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數(shù)列問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思想http:/www.DearEDU.com田寶運(yùn) 劉中原 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,蘊(yùn)含著極其豐富的數(shù)學(xué)思想。若能有效的運(yùn)用其數(shù)學(xué)思想去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題,在高考中大為有益。 一、方程思想 等差(或等比)數(shù)列的通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式集中了等差(或等比)數(shù)列的五個(gè)基本元素、d(或q)、n、?!爸蠖笔堑炔睿ɑ虻缺龋?shù)列最基本的題型,通過(guò)解方程的方法達(dá)到解決問(wèn)題的目的。 例1 在等比數(shù)列中,已知,求的前8項(xiàng)的和。 解: (1) 由 有 將代入(1),得(舍去) 將代入(1),得。 當(dāng)q=2時(shí),;當(dāng)時(shí), 二、函數(shù)思想 數(shù)列是一種特殊的函數(shù),動(dòng)態(tài)的函數(shù)觀點(diǎn)是解決數(shù)列問(wèn)題的有效方法。數(shù)列的項(xiàng)可看作定義在正整數(shù)集(或它的有限子集)上的函數(shù),如等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)的和公式。當(dāng)時(shí),可以看作自變量n的一次和二次函數(shù)。因此利用函數(shù)的思想方法去研究數(shù)列問(wèn)題不僅能加深對(duì)數(shù)列的理解,也有助于學(xué)生解題思維能力的培養(yǎng)及增強(qiáng)應(yīng)用函數(shù)思想解題的意識(shí)。 例2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和為,且,求。 解:顯然公差,所以是n的二次函數(shù)且無(wú)常數(shù)項(xiàng)。于是設(shè),則 解得 所以 從而 例3 已知數(shù)列中,求證。 解:設(shè),則。 因?yàn)?,所以,所?即在2,上是單調(diào)減函數(shù),故當(dāng)時(shí),。 三、分類討論思想 分類是按一定的標(biāo)準(zhǔn)把所要研究的對(duì)象分成若干種情況,把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成若干個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題,從而獲得完整的解答。 例4 已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1,公比為q(q0),前n項(xiàng)和為,且,求。 解:(1)當(dāng)q=1時(shí),則,所以。 (2)當(dāng)0q1時(shí),則,。由,知 所以 綜上得 四、數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)列是特殊函數(shù),它的圖象是由一些有規(guī)律的間斷點(diǎn)構(gòu)成的,具有鮮明的幾何意義。如等差數(shù)列在平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)(n,)、(n,)、(n,)(),當(dāng)時(shí)分別在直線、拋物線及直線上,這樣就可以利用這些間斷點(diǎn)的規(guī)律,借形攻數(shù)。 例5 設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,若,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ) A. d0B. C. D. 與均為的最大值 解:因?yàn)樵谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中點(diǎn)(n,)在拋物線上,且,所以拋物線對(duì)稱軸方程為 又易知d0,所以與均為的最大值且,所以。 故選C。 五、化歸思想 就是把待解決的問(wèn)題或未知解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化歸納為已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。 例6 已知數(shù)列的首項(xiàng),前n項(xiàng)和為,且。求的通項(xiàng)公式。 解:當(dāng)時(shí), 而,即 所以數(shù)列是公比為
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