高一數(shù)學(xué)概率部分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題解析新課標(biāo)人教必修3

高數(shù)學(xué)概率部分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與典型例題分析http:/www.DearEDU.comu事件：隨機(jī)事件(random event )、確認(rèn)事件：必然事件(certain event )、不可移植事件(importableevent )v隨機(jī)事件概率(統(tǒng)計(jì)定義):通常，如果隨機(jī)事件發(fā)生在下一個(gè)實(shí)驗(yàn)中，則當(dāng)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)較大時(shí)，事件a發(fā)生的概率為說(shuō)明：一個(gè)隨機(jī)事件具有隨機(jī)性，但具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，在進(jìn)行大量重復(fù)事件時(shí)是否發(fā)生了事件，頻率穩(wěn)定性，頻率穩(wěn)定性是必然的，因此， 偶然性和必然性對(duì)立統(tǒng)一不可能的事件和確定事件可視為隨機(jī)事件的極端情況隨機(jī)事件的頻率具有事件發(fā)生次數(shù)與總試驗(yàn)次數(shù)之比即一定的穩(wěn)定性，總是在某一常數(shù)附近搖擺，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，該搖擺幅度越來(lái)越小這附近的一些常數(shù)，被稱(chēng)為概況事件的發(fā)生概率概率是統(tǒng)計(jì)巨大數(shù)據(jù)的結(jié)果，是大的整體趨勢(shì)，頻率是具體統(tǒng)計(jì)的結(jié)果概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值w概率必須滿(mǎn)足三個(gè)基本要求：對(duì)任意隨機(jī)事件 事件時(shí)x古典概率(Classical probability model):所有基本事件都有限每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都是滿(mǎn)足這兩個(gè)條件的概率模型成為經(jīng)典概念如果在一次實(shí)驗(yàn)中可能發(fā)生的基本事件的數(shù)目為個(gè)，則各個(gè)基本事件的發(fā)生概率為“是”，假設(shè)某個(gè)事件中包括一個(gè)基本事件，則發(fā)生事件的概率為“是”y幾何概況(geomegtric probability model ) :一般來(lái)說(shuō)，在幾何區(qū)域中隨機(jī)取點(diǎn)并記錄點(diǎn)在內(nèi)側(cè)區(qū)域內(nèi)事件時(shí)，事件發(fā)生的概率如下(請(qǐng)求的側(cè)角不是0，其中側(cè)角的含義已確定，通常，線的側(cè)角是該線的長(zhǎng)度，平面的多變形側(cè)面是該圖案的面積，立體圖像的側(cè)面是體積。)幾何概型的基本特征是基本事件等的可能性基本事件無(wú)限多顏老師說(shuō)明了，為了使排他性事件的研究變得容易，我們研究的區(qū)域全部不包含邊界，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取點(diǎn)，這一點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)的任何地方都可以，落在哪個(gè)部分的可能性的大小只是與那個(gè)部分的側(cè)度成正比，與那個(gè)形狀沒(méi)有關(guān)系。z獨(dú)占事件(exclusive events ) :不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱(chēng)為獨(dú)占事件對(duì)立事件(complementary events ) :兩個(gè)互斥事件中必須發(fā)生的兩個(gè)事件稱(chēng)為對(duì)立事件，事件對(duì)立事件描述如下獨(dú)立事件的概率：若顏老師說(shuō)，可能什么也不會(huì)發(fā)生，但是不能同時(shí)發(fā)生。 從集合的關(guān)系來(lái)看，兩個(gè)事件集合的交叉是空集，對(duì)立事件指的是兩個(gè)事件，而且必須有一個(gè)事件，排他事件可能指的是很多事件，但最多只會(huì)有一個(gè)事件發(fā)生，而對(duì)立事件必定是排他事件從集合論來(lái)看， 排他事件和對(duì)立事件的集合的交叉都是空集合，但兩個(gè)對(duì)立事件的和集合是全集，兩個(gè)排他事件的和集合不一定全集兩個(gè)對(duì)立事件的概率之和必須是1，兩個(gè)排他事件的概率之和在1以下事件是排他事件的話則很普遍在兩個(gè)排他的情況下 本教資料中至少發(fā)生了一個(gè)具體的問(wèn)題，一定要注意書(shū)寫(xiě)過(guò)程，設(shè)置事件，解決什么樣的概況，在其概況的寫(xiě)法中，最重要的是設(shè)置事件，具體的方式請(qǐng)參照我們的教科書(shū)(新課標(biāo)考試教科書(shū)-蘇教版)的例題|例題選言：例1 .同樣大小的6個(gè)球中，4個(gè)是紅色的球，如果從中任意選擇2個(gè)，那么求出被選中的2個(gè)球中至少1個(gè)是紅色的球的概率嗎？【分析】主題給出的6個(gè)球中，有4個(gè)紅球，2個(gè)其他顏色的球，根據(jù)想法不同有不同的解法解法1:(排他事件)將事件定義為“選擇兩個(gè)球的至少一個(gè)是紅球”，該排他事件的意思是“選擇兩個(gè)球的是其他顏色的球”答：被選中的兩個(gè)球中至少有一個(gè)是紅球的概率從解法2:(古典概型)問(wèn)題可以看出，所有的基本事件都是“選擇兩個(gè)球至少有一個(gè)是紅球”，事件中包含的基本事件數(shù)所以呢答：被選中的兩個(gè)球中至少有一個(gè)是紅球的概率解法3:(獨(dú)立事件概率)試著把其他顏色的球弄成白色，把事件定為“選擇兩個(gè)球至少有一個(gè)是紅球”，事件有三種可能： 1紅1白； 1白色1紅色2紅色，對(duì)應(yīng)的概率分別是：有答：被選中的兩個(gè)球中至少有一個(gè)是紅球的概率評(píng)價(jià)：本問(wèn)題重點(diǎn)考察我們對(duì)概率基本知識(shí)的理解，綜合所學(xué)的方法，根據(jù)自己的理解使用不同的方法，但是基本的解題步驟必須少！變式訓(xùn)練1 :同樣大小的6個(gè)球中，2個(gè)是紅球，4個(gè)是白球，從中任意選擇3個(gè)的話，至少有1個(gè)是紅球的概率求得嗎？解法1:(排他事件)將事件作為“選擇3個(gè)球至少有1個(gè)是紅球”，該排他事件的意思是“選擇3個(gè)球是白球”答：被選中的三個(gè)球中至少有一個(gè)是紅球的概率解法2:(古典概型)由問(wèn)題可知，所有的基本事件都是“選擇3個(gè)球至少有1個(gè)是紅球”，事件中包含的基本事件數(shù)所以呢答：被選中的三個(gè)球中至少有一個(gè)是紅球的概率解法3:(獨(dú)立事件概率)如果將事件設(shè)為“選擇3個(gè)球至少1個(gè)為紅球”，則事件的狀況如下紅色和白色一紅二白白紅紅白皆白紅色和白色2紅1白紅白紅泛紅的紅色所以呢答：被選中的三個(gè)球中至少有一個(gè)是紅球的概率變式訓(xùn)練2 :箱子里有6個(gè)燈泡，其中有2個(gè)次品，4個(gè)正品，從返回的中提取2次，每次提取1個(gè)，有嘗試以下事件的概率(1)第一次抽出了不良品(2)抽出的2次中，正品、不良品各1次解：將事件作為“第一次抽出不合格品”，將事件作為“抽出的第二次中，合格品、不合格品各一次”(或)a :第一次提取次品的概率是指，在提取出的第二次中，將次品、次品一次一次地提取出來(lái)的概率變式訓(xùn)練3 :甲乙兩人在一次考試中接受3個(gè)選題，填補(bǔ)3個(gè)選題，每人抽出1個(gè)題后，不返回，(1)甲方抽出選題，求乙方取得填補(bǔ)題的概率？ (2)求至少一個(gè)人提取選擇問(wèn)題的概率？【分析】(1)不返回的提取，而且只提取兩個(gè)問(wèn)題，甲方提取選擇問(wèn)題，乙方提取填補(bǔ)問(wèn)題是獨(dú)立的，因此獨(dú)立事件的概率(2)事件“至少一個(gè)提取了選擇問(wèn)題”和事件“兩個(gè)都提取了填補(bǔ)問(wèn)題”可以排他事件，因此排他事件的概率可以解：案件為“甲方提取選擇問(wèn)題，乙方提取填補(bǔ)問(wèn)題”，案件為“至少有一人提取選擇問(wèn)題”“兩人都抽出了填空問(wèn)題”(1)(2)是答：甲方提取選擇問(wèn)題，乙方提取填空問(wèn)題的概率，至少有一人提取選擇問(wèn)題的概率為變式訓(xùn)練4 :一個(gè)口袋里有五個(gè)同樣大小的球，其中有三個(gè)紅球，兩個(gè)黃球，其中有兩個(gè)球出來(lái)，球的顏色不同的概率是什么？【分析】前后抽取2個(gè)球的顏色相同、1紅1球還是1黃1球省略：變式訓(xùn)練5 :假設(shè)盒子里有六個(gè)球。 其中4個(gè)紅色球，2個(gè)白色球，每人吸一個(gè)，然后放回去。 連吸兩次，紅球一個(gè)，白球一個(gè)的概率是多少？省略：例2 .急救飛機(jī)將急救物品交給一邊長(zhǎng)1公里的正方形急救區(qū)域，假設(shè)該區(qū)域內(nèi)縱橫分別有80米和50米的池子，當(dāng)急救物品落在池子和池子的10米范圍內(nèi)時(shí)，物品發(fā)生故障，急救物品落在正方形區(qū)域內(nèi)的何處是隨機(jī)的(正方形區(qū)域的范圍外)圖解是幾何概型，平面圖形，其測(cè)度由面積測(cè)量解：如圖所示，急救物品可能投入的所有區(qū)域，即邊長(zhǎng)為1公里的正方形區(qū)域，事件“急救物品的發(fā)放無(wú)效”以距池子10米的范圍為區(qū)域，是圖片的陰影部分a :略顏老師說(shuō)，這個(gè)主題是為了弄清主題的意思并加以利用幾何概率，主題往往落在給定的大領(lǐng)域沒(méi)有其他條件，只要有一個(gè)與網(wǎng)格相關(guān)的現(xiàn)象通常不需要這個(gè)條件。 超過(guò)一個(gè)網(wǎng)格，進(jìn)入另一個(gè)網(wǎng)格，分析相同變形訓(xùn)練1 :在地面上畫(huà)一個(gè)正方形線框，邊長(zhǎng)等于一張求硬幣直徑的兩倍，四角中擲硬幣完全落在正方形外，硬幣完全落在正方形內(nèi)的概率？縮寫(xiě)：變式訓(xùn)練2 :如圖所示，設(shè)置正方形網(wǎng)格，其中小正三角形的邊長(zhǎng)，現(xiàn)在直徑相等的硬幣掉落到這個(gè)網(wǎng)格上，硬幣掉落和網(wǎng)格有共同點(diǎn)的概率求得嗎？【解析】圓的位置由圓心決定，因此與網(wǎng)格線有共同點(diǎn)如果從中心到網(wǎng)格線距離在半徑以下解：如圖所示，正三角形的內(nèi)側(cè)有正三角形。 其中包括，當(dāng)中心在三角形之外時(shí)，硬幣和網(wǎng)格有共同點(diǎn)答：硬幣掉下來(lái)和網(wǎng)格有共同點(diǎn)的概率是0.82變體訓(xùn)練3 :圖，已知矩形概率是多少？縮寫(xiě)：變形訓(xùn)練4 :在平面上畫(huà)出相互距離2a的平行線，形成半徑為r a的硬幣任意拋到這個(gè)平面上，要求硬幣與任何平行線都不相容摸到的概率是多少？解：把事件定為“硬幣不會(huì)碰到任何平行線”，為了確定硬幣的位置是，在硬幣中心最接近的平行線上垂線，垂下腳因此，線段長(zhǎng)度值的范圍，其長(zhǎng)度為2a幾何概型所有可能性構(gòu)成的區(qū)域的幾何測(cè)度時(shí)，硬幣沒(méi)有碰到平行線，其長(zhǎng)度令人滿(mǎn)意案件的區(qū)域幾何測(cè)度答：硬幣沒(méi)有碰到任何平行線的概率是多少？【評(píng)價(jià)和鏈接】這個(gè)問(wèn)題是幾何概型的典型主題，尋求正確確認(rèn)地域和地域，理解并描述關(guān)系和測(cè)度。蒲豐投針問(wèn)題：平面上繪制一系列等距平行線，平行線之間的距離為() ，投擲平面內(nèi)任意長(zhǎng)度的針，求出針與平行線相交的概率嗎？解：表示針的中點(diǎn)與最近的平行線的距離，表示針與該直線的交角，由此可知，能夠確定平面上的矩形是因?yàn)獒樑c平行線相交，其充分條件是該不等式表示的區(qū)域是圖中的斜線部分2a如果可以用實(shí)驗(yàn)的方法對(duì)這些值進(jìn)行頻率近似，其中，如果方針是n次，平行線相交的次數(shù)是n，則頻率為正評(píng)論：這也是歷史上著名的問(wèn)題之一，用實(shí)驗(yàn)方法通過(guò)數(shù)學(xué)積分的手段結(jié)合幾何概率求得概率，用頻率近似概率建立方程式，進(jìn)一步求得。 歷史上很多數(shù)學(xué)家庭都用不同的方法計(jì)算，比如中國(guó)祖先沖的父子倆，撒豆考試。會(huì)面問(wèn)題：甲乙兩人約定6點(diǎn)到7點(diǎn)在某處見(jiàn)面，先到者再等一刻，過(guò)時(shí)了就約定離開(kāi)，要求兩人見(jiàn)面的概率嗎？解：“兩個(gè)人可以見(jiàn)面”作為事件，用x和y分別表示甲、乙兩人到達(dá)約會(huì)場(chǎng)所的時(shí)間是兩人可以見(jiàn)面的充電時(shí)間條件是在平面上創(chuàng)建圖形在坐標(biāo)系中，所有可能的結(jié)果都具有60個(gè)邊緣長(zhǎng)度在正方形中，有可能見(jiàn)面的時(shí)間用圖中的陰影部分表示從幾何學(xué)的概念a :兩個(gè)人見(jiàn)面的概率教科書(shū)例題的變體：如圖所示，在直角等腰三角形中，用斜邊取一點(diǎn)，求的概率是？【解析】點(diǎn)隨機(jī)落在線段上，所以線段是區(qū)域的雙曲馀弦值即區(qū)域解：是在上面監(jiān)聽(tīng)的a :的概率是多少【變式訓(xùn)練】如圖所示，在等腰三角形中，在內(nèi)部任意制作放射線，求出線段和點(diǎn)相交的概率嗎？誤解：在上面剪下來(lái)，在內(nèi)部任意制作放射線，滿(mǎn)足條件的可以看作是在線段的落任點(diǎn)這種解法似乎是有道理的，但值得仔細(xì)看，看主題的條件發(fā)生了變化，在線段上取得積分是可能的，但由于取得積分是一致的，所以不認(rèn)為取得積分是可能的，在確定基本事件時(shí)正確答案：內(nèi)的放射線均勻分布，所以放射線在任何位置都可以，在上面切取的話滿(mǎn)足條件的概率是評(píng)價(jià)：這要求學(xué)生們根據(jù)不同的問(wèn)題選擇不同的角度，決定區(qū)域和，求出其測(cè)度，利用幾何概率型求出概率。例3 .用隨機(jī)模擬法計(jì)算曲線包圍的圖形的面積【分析】在正交坐標(biāo)系中制作長(zhǎng)方形(包圍的部分通過(guò)隨機(jī)模擬法結(jié)合幾何概數(shù)得到其面積的近似值)。解