相約期末高中數(shù)學 第二章基本初等函數(shù)期末知識梳理 新人教A必修1

第二章 基本初等函數(shù)()2.1指數(shù)函數(shù)（1）根式的概念如果，且，那么叫做的次方根當是奇數(shù)時，的次方根用符號表示；當是偶數(shù)時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示；0的次方根是0；負數(shù)沒有次方根式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)當為奇數(shù)時，為任意實數(shù)；當為偶數(shù)時，根式的性質(zhì)：；當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時， （2）分數(shù)指數(shù)冪的概念正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：且0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：且0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義 注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)（3）分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) （4）指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義0101函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)圖象定義域值域過定點圖象過定點，即當時，奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，越大圖象越低2.2對數(shù)函數(shù)1、 對數(shù)的定義 若，則叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù)負數(shù)和零沒有對數(shù)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：（2）幾個重要的對數(shù)恒等式，（3）常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)：，即；自然對數(shù)：，即（其中）（4）對數(shù)的運算性質(zhì) 如果，那么加法： 減法：數(shù)乘： 換底公式：（5）對數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)圖象0101定義域值域過定點圖象過定點，即當時，奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，越大圖象越靠高(6)反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)的定義域為，值域為，從式子中解出，得式子如果對于在中的任何一個值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習慣上改寫成（7）反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式中反解出；將改寫成，并注明反函數(shù)的定義域（8）反函數(shù)的性質(zhì) 原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域若在原函數(shù)的圖象上，則在反函數(shù)的圖象上一般地，函數(shù)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)2.3冪函數(shù)（1）冪函數(shù)的定義 一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù)（2）冪函數(shù)的圖象（3）冪函數(shù)的性質(zhì)圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限 過定點：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點 單調(diào)性：如果，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在上為增函數(shù)如果，則冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近軸與軸奇偶性：當為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)當（其中互質(zhì)，和），若為奇數(shù)為奇數(shù)時，則是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為偶數(shù)時，則是偶函數(shù)，若為偶數(shù)為奇數(shù)時，則是非奇非偶函數(shù)圖象特征：冪函數(shù)，當時，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方，當時，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方例1已知求解：例2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：令，則為增函數(shù)，當t6,即x1時，y為關(guān)于t的增函數(shù)，當t6,即x1時，y為關(guān)于t的減函數(shù)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間為例3已知在0，1上是的減函數(shù)，則的取值范圍是解：是由，復合而成，又0在0，1上是的減函數(shù)，由復合函數(shù)關(guān)系知應(yīng)為增函數(shù)，1又由于 在0，1上時 有意義，又是減函數(shù)，1時，取最小值是0即可，2綜上可知所求的取值范圍是12例4已知函數(shù).（1）當時恒有意義，求實數(shù)的取值范圍.（2）是否存在這樣的實數(shù)使得函數(shù)在區(qū)間1，2上為減函數(shù)，并且最大值為1，如果存在，試求出的值；如果不存在，請說明理由.解：（1）由假設(shè)，0，對一切恒成立，顯然，函數(shù)g(x)= 在0，2上為減函數(shù)，從而g(2)0得到的取值范圍是（0，1）（1，）(2)假設(shè)存在這樣的實數(shù)，由題設(shè)知，即1此時當時，沒有意義，故這樣的實數(shù)不存在.例5已知函數(shù)f(x)=, 其中為常數(shù)，若當x(, 1時, f(x)有意義，求實數(shù)a的取值范圍.解：0, 且a2a+1=(a)2+0, 1+2x+4xa0, a,當x(, 1時, y=與y=都是減函數(shù)， y=在(, 1上是增函數(shù)