臏?zhǔn)線與右準(zhǔn)線間的距離為時(shí),求及的方程;()設(shè)點(diǎn)且斜率為的直線交于,兩點(diǎn),交于,兩點(diǎn)。當(dāng)時(shí),求的值【解】()設(shè):,其半焦距為則:由條件知,得的右準(zhǔn)線方程為,即的準(zhǔn)線方程為由條件知,所以,故,從而:, :()由題設(shè)知:,設(shè),由()知,即由, 知滿(mǎn)足 ,從而由條件,得, 故:由 得,所以于是(22)
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