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全國(guó)2007年4月高等教育自學(xué)考試線(xiàn)性代數(shù)(經(jīng)管類(lèi))參考答案課程代碼:04184一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題,每小題2分,共20分)1設(shè)A為3階方陣,且,則(D)A-4B-1C1D42設(shè)矩陣A=(1,2),B=,C=,則下列矩陣運(yùn)算中有意義的是(B)AACBBABCCBACDCBA3設(shè)A為任意n階矩陣,下列矩陣中為反對(duì)稱(chēng)矩陣的是(B)AAATBAATCAATDATA,所以AAT為反對(duì)稱(chēng)矩陣 4設(shè)2階矩陣A=,則A*=(A)ABCD5矩陣的逆矩陣是(C)ABCD6設(shè)矩陣A=,則A中(D)A所有2階子式都不為零B所有2階子式都為零C所有3階子式都不為零D存在一個(gè)3階子式不為零7設(shè)A為mn矩陣,齊次線(xiàn)性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是(A)AA的列向量組線(xiàn)性相關(guān)BA的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)CA的行向量組線(xiàn)性相關(guān)DA的行向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)Ax=0有非零解 A的列向量組線(xiàn)性相關(guān)8設(shè)3元非齊次線(xiàn)性方程組Ax=b的兩個(gè)解為,且系數(shù)矩陣A的秩r(A)=2,則對(duì)于任意常數(shù)k, k1, k2,方程組的通解可表為(C)Ak1(1,0,2)T+k2(1,-1,3)TB(1,0,2)T+k (1,-1,3)T C(1,0,2)T+k (0,1,-1)T D(1,0,2)T+k (2,-1,5)T是Ax=b的特解,是Ax=0的基礎(chǔ)解系,所以Ax=b的通解可表為(1,0,2)T+k (0,1,-1)T9矩陣A=的非零特征值為(B)A4B3C2D1,非零特征值為104元二次型的秩為(C)A4B3C2D1,秩為2二、填空題(本大題共10小題,每小題2分,共20分)11若則行列式=_0_行成比例值為零12設(shè)矩陣A=,則行列式|ATA|=_4_13若齊次線(xiàn)性方程組有非零解,則其系數(shù)行列式的值為_(kāi)0_14設(shè)矩陣A=,矩陣,則矩陣B的秩r(B)= _2_=,r(B)=215向量空間V=x=(x1,x2,0)|x1,x2為實(shí)數(shù)的維數(shù)為_(kāi)2_16設(shè)向量,則向量,的內(nèi)積=_10_17設(shè)A是43矩陣,若齊次線(xiàn)性方程組Ax=0只有零解,則矩陣A的秩r(A)= _3_18已知某個(gè)3元非齊次線(xiàn)性方程組Ax=b的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為:,若方程組無(wú)解,則a的取值為_(kāi)0_時(shí),19設(shè)3元實(shí)二次型的秩為3,正慣性指數(shù)為2,則此二次型的規(guī)范形是秩,正慣性指數(shù),則負(fù)慣性指數(shù)規(guī)范形是20設(shè)矩陣A=為正定矩陣,則a的取值范圍是,三、計(jì)算題(本大題共6小題,每小題9分,共54分)21計(jì)算3階行列式解:22設(shè)A=,求解:,23設(shè)向量組,(1)求向量組的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組;(2)將其余向量表為該極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組的線(xiàn)性組合解:(1)是一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組;(2)24求齊次線(xiàn)性方程組 的基礎(chǔ)解系及通解解:,基礎(chǔ)解系為,通解為 25設(shè)矩陣A=,求正交矩陣P,使為對(duì)角矩陣解:,特征值,對(duì)于,解齊次線(xiàn)性方程組:,基礎(chǔ)解系為 ,單位化為 ;對(duì)于,解齊次線(xiàn)性方程組:,基礎(chǔ)解系為 ,單位化為 令,則P是正交矩陣,使26利用施密特正交化方法,將下列向量組化為正交的單位向量組:, 解:正交化,得正交的向量組: ,;單位化,得正交的單位向量組:,四、證明題(本大題6分)27證明:若A為3階可逆的上三角矩陣,則也是上三角矩陣證:設(shè),則,其中,所以是上三角矩陣507年7月線(xiàn)性代數(shù)(經(jīng)管類(lèi))試題答案全國(guó)2007年7月高等教育自學(xué)考試線(xiàn)性代數(shù)(經(jīng)管類(lèi))試題答案課程代碼:04184一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題,每小題2分,共20分)1設(shè)A是3階方陣,且|A|=,則|A-1|=(A)A-2BCD22設(shè)A為n階方陣,為實(shí)數(shù),則(C)ABCD3設(shè)A為n階方陣,令方陣B=A+AT,則必有(A)ABT=BBB=2ACDB=04矩陣A=的伴隨矩陣A*=(D)ABCD5下列矩陣中,是初等矩陣的為(C)ABCD6若向量組,線(xiàn)性相關(guān),則實(shí)數(shù)t=(B)A0B1C2D37設(shè)A是45矩陣,秩(A)=3,則(D)AA中的4階子式都不為0BA中存在不為0的4階子式CA中的3階子式都不為0DA中存在不為0的3階子式8設(shè)3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值為,則秩(A)=(B)A0B1C2D3相似于,秩(A)= 秩(D)=19設(shè)A為n階正交矩陣,則行列式(C)A-2B-1C1D2A為正交矩陣,則,10二次型的正慣性指數(shù)p為(B)A0B1C2D3二、填空題(本大題共10小題,每小題2分,共20分)11設(shè)矩陣A=,則行列式_1_12行列式中元素的代數(shù)余子式_-2_13設(shè)矩陣A=,B=,則_5_14已知,其中,則15矩陣A=的行向量組的秩=_2_,秩=216已知向量組,是的一組基,則向量在這組基下的坐標(biāo)是設(shè),即,得,解得17已知方程組存在非零解,則常數(shù)t=_2_,18已知3維向量,則內(nèi)積_1_19已知矩陣A=的一個(gè)特征值為0,則=_1_,所以,即,20二次型的矩陣是三、計(jì)算題(本大題共6小題,每小題9分,共54分)21計(jì)算行列式D=的值解:22設(shè)矩陣A=,B=,求矩陣方程XA=B的解X解:,23設(shè)矩陣A=,問(wèn)a為何值時(shí),(1)秩(A)=1;(2)秩(A)=2解:(1)時(shí),秩(A)=1;(2)時(shí),秩(A)=224求向量組=,=,=,=的秩與一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組解:,秩為2,,是一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組25求線(xiàn)性方程組的通解解:,通解為26設(shè)矩陣,求可逆矩陣P及對(duì)角矩陣D,使得解:,特征值,對(duì)于,解齊次線(xiàn)性方程組: ,基礎(chǔ)解系為 ;對(duì)于,解齊次線(xiàn)性方程組:,基礎(chǔ)解系為 ,令,則P是可逆矩陣,使四、證明題(本大題6分)27設(shè)向量組,線(xiàn)性無(wú)關(guān),證明向量組,也線(xiàn)性無(wú)關(guān)證:設(shè),即,由,線(xiàn)性無(wú)關(guān),得,因?yàn)椋匠探M只有零解,所以,線(xiàn)性無(wú)關(guān)10全國(guó)2007年10月高等教育自學(xué)考試線(xiàn)性代數(shù)(經(jīng)管類(lèi))試題答案課程代碼:04184一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題,每小題2分,共20分)1設(shè)行列式=1,=2,則=(D)A-3B-1C1D3=+=1+2=32設(shè)A為3階方陣,且已知,則(B)A-1BCD1,3設(shè)矩陣A,B,C為同階方陣,則(B)AATBTCTBCTBTATCCTATBTDATCTBT4設(shè)A為2階可逆矩陣,且已知,則A=(D)A2BC2D,5設(shè)向量組線(xiàn)性相關(guān),則必可推出(C)A中至少有一個(gè)向量為零向量B中至少有兩個(gè)向量成比例C中至少有一個(gè)向量可以表示為其余向量的線(xiàn)性組合D中每一個(gè)向量都可以表示為其余向量的線(xiàn)性組合6設(shè)A為mn矩陣,則齊次線(xiàn)性方程組Ax=0僅有零解的充分必要條件是(A)AA的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)BA的列向量組線(xiàn)性相關(guān)CA的行向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)DA的行向量組線(xiàn)性相關(guān)Ax=0僅有零解 A的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)7已知是非齊次線(xiàn)性方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解,是其導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系,為任意常數(shù),則方程組Ax=b的通解可以表為(A)ABCD是Ax=b的特解,是Ax=0的基礎(chǔ)解系8設(shè)3階矩陣A與B相似,且已知A的特征值為2,2,3,則(A)ABC7D12B相似于,9設(shè)A為3階矩陣,且已知,則A必有一個(gè)特征值為(B)ABCDA必有一個(gè)特征值為10二次型的矩陣為(C)ABCD二、填空題(本大題共10小題,每小題2分,共20分)11設(shè)矩陣A=,B=,則A+2B=12設(shè)3階矩陣A=,則,13設(shè)3階矩陣A=,則A*A=14設(shè)A為mn矩陣,C是n階可逆矩陣,矩陣A的秩為r,則矩陣B=AC的秩為_(kāi)r_B=AC,其中C可逆,則A經(jīng)過(guò)有限次初等變換得到,它們的秩相等15設(shè)向量,則它的單位化向量為16設(shè)向量,則由線(xiàn)性表出的表示式為設(shè),即, 17已知3元齊次線(xiàn)性方程組有非零解,則a=_2_,18設(shè)A為n階可逆矩陣,已知A有一個(gè)特征值為2,則必有一個(gè)特征值為是A的特征值,則是的特征值19若實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A=為正定矩陣,則a的取值應(yīng)滿(mǎn)足,20二次型的秩為_(kāi)2_,秩為2三、計(jì)算題(本大題共6小題,每小題9分,共54分)21求4階行列式的值解:22設(shè)向量,求(1)矩陣;(2)向量與的內(nèi)積解:(1);(2)23設(shè)2階矩陣A可逆,且,對(duì)于矩陣,令,求解:,=24求向量組,的秩和一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組解:,秩為3,是一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組25給定線(xiàn)性方程組(1)問(wèn)a為何值時(shí),方程組有無(wú)窮多個(gè)解;(2)當(dāng)方程組有無(wú)窮多個(gè)解時(shí),求出其通解(用一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)解:(1),時(shí),方程組有無(wú)窮多解;(2)時(shí),通解為26求矩陣A=的全部特征值及對(duì)應(yīng)的全部特征向量解:,特征值,對(duì)于,解齊次線(xiàn)性方程組:,基礎(chǔ)解系為,對(duì)應(yīng)的全部特征向量為(是任意非零常數(shù));對(duì)于,解齊次線(xiàn)性方程組:,基礎(chǔ)解系為,對(duì)應(yīng)的全部特征向量為(是不全為零的任意常數(shù))四、證明題(本大題6分)27設(shè)A是n階方陣,且,證明A可逆證:由,得,所以A可逆,且15全國(guó)2008年1月高等教育自學(xué)考試線(xiàn)性代數(shù)(經(jīng)管類(lèi))試題答案課程代碼:04184一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題,每小題2分,共20分)1設(shè)A為三階方陣且則(D)A-108B-12C12D1082如果方程組有非零解,則k=(B)A-2B-1C1D2,3設(shè)A、B為同階方陣,下列等式中恒正確的是(D)ABCD4設(shè)A為四階矩陣,且,則(C)A2B4C8D125設(shè)可由向量,線(xiàn)性表示,則下列向量中只能是(B)ABCD6向量組的秩不為()的充分必要條件是(C)A全是非零向量B全是零向量C中至少有一個(gè)向量可由其它向量線(xiàn)性表出D中至少有一個(gè)零向量的秩不為線(xiàn)性相關(guān)7設(shè)A為m矩陣,方程AX=0僅有零解的充分必要條件是(C)AA的行向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)BA的行向量組線(xiàn)性相關(guān)CA的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)DA的列向量組線(xiàn)性相關(guān)AX=0僅有零解A的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)8設(shè)A與B是兩個(gè)相似n階矩陣,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(D)AB秩(A)=秩(B)C存在可逆陣P,使D9與矩陣A=相似的是(A)ABCD有相同特征值的同階對(duì)稱(chēng)矩陣一定(正交)相似10設(shè)有二次型,則(C)A正定B負(fù)定C不定D半正定當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí)總之,有正有負(fù)二、填空題(本大題共10小題,每小題2分,共20分)11若,則k=,12設(shè)A=,B=,則AB=AB=13設(shè)A=,則14設(shè)A為3矩陣,且方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)解向量,則秩(A)= _1_秩(A)=15已知A有一個(gè)特征值,則必有一個(gè)特征值_6_是A的特征值,則是的特征值16方程組的通解是,通解是17向量組,的秩是_2_,秩是218矩陣A=的全部特征向量是,基礎(chǔ)解系為,19設(shè)三階方陣A的特征值分別為,且B與A相似,則_-16_20矩陣A=所對(duì)應(yīng)的二次型是三、計(jì)算題(本大題共6小題,每小題9分,共54分)21計(jì)算四階行列式的值解:22設(shè)A=,求解:,=23設(shè)A=,B=,且A,B,X滿(mǎn)足,求,解:由,得,即,24求向量組,的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組解:,是一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組25求非齊次方程組的通解解:,通解為 26設(shè)A=,求P使為對(duì)角矩陣解:,特征值,對(duì)于,解齊次線(xiàn)性方程組:,基礎(chǔ)解系為;對(duì)于,解齊次線(xiàn)性方程組:,基礎(chǔ)解系為;對(duì)于,解齊次線(xiàn)性方程組:,基礎(chǔ)解系為 令,則P是可逆矩陣,使四、證明題(本大題6分)27設(shè)是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系,證明,也是Ax =0的基礎(chǔ)解系證:(1)Ax=0的基礎(chǔ)解系由3個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量組成(2)是Ax=0的解向量,則,也是Ax=0的解向量(3)設(shè),則,由線(xiàn)性無(wú)關(guān),得,系數(shù)行列式,只有零解,所以,線(xiàn)性無(wú)關(guān)由(1)(2)(3)可知,,也是Ax =0的基礎(chǔ)解系28全國(guó)2008年4月高等教育自學(xué)考試線(xiàn)性代數(shù)(經(jīng)管類(lèi))試題答案課程代碼:04184一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題,每小題2分,共20分)1設(shè)行列式D=3,D1=,則D1的值為(C)A-15B-6C6D15D1=2設(shè)矩陣=,則(C)ABCD3設(shè)3階方陣A的秩為2,則與A等價(jià)的矩陣為(B)ABCD4設(shè)A為n階方陣,則(A)ABCD5設(shè)A=,則(B)A-4B-2C2D46向量組()線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是(D)A均不為零向量B中任意兩個(gè)向量不成比例C中任意個(gè)向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)D中任意一個(gè)向量均不能由其余個(gè)向量線(xiàn)性表示7設(shè)3元線(xiàn)性方程組,A的秩為2,,為方程組的解,則對(duì)任意常數(shù)k,方程組的通解為(D)ABCD取的特解:;的基礎(chǔ)解系含一個(gè)解向量:8設(shè)3階方陣A的特征值為,則下列矩陣中為可逆矩陣的是(D)ABCD不是A的特征值,所以,可逆9設(shè)=2是可逆矩陣A的一個(gè)特征值,則矩陣必有一個(gè)特征值等于(A)ABC2D4是A的特征值,則是的特征值10二次型的秩為(C)A1B2C3D4,秩為3二、填空題(本大題共10小題,每小題2分,共20分)11行列式=_0_行成比例值為零12設(shè)矩陣A=,P=,則=13設(shè)矩陣A=,則14設(shè)矩陣A=,若齊次線(xiàn)性方程組Ax=0有非零解,則數(shù)t=_2_,15已知向量組,的秩為2,則數(shù)t=_-2_,秩為2,則16已知向量,與的內(nèi)積為2,則數(shù)k=,即,17設(shè)向量為單位向量,則數(shù)b=_0_,18已知=0為矩陣A=的2重特征值,則A的另一特征值為_(kāi)4_,所以19二次型的矩陣為20已知二次型正定,則數(shù)k的取值范圍為,三、計(jì)算題(本大題共6小題,每小題9分,共54分)21計(jì)算行列式D=的值解:22已知矩陣A=,B=,(1)求A的逆矩陣;(2)解矩陣方程解:(1),=;(2)=23設(shè)向量,求(1)矩陣;(2)解:(1)=;(2)=24設(shè)向量組,求向量組的秩和一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組,并將其余向量用該極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示解:,向量組的秩為3,是一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組,25已知線(xiàn)性方程組,(1)求當(dāng)為何值時(shí),方程組無(wú)解、有解;(2)當(dāng)方程組有解時(shí),求出其全部解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示)解:(1)時(shí),方程組無(wú)解,時(shí),方程組有解;(2)時(shí),全部解為26設(shè)矩陣A=,(1)求矩陣A的特征值與對(duì)應(yīng)的全部特征向量;(2)判定A是否可以與對(duì)角陣相似,若可以,求可逆陣P和對(duì)角陣,使得解:,特征值,對(duì)于,解齊次線(xiàn)性方程組:,基礎(chǔ)解系為 ,對(duì)應(yīng)的全部特征向量為(是任意非零常數(shù));對(duì)于,解齊次線(xiàn)性方程組:,基礎(chǔ)解系為 ,對(duì)應(yīng)的全部特征向量為(是任意非零常數(shù))令,則P是可逆矩陣,使得四、證明題(本題6分)27設(shè)n階矩陣A滿(mǎn)足,證明可逆,且證:由,得,所以可逆,且全國(guó)2008年7月高等教育自學(xué)考試線(xiàn)性代數(shù)(經(jīng)管類(lèi))試題答案課程代碼:04184一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題,每小題2分,共20分)1設(shè)3階方陣,其中()為A的列向量,且,則(C)A-2B0C2D6,2若方程組有非零解,則k=(A)A-1B0C1D2,3設(shè)A,B為同階可逆方陣,則下列等式中錯(cuò)誤的是(C)ABCD反例:,4設(shè)A為三階矩陣,且,則(A)AB1C2D45已知向量組A:中線(xiàn)性相關(guān),那么(B)A線(xiàn)性無(wú)關(guān)B線(xiàn)性相關(guān)C可由線(xiàn)性表示D線(xiàn)性無(wú)關(guān)部分相關(guān)全體相關(guān)6向量組的秩為,且,則(C)A線(xiàn)性無(wú)關(guān)B中任意個(gè)向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)C中任意+1個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)D中任意-1個(gè)向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)7若與相似,則(D)A,都和同一對(duì)角矩陣相似B,有相同的特征向量CD8設(shè)是的解,是對(duì)應(yīng)齊次方程組的解,則(B)A是的解B是的解C是的解D是的解9下列向量中與正交的向量是(D)ABCD10設(shè),則二次型是(B)A正定B負(fù)定C半正定D不定,對(duì)應(yīng)的,正定,負(fù)定二、填空題(本大題共10小題,每小題2分,共20分)11設(shè)A為三階方陣且,則_24_12已知,則_0_,13設(shè),則,14設(shè)A為45的矩陣,且秩(A)=2,則齊次方程組的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)是_3_基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)是15設(shè)有向量,則的秩是_2_,秩是216方程組的通解是,通解是17設(shè)A滿(mǎn)足,則,18設(shè)三階方陣A的三個(gè)特征值為,則_24_A的特征值為,則的特征值為,19設(shè)與的內(nèi)積,則內(nèi)積_-8_20矩陣所對(duì)應(yīng)的二次型是三、計(jì)算題(本大題共6小題,每小題9分,共54分)21計(jì)算6階行列式解:22已知,滿(mǎn)足,求解:,=,=23求向量組,的秩和其一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組解:,秩為2,是一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組24當(dāng)為何值時(shí),方程組有無(wú)窮多解?并求出其通解解:,時(shí),有無(wú)窮多解此時(shí),通解為25已知,求其特征值與特征向量解:,特征值,對(duì)于,解齊次線(xiàn)性方程組:,基礎(chǔ)解系為 ,對(duì)應(yīng)的全部特征向量為(是任意非零常數(shù));對(duì)于,解齊次線(xiàn)性方程組:,基礎(chǔ)解系為 ,對(duì)應(yīng)的全部特征向量為(是任意非零常數(shù))26設(shè),求解:,特征值,對(duì)于,解齊次線(xiàn)性方程組:,基礎(chǔ)解系為 ;對(duì)于,解齊次線(xiàn)性方程組:,基礎(chǔ)解系為 令,則,四、證明題(本大題6分)27設(shè)為的非零解,為()的解,證明與線(xiàn)性無(wú)關(guān)證:設(shè),則,由此可得,從而,又,可得,所以與線(xiàn)性無(wú)關(guān)42全國(guó)2008年10月高等教育自學(xué)考試線(xiàn)性代數(shù)(經(jīng)管類(lèi))試題答案課程代碼:04184一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題,每小題2分,共20分)1設(shè)A為3階方陣,且,則(A)A-9B-3C-1D9,2設(shè)A、B為n階方陣,滿(mǎn)足,則必有(D)ABCD3已知矩陣A=,B=,則(A)ABCD=4設(shè)A是2階可逆矩陣,則下列矩陣中與A等價(jià)的矩陣是(D)ABCD5設(shè)向量,下列命題中正確的是(B)A若線(xiàn)性相關(guān),則必有線(xiàn)性相關(guān)B若線(xiàn)性無(wú)關(guān),則必有線(xiàn)性無(wú)關(guān)C若線(xiàn)性相關(guān),則必有線(xiàn)性無(wú)關(guān)D若線(xiàn)性無(wú)關(guān),則必有線(xiàn)性相關(guān)6已知是齊次線(xiàn)性方程組Ax=0的兩個(gè)解,則矩陣A可為(A)ABCD,7設(shè)mn矩陣A的秩r(A)=n-3(n3),是齊次線(xiàn)性方程組Ax=0的三個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量,則方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為(D)ABCD其中只有線(xiàn)性無(wú)關(guān)8已知矩陣A與對(duì)角矩陣D=相似,則(C)AABDCED存在,使,9設(shè)矩陣A=,
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