吉林東北師范大學(xué)附屬中學(xué)高中數(shù)學(xué)4.1.5第五講圓內(nèi)接四邊形教案新人教選修4

第五講 圓內(nèi)接四邊形教學(xué)目標(biāo)知識與技能：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理.過程與方法：用運動變化的思想，從圓內(nèi)接四邊形運動到極端情形（有兩個頂點重合），由“圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角”猜想“弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角”；獲得猜想后，應(yīng)用分類思想，把弦切角分為三類（以弦過圓心為分界點），先證明弦過圓心時命題成立，再把其他兩種情形化歸為弦過圓心時的情形?？梢钥吹剑谙仪薪嵌ɡ淼膬?nèi)容展開過程中，滲透和明確了運動變化思想、特殊化思想、分類討論思想、化歸思想。情感態(tài)度價值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。教學(xué)重點圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理教學(xué)難點圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理課時3課時一基礎(chǔ)知識回顧1、如圖15-61，A、B、C三點都在O上，點D是AB延長線上一點，AOC=140，CBD的度數(shù)為（ ）A40 B50C70 D110答案:C.2、如圖15-62，BC是O的直徑，則BAECBD= 答案:90.3、如圖15-63，BAC=50，則DE= 答案:230.4、在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，ABC=524，則D= ；若AC=72，B比D大30，則A= ，D= CDBA圖15-63EOCOEBA圖15-62DCODBA圖15-61答案:140,140,75.二典型例題講解例1如圖15-64，1和O2都經(jīng)過A、B兩點，經(jīng)過點A的直線CD與O1交于點C，與O2交于點D.經(jīng)過點B的直線EF與O1交于點E，與O2交于點FO2O1FEDCBA圖15-64求證：CEDF分析：要證明CEDF，只要證明EF=180或CD=180證明：連結(jié)AB ABEC是O1的內(nèi)接四邊形， BAD=E ADFB是O2的內(nèi)接四邊形， BADF=180 EF=180 CEDF評析：本題通過連結(jié)兩圓的公共弦AB，在兩圓中同時出現(xiàn)了圓內(nèi)接四邊形，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)使問題得以解決.本題還可以再通過延長EF（或FD）來證明CEDF如圖，若該題再作如下兩種圖形上的變化，結(jié)論CEDF依然成立O1O2DABCEFACDBEFO1O2例如圖15-66，設(shè)ABC為銳角三角形，高BE與以AC為直徑的圓交于點P，Q，高CF與以AB為直徑的圓交于點M，N，求證：P，M，Q，N四點共圓分析：要證明P，M，Q，N四點共圓，就是要證明四邊形PMQN的對角互補或兩個頂點對一條線段的張角相等證明：連結(jié)PN，PM，MQ 設(shè)ABC的高交于點H，則BC邊上的高AD過點HADC=90，AFC=90，CBADNFQPEM圖15-65H D，F(xiàn)都在以AC為直徑的圓上 AD與PQ相交于點H， HPHQ=HAHD同理可得：HMHN= HAHD HPHQ= HMHN PHN=MHQ， PHNMHQ HNP=HQM 即MNP=PQM P，M，Q，N四點共圓評析：事實上，本題的證明中得到HPHQ= HMHN后就可以得到P，M，Q，N四點共圓這是圓冪定理的逆定理這個逆定理也可以用來判定四點共圓例3如圖15-65，已知AD是ABC的外角EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA 交ABC的外接圓于點F，連結(jié)FB、FC（1）求證：FB=FC；（2）求證：FB2=FAFD；（3）若AB是ABC外接圓的直徑，EAC=120，BC=6cm，求AD的長分析：要證明FB=FC，就是證明ABC是等腰三角形，即證明FBC=FCB解：（1）AD平分EAC， FEDCBA圖15-66EAD=DAC 四邊形AFBC內(nèi)接于圓， DAC=FBC EAD=FAB=FCB， FBC=FCB FB=FC（2）FAB=FCB=FBC ，AFB=BFD， FBAFDB FB2=FAFD（3）AB是圓的直徑， ACB=90 EAC=120， DAC=EAC=60，BAC=60D=30 BC= 6， AC= AD=2AC= 4cm評析：圖中FB與FC在同一個三角形中，因此可以通過圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和同弧所對的圓周角證明角相等.將第（2）題中的乘積式轉(zhuǎn)化為比例式不難發(fā)現(xiàn)只需證明FBAFDB即得第（3）問實際上是解一個直角三角形三精選試題演練PACBD圖15-671、四邊形ABCD內(nèi)接于O，若ABCD=234m，則m= ；這個四邊形的最大內(nèi)角是 ，最小內(nèi)角是 答案:3，120，60.2.如圖15-67已知P是圓外一點，直線PB、PD分別與圓交于點A、B和C、D，若AC=3，BD=5，PD=10，則PA= 答案:6.3、如圖15-68，四邊形ABCD內(nèi)接于O，CEBD，與AB的延長線交于點E圖15-68DECBAO求證：提示：連結(jié)AC，證ADCCBE；ABCDE圖15-694、如圖15-69，AD是ABC外角EAC的平分線，AD與三角形的外接圓交于點D求證：DB=DC提示：證DBC=DCB；5、如圖15-70，ABC內(nèi)接于O，ABAC，BAC外角的平分線交O于E，EFAB，垂足為F，求證：ABAC=2AF提示：在BA上截取BG=CA，連結(jié)EB、EC、EG，證EBGECA，可得EG=EA，從而有AG=2AF，即ABAC=2AF；FEABC圖15-70O6、如圖15-71，已知ABC內(nèi)接于O，弦AB的垂直平分線與AC、AB分別交于點D、E，與O交于F、G，與BC的延長線交于點H求證：（1）CG平分ACH；（2）ODDH=ADDC提示：連結(jié)OA、AG、GB，（1）ACG=ABG=BAG=GCH，CG平分ACH；FEDCBA圖15-71GHO（2）證AODHCD；PDCBA圖15-72O7、如圖15-72，已知O是等邊ABC的外接圓，P是BC上的點，CP、AB的延長線交于點D，求證：（1）D=CBP；（2）AC2=CPCD提示：連結(jié)AP，（1）證D=CAP=CBP；（2）證CAPCDA；8、如圖15-73，（1）ABCD為圓內(nèi)接四邊形，延長兩組對邊分別交于點E，F(xiàn)，AED，AFB的角平分線交于M，求證：EMFM；（2）在四邊形ABCD中，AB，DC的延長線交于點E，AD，BC的延長線交于點F，AED，AFB的角平分線交于M，且EMFM，求證：四邊形ABCD內(nèi)接于圓OCBA圖15-73FEGH提示：（1）設(shè)ED與HF交于點K，證明EH=EK；（2）證ABCD=180；DM9、如圖15-74，設(shè)AB，CD是O的兩條弦，且AB過CD的中點M，CP，DP均為O的切線，求證：PO平分APB提示：連結(jié)OA、OBPO過CD的中點，O，C，D，P四點共圓，OMMP=MCMD=MAMB，O，P，A，B四點共圓，OAB=OPB，OB