福建福州閩侯第六中學(xué)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中文

福建省閩侯第六中學(xué)2018屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足,則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：因?yàn)? 所以，故選A考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算2.設(shè)集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】集合或，則，故選D.3.對(duì)于直線和平面，下列條件中能得出的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】在中，則與相交或平行，故錯(cuò)誤；在中，則與不一定垂直，故錯(cuò)誤；在中，由面面垂直的判定定理得，故正確；在中，則由面面平行的判定定理得，故錯(cuò)誤，故選C.4.執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入，則輸出的值為（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】B【解析】模擬程序的運(yùn)行過程，可得，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件；執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件；執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件；執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為，故選B.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題. 解決程序框圖問題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn)：(1) 不要混淆處理框和輸入框；(2) 注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3) 注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4) 處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5) 要注意各個(gè)框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可.5.等比數(shù)列前項(xiàng)和為，已知，則（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，解得，故選A.6.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函數(shù)，則函數(shù)，函數(shù)的圖象開口向下，經(jīng)過與，符合題意的函數(shù)圖象為D，故選D.7.已知變量與正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)，則由該觀測(cè)的數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：因?yàn)榕c正相關(guān)，排除選項(xiàng)C、D，又因?yàn)榫€性回歸方程恒過樣本點(diǎn)的中心，故排除選項(xiàng)B；故選A考點(diǎn)：線性回歸直線.8.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)（虛）線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為（ ）A. 64B. C. 16D. 【答案】D【解析】根據(jù)三視圖知幾何體是：三棱錐為棱長(zhǎng)為的正方體一部分，直觀圖如圖所示：是棱的中點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)得，平面的面積，所以該多面體的體積，故選D.9.是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則是點(diǎn)在內(nèi)部（不含邊界）的（ ）A 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】若，點(diǎn)在內(nèi)部，則，反之不成立，例如時(shí)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，是點(diǎn)在內(nèi)部，（不含邊界）的必要不充分條件，故選B.10.命題p：“，”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A B. C. D. 【答案】D【解析】“”是假命題，等價(jià)于是真命題，由，得：，由得：，故的最大值是，故只需，解得，故選D.11.如圖，在正方體中，平面經(jīng)過，直線，則平面截該正方體所得截面的面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如圖所示，連接與交于，取的中點(diǎn)，連接，則，平面平面平面，是滿足條件的截面，由正方體的性質(zhì)可得，平面截該正方體所得截面的面積為，故選D.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理棱錐的體積公式，屬于難題.證明線面平行的常用方法：利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 12.若存在實(shí)數(shù),當(dāng)時(shí),恒成立, 則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：作出的圖象，如圖，當(dāng)時(shí)，由圖知，合題意，排除選項(xiàng)C、D,當(dāng)時(shí)，由圖知不恒成立，排除A，故選B考點(diǎn)：1、分段函數(shù)的解析式及圖象；2、不等式恒成立、數(shù)形結(jié)合思想及選擇題的特殊值法【 方法點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式及圖象、不等式恒成立、數(shù)形結(jié)合思想及選擇題的特殊值法，屬于難題特殊值法解答選擇題是高中數(shù)學(xué)一種常見的解題思路和方法，這種方法即可以提高做題速度和效率，又能提高準(zhǔn)確性，這種方法主要適合下列題型:（1）求值問題（可將選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證）；（2）求范圍問題（可在選項(xiàng)中取特殊值，逐一排除）；（3）圖象問題（可以用函數(shù)性質(zhì)及特殊點(diǎn)排除）；（4）解方程、求解析式、求通項(xiàng)、求前項(xiàng)和公式問題等等第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲200個(gè)點(diǎn)，有30個(gè)點(diǎn)落入圖形中，則圖形的面積的估計(jì)值為_. 【答案】0.6【解析】由題意可得正方形面積為 ，設(shè)不規(guī)則圖形的面積為，由幾何概型概率公式可得，故答案為14.設(shè)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_【答案】【解析】由題意可得F1(c,0),M(a,b)，直線MF1的斜率為tan30=，即有，即，即為c=2a,可得.故答案為：2.15.若數(shù)列滿足：且，數(shù)列滿足，則數(shù)列的最大項(xiàng)為第_項(xiàng)【答案】6【解析】由，且，得，則，累加得， ，由，得，即，數(shù)列的最大項(xiàng)為第項(xiàng)，故答案為.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查已知數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)以及數(shù)列最大項(xiàng)問題，屬于難題題.由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)常用的方法有：（1）累加法（相鄰兩項(xiàng)的差成等差、等比數(shù)列）；累乘法（相鄰兩項(xiàng)的積為特殊數(shù)列）；（3）構(gòu)造法，形如的遞推數(shù)列求通項(xiàng)往往用構(gòu)造法，即將利用待定系數(shù)法構(gòu)造成的形式，再根據(jù)等比數(shù)例求出的通項(xiàng)，進(jìn)而得出的通項(xiàng)公式.16.已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)，（，其中互不相等）處的切線互相平行，則的取值范圍是_.【答案】【解析】函數(shù)，曲線在點(diǎn),其中互不相等）處的切線互相平行，即在點(diǎn)處的值相等，畫出導(dǎo)函數(shù)的圖象，如圖， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，必須滿足，故答案為.三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，.（1）求；（2）若，求的取值范圍.【答案】(1) ;(2) .【解析】試題分析：（1）由，利用正弦定理可得，又，代入化簡(jiǎn)即可得出即 ；（2）由正弦定理可得：，即可得出.試題解析：（1）即又 即 （2）解法一：，即又由三角形邊的性質(zhì)知，.解法二：. .18.在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，有6位同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?17分，用表示編號(hào)為的同學(xué)所得成 績(jī)，6位同學(xué)成績(jī)?nèi)绫?，?）求及這6位同學(xué)成績(jī)的方差；（2）從這6位同學(xué)中隨機(jī)選出2位同學(xué)，則恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間中的概率.【答案】(1)詳見解析;(2) .【解析】試題分析：（1）由位同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)榉趾?位同學(xué)成績(jī)分布表，能求出，進(jìn)而能這位同學(xué)成績(jī)的方差；（2）位同學(xué)中成績(jī)?cè)趨^(qū)間中有人，從這位同學(xué)中隨機(jī)選出位同學(xué)，先列舉出基本事件總數(shù)，再列舉出怡有位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間中包含的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式求出怡有位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間中的概率.試題解析：（1）由得 （2）由數(shù)據(jù)知，6名同學(xué)中成績(jī)?cè)谥g的有兩人，記為，成績(jī)不在之間的有4 人，記為，從6位同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)所有可能結(jié)果組成的基本事件空間可以為 基本事件空間中共有基本事件15個(gè)，設(shè)恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間中為事件，中含基本事件8個(gè)，【方法點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式，以及隨機(jī)變量的均值與方差的基本含義，屬于難題，利用古典概型概率公式,求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，一定要按順序逐個(gè)寫出：先，. ，再，.依次 . 這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.19.如圖，在直三棱柱中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且（1）證明：平面；（2）若，求三棱錐的體積【答案】（1）見解析；（2）【解析】試題分析：（1）取中點(diǎn)，記為點(diǎn)，連結(jié)，由三角形中位線定理積比例性質(zhì)，結(jié)合面面平行的判定定理可得平面 /平面，從而可證明平面；（2）利用點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面 的距離的求出棱錐的高，利用三棱錐的體積公式求三棱錐的體積.試題解析：（1）取中點(diǎn)，記為點(diǎn)，連結(jié)為中點(diǎn)，為中點(diǎn)又,又平面平面又平面平面（2）方法一：由于為中點(diǎn)，故兩點(diǎn)到平面的距離相等又 點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面 的距離的，即，方法二： 20.已知橢圓的離心率為，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓左右兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，設(shè)點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線和橢圓交于兩點(diǎn)，且直線與軸分別交于兩點(diǎn)，求證：.【答案】(1) ;(2)詳見解析.【解析】試題分析：（1）由，又，聯(lián)立求出 、 、的值，即可得出橢圓的方程；（2）設(shè)，則，求出直線的方程與直線方程，可得的坐標(biāo)，利用斜率公式只要證明即可得出結(jié)果.試題解析：，橢圓方程為（2）設(shè)，則，直線方程為令,則同理和均為銳角，與互余，【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ；找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、的方程組；得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）設(shè)，若函數(shù)在 內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】試題分析：（1）求出的導(dǎo)數(shù)，并分解因式，對(duì)討論，分，求得 的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得 的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，可得所求極值點(diǎn)；（2）求出的解析式和導(dǎo)數(shù)，由題意可得有兩個(gè)不為的正根，運(yùn)用判別式大于零和韋達(dá)定理，可得，化簡(jiǎn)，由不等式的性質(zhì)即可得證.試題解析：（1）若，由得；由，可得，即函數(shù)在上為增函數(shù)；由，可得，即函數(shù)在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上有唯一的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn).若，由得；由，可得或，即函數(shù)在上為增函數(shù)；由，可得，即函數(shù)在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上有極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn).若，則，在上大于等于零恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn). 若，由得；由可得或，所以函數(shù)在上為增函數(shù)；由，可得，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上有極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn).（2），則記，由題意可知方程即在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根.所以解得：請(qǐng)考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.如圖，已知圓是的外接圓，是邊上的高，是圓的直徑.（1）求證：； （2）過點(diǎn)作圓的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng).【答案】(1)詳見解析;(2) .【解析】試題分析：（1）連接，由，得，由對(duì)應(yīng)邊成比例即得；（2）是圓的切線，設(shè)，得，故.試題解析：（1）連接.則有直角三角形，所以，又所以，所以即，又，故（2）因?yàn)闉閳A的切線，所以又，從而解得因?yàn)椋?，所以，?23. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線的傾斜角為45，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線和曲線的交點(diǎn)為點(diǎn).（1）求直線的參數(shù)方程；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由于定點(diǎn)為，傾斜角為，根據(jù)直線參數(shù)方程的概念，有；（2）對(duì)方程兩邊乘以，化簡(jiǎn)得，將直線的參數(shù)方程代入，寫出根與系數(shù)關(guān)系，理由難過參數(shù)的幾何意義有.試題解析：（1）由條件知，直線的傾斜角，設(shè)點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)的有向距離為，則5分（2）曲線的直角坐標(biāo)方程為，由此得，即，設(shè)為此方程的兩個(gè)根，因?yàn)楹偷慕稽c(diǎn)為，所以分別是點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)，由韋達(dá)定理得10分考點(diǎn)：坐標(biāo)系與參數(shù)方程【方法點(diǎn)晴】直線的參數(shù)方程中，參數(shù)的系數(shù)的平方和為時(shí)，才有幾何意義且其幾何意義為：是直線上定點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)的距離.這類型的題目要注意化歸思想的應(yīng)用，即對(duì)于含有極坐標(biāo)方程和參數(shù)的題目，全部轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程后再求解數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)