河南省許昌高級中學(xué)學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期尖子生期初考試試題理（含解析）

許昌高中2021屆高二尖子生上學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試題（理科）一、選擇題1.已知等差數(shù)列的通項公式為， 則它的公差為 （ ）A. 2B. 3C. D. 【答案】C【解析】試題分析：由可得，所以公差故C正確考點：等差數(shù)列的定義2.在ABC中，若，則A與B的大小關(guān)系為（ ）A. B. C. D. A、B的大小關(guān)系不能確定【答案】A【解析】【詳解】因為在中，利用正弦定理，則可知ab，那么再利用大邊對大角，因此選A.3.已知，則取最大值時值為()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】配湊成和為定值，再利用均值不等式。【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)即時取等，所以選A.【點睛】法一：構(gòu)造和為定值，再利用均值不等式。法二：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解。4.同學(xué)們，當(dāng)你任意擺放手中筆的時候，那么桌面所在的平面一定存在直線與筆所在的直線 A. 平行B. 相交C. 異面D. 垂直【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)條件可知，可以借助投影的概念對及三垂線定理選出正確選項【詳解】解：由題意，若筆所在直線若與地面垂直，則在地面總有這樣的直線，使得它與筆所在直線垂直；若筆所在直線若與地面不垂直，則其必在地面上有一條投影線，在平面中一定存在與此投影線垂直的直線，由三垂線定理知，與投影垂直的直線一定與此斜線垂直，綜上，當(dāng)你任意擺放手中筆的時候，那么桌面所在的平面一定存在直線與筆所在的直線垂直故選：D【點睛】本題考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線面垂直與三垂線定理，再結(jié)合直線與地面位置關(guān)系的判斷得出答案5.已知某等差數(shù)列共有項，其奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則其公差為()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】所有的偶數(shù)項減所有的奇數(shù)項=10d【詳解】，選B.【點睛】每一個偶數(shù)項前面都有一個奇數(shù)項，他們的差值為d.6.設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且，那么的值是().A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】同底對數(shù)相加，真數(shù)相乘。利用等比數(shù)列的性質(zhì)計算【詳解】又所以故選B【點睛】本題考查同底對數(shù)的運算，等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。7.下列推理錯誤的是（）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】ABC正確，當(dāng)c=0時D錯誤【詳解】A選項：在兩邊同時除以ab得到，正確B選項:又所以有，正確。C選項: 又，所以有即正確D選項：當(dāng)c=0時不成立，錯誤故選D【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。8.已知非零向量，若，則與的夾角（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件容易求出t=4，從而得出，從而得出可設(shè)與的夾角為，這樣根據(jù) 即可求出cos，進而得出的值【詳解】因t=4；，設(shè)與的夾角為，則：，故答案為：A【點睛】本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個方面:(1)求向量的夾角， （此時往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量 的模（平方后需求）.9.在中，則的形狀為（）A. 正三角形B. 等腰三角形或直角三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【答案】D【解析】【分析】先用倍角公式降次，后化簡，再利用 展開化簡即得出答案【詳解】，選D.【點睛】根據(jù)所給式子判斷三角形的形狀，利用正余弦定理將邊化角或者角化邊化簡式子。10.如果的解集為，則對于函數(shù)應(yīng)有 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】不等式ax2+bx+c0的解集為x|2x4，可得：a0，2，4是ax2+bx+c=0的兩個實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：函數(shù)f（x）=ax2+bx+c=a（x22x8）=a（x1）29a，（a0）再利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出【詳解】不等式ax2+bx+c0的解集為x|2x4，a0，2，4是ax2+bx+c=0的兩個實數(shù)根，2+4=，24=那么對于函數(shù)f（x）=ax2+bx+c=a（x22x8）=a（x1）29a，（a0）此拋物線開口向下，其圖象關(guān)系直線x=1對稱，f（1）=f（3），f（2）f（3）f（5），f（2）f（1）f（5），故選：D【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、“三個二次”的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題11.如圖，一艘船自西向東勻速航行，上午時到達(dá)一座燈塔的南偏西距塔海里的處，下午2時到達(dá)這座燈塔的東南方向的處，則這艘船航行的速度為（）A. 海里/時B. 海里/時C. 海里/時D. 海里/時【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，直接利用正弦定理解出MN.【詳解】，在 中有 海里/時，選A.【點睛】本題考查正弦定理的使用，屬于簡單題。12.設(shè)二次函數(shù)，若對任意的實數(shù)，都存在實數(shù)使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】寫出問題條件的反面，轉(zhuǎn)換成 在上的最大值與最小值之差小于2.【詳解】問題條件的反面為“若存在實數(shù)，對任意實數(shù)使得不等式成立”即 只要 在上的最大值與最小值之差小于2即可.當(dāng) ， 得 。當(dāng) 當(dāng)。所以 ，綜上可得,所求實數(shù)的取值范圍是，選D.【點睛】問題轉(zhuǎn)換成只需 在上的最大值與最小值之差小于2.即可，通過討論b的范圍，求出最大值和最小值的差，從而確定b的取值范圍。二、填空題（20分）13.已知，則二元函數(shù)的最小值為_.【答案】【解析】【分析】直接利用不等式： 化簡即可。詳解】根據(jù)均值不等式： 所以有 當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號?！军c睛】直接利用不等式：化簡屬于中檔題14.已知中，角的對邊分別為，滿足.若，則周長的最大值為_【答案】【解析】【分析】利用正弦定理邊化角解出A角，在利用再利用正弦定理角化邊求出周長最大值。【詳解】利用正弦定理 有：所以， ,又 又 【點睛】一般求周長或面積的最值，將其轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問題。15.已知關(guān)于的不等式的解集是空集，則實數(shù)的取值范圍是 【答案】【解析】試題分析：由題意知恒成立，當(dāng)時，不等式化為，顯然恒成立；當(dāng)時，則，即，綜上實數(shù)的取值范圍是，故答案填.考點：1、二次不等式；2、極端不等式恒成立.【思路點晴】本題是一個關(guān)于二次不等式以及極端不等式恒成立的綜合性問題，屬于中檔題.解決本題的基本思路及切入點是：將不等式的解集是空集的問題，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題，在此應(yīng)特別注意二次項的系數(shù)是否為零的問題，因此需要對其進行討論，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象以及判別式，即可求得實數(shù)的取值范圍.16.數(shù)列滿足，則的80項和為 .【答案】【解析】試題分析：因為當(dāng)為奇數(shù)時，所以，因此，此數(shù)列每四項構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列，的項和為，故答案為.考點：1、數(shù)列的遞推公式；2、特殊數(shù)列求和.【方法點睛】本題主要考查數(shù)列的遞推公式及特殊數(shù)列求和，屬于難題.遞推公式是給出數(shù)列的一種常見形式，已知遞推公式求數(shù)列通項及前項和的題型，常見方法有三個：一是把遞推公式進行變形，構(gòu)造出為特殊數(shù)列求出通項；二是根據(jù)歸納推理歸納出通項進一步用數(shù)學(xué)歸納法證明；另外，對于選擇填空題也直接用不完全歸納法求解.三、解答題（70分）17.已知在中，角的對邊分別為，且（1）求角的大小；（2）若，求的面積【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)正弦定理，代入原式，整理，再公共輔助角公式化簡，根據(jù)，計算角；（2）因為知道代入余弦定理，得到，最后代入面積公式，計算面積試題解析：（1）在中，由正弦定理得，即，又角為三角形內(nèi)角，所以，即，又因為，所以（2）在中，由余弦定理得：，則即，解得或，又，所以考點：1正弦定理；2余弦定理；3面積公式18.某工廠修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積為4 800立方米，深度為3米池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元設(shè)池底長方形長為x米（1）求底面積，并用含x的表達(dá)式表示池壁面積；（2）怎樣設(shè)計水池能使總造價最低?最低造價是多少?【答案】（1)1600,（平方米）；（2）池底設(shè)計為邊長40米的正方形時總造價最低，最低造價為268800元.【解析】【詳解】（1）根據(jù)題意，由于修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積為4 800立方米，深度為3米可得底面積為1600，池壁面積s=.（2）同時池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元設(shè)池底長方形長為x米，則可知總造價s=,x=40時，則.故可知當(dāng)x=40時，則有可使得總造價最低,最低造價是268800元.考點：不等式求解最值點評：主要是考查了不等式求解最值的運用，屬于基礎(chǔ)題.19.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5（）求的通項公式；（）求和：【答案】（1）an=2n1.（2）【解析】試題分析：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為，代入建立方程進行求解；（）由是等比數(shù)列，知依然是等比數(shù)列，并且公比是，再利用等比數(shù)列求和公式求解.試題解析：（）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因為a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n1.（）設(shè)等比數(shù)列的公比為q.因為b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以.從而.【名師點睛】本題考查了數(shù)列求和，一般數(shù)列求和的方法：（1）分組轉(zhuǎn)化法，一般適用于等差數(shù)列+等比數(shù)列的形式；（2）裂項相消法求和，一般適用于，,等的形式；（3）錯位相減法求和，一般適用于等差數(shù)列等比數(shù)列的形式；（4）倒序相加法求和，一般適用于首末兩項的和是一個常數(shù)，這樣可以正著寫和與倒著寫和，兩式相加除以2即可得到數(shù)列求和. 20.某小組為了研究晝夜溫差對一種稻谷種子發(fā)芽情況的影響，他們分別記錄了4月1日至4月5日的每天星夜溫差與實驗室每天每100顆種子的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日溫差91011812發(fā)芽數(shù)（顆）3830244117利用散點圖，可知線性相關(guān)。（1）求出關(guān)于的線性回歸方程，若4月6日星夜溫差，請根據(jù)你求得的線性同歸方程預(yù)測4月6日這一天實驗室每100顆種子中發(fā)芽顆數(shù)；（2）若從4月1日 4月5日的五組實驗數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)，求這兩組恰好是不相鄰兩天數(shù)據(jù)的概率.（公式：）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先求出溫差x和發(fā)芽數(shù)y的平均值，即得到樣本中心點，利用最小二乘法得到線性回歸方程的系數(shù)，根據(jù)樣本中心點在線性回歸直線上，得到的值，得到線性回歸方程；再令x5時，得y值；（2）利用列舉法求出基本事件的個數(shù)，即可求出事件“這兩組恰好是不相鄰兩天數(shù)據(jù)”的概率【詳解】（1） ，由公式，求得，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為,當(dāng)， （2）設(shè)五組數(shù)據(jù)為1,2,3,4,5則所有取值情況有：（12），（13），（14），（15），（23），（24），（25），（34），（35），（45），即基本事件總數(shù)為10設(shè)“這兩組恰好是不相鄰兩天數(shù)據(jù)”為事件A，則事件A包含的基本事件為（13），（14），（15），（24），（25），（35）所以P（A），故事件A的概率為【點睛】本題考查求線性回歸方程，考查古典概型概率的計算，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，屬于中檔題21.已知集合P，函數(shù)的定義域為Q.（）若PQ ，求實數(shù)的范圍；（）若方程在內(nèi)有解，求實數(shù)的范圍.【答案】 (1) （2）【解析】【分析】（）由題得不等式在上有解，即有解，求出即得解. （）由題得在有解，即求的值域得解.【詳解】（）P，PQ，不等式在上有解，由得，而， （） 在有解，即求的值域，設(shè)【點睛】（1）本題主要考