多元函數(shù)的極限與連續(xù)

第8章多元函數(shù)微分法,及其應(yīng)用,2,第8章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用,上冊已經(jīng)討論了一元函數(shù)微積分.,但在自然科,學(xué)、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)生活的眾多領(lǐng)域中,往往涉及,到多個(gè)因素之間關(guān)系的問題.,這在數(shù)學(xué)上就表現(xiàn)為,一個(gè)變量依賴于多個(gè)變量的情形,因而導(dǎo)出了多元,函數(shù)的概念及其研究與應(yīng)用.,本章在一元函數(shù)微分學(xué)的基礎(chǔ)上,數(shù)的微分方法及其應(yīng)用.,討論多元函,以二元函數(shù)為主,但所得到,的概念、性質(zhì)與結(jié)論都可以很自然地推廣到二元以,上的多元函數(shù).,同時(shí),還須特別注意一些與一元函數(shù),微分學(xué)顯著不同的性質(zhì)和特點(diǎn).,3,8.1多元函數(shù)的極限與連續(xù),平面點(diǎn)集,多元函數(shù)的概念,多元函數(shù)的極限,多元函數(shù)的連續(xù)性,小結(jié)思考題作業(yè),functionofmanyvariables,4,一、平面點(diǎn)集,實(shí)數(shù)組(x,y)的全體,即,建立了坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)面.,xOy坐標(biāo)面,坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點(diǎn)的集合,稱為,平面點(diǎn)集,記作,二元有序,5,鄰域(Neighborhood),設(shè)P0(x0,y0)是xOy平面上的一個(gè)點(diǎn),.P0,令,有時(shí)簡記為,(“開”意味著,將鄰域去掉中心,稱之為,去心鄰域.,它是以P0為中心、,為半徑的開圓,也稱為,不包括邊界),也可將以P0為中心的某個(gè)矩形內(nèi)(不算周界),的全體點(diǎn)稱之為點(diǎn)P0鄰域.,6,(1)內(nèi)點(diǎn),顯然,E的內(nèi)點(diǎn)屬于E.,(2)外點(diǎn),如果存在點(diǎn)P的某個(gè)鄰域,則稱P為E的,外點(diǎn).,(3)邊界點(diǎn),如點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn),也有不屬于E的點(diǎn),稱P為E的邊界點(diǎn).,任意一點(diǎn),與任意一點(diǎn)集,之間,必有以下四種關(guān)系中的一種:,設(shè)E為一平面點(diǎn)集,若存在,稱P為E的,內(nèi)點(diǎn).,E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的,邊界,記作,使U(P)E=,下面利用鄰域來描述點(diǎn)和點(diǎn)集之間的關(guān)系.,7,(4)聚點(diǎn),如果對于任意給定的,P的去心鄰域,內(nèi)總有E中的點(diǎn),則稱P是E的,聚點(diǎn).,(P本身可屬于E,也可不屬,于E),聚點(diǎn)從直觀上講:,這點(diǎn)附近有無窮多個(gè)E的點(diǎn).,例如,若,則P為E的邊界點(diǎn),E的邊界,則P為E的內(nèi)點(diǎn);,也是E的聚點(diǎn);,若,或,也是E的聚點(diǎn);,或,設(shè)點(diǎn)集,8,開集,若點(diǎn)集E的任意一點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn),例,稱E為,E1為開集.,下面再定義一些重要,閉集,若點(diǎn)集E的邊界,稱E為閉集.,例,E2為閉集.,例,E3既非開集,也非閉集.,根據(jù)點(diǎn)集所屬點(diǎn)的特征,的平面點(diǎn)集的概念.,開集.,9,區(qū)域(或開區(qū)域),連通的開集稱為,連通集.,如果點(diǎn)集E內(nèi)任何兩點(diǎn),都可用折線連,且該折線上的點(diǎn)都屬于E,稱E是,區(qū)域或開區(qū)域.,連通集,結(jié)起來,閉區(qū)域,開區(qū)域連同其邊界一起所構(gòu)成的點(diǎn)集,稱為閉區(qū)域.,都是閉區(qū)域.,如,10,是區(qū)域嗎?,不是區(qū)域.,因?yàn)椴贿B通.,連結(jié)兩點(diǎn)的任何折線都與,相交點(diǎn)不屬于E.,y軸相交,練習(xí),連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.,是區(qū)域.,11,有界集,否則稱為,總可以被包圍在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、,大的圓內(nèi)的區(qū)域,稱此區(qū)域?yàn)?半徑適當(dāng),(可伸展到無限遠(yuǎn)處的區(qū)域).,有界集.,集,例,無界,是有界閉區(qū)域;,是無界開區(qū)域;,是無界閉區(qū)域.,12,有界開區(qū)域,有界半開半閉區(qū)域,有界閉區(qū)域,無界閉區(qū)域,13,二、多元函數(shù)的概念,1.二元函數(shù)的定義,例,有如下的關(guān)系,為正的常數(shù)).,在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱此函數(shù)關(guān)系為Cobb-Douglas,在生產(chǎn)中,產(chǎn)量Y與投入資金K和勞動力L,之間,生產(chǎn)函數(shù).,當(dāng)投入資金K和勞動力L的值分別給定時(shí),產(chǎn)量Y就有一個(gè)確定的值與它們對應(yīng).,上述關(guān)系式,按照,14,例,它們之間具有如下的關(guān)系,設(shè)R是電阻R1,R2并聯(lián)后的總電阻.,由電學(xué),當(dāng)電阻R1,R2取定后,知識知道,R的值就唯一確定了.,15,點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的,定義8.1,稱映射,為定義在D上的二元(點(diǎn))函數(shù),設(shè)D是R2的一個(gè)非空子集,記為,稱x,y為,數(shù)集,稱z為,自變量,因變量.,定義域,的值域,稱為該函數(shù),記為,或,16,二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為,多元函數(shù)定義域:,定義域?yàn)榉蠈?shí)際意義,的自變量取值的全體.,記為f(x0,y0),函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處的函數(shù)值,或f(P0).,類似,可定義n元函數(shù).,多元函數(shù).,實(shí)際問題中的函數(shù):,的自變量取值的全體.,純數(shù)學(xué)問題的函數(shù):,定義域?yàn)槭惯\(yùn)算有意義,多元函數(shù)的自然定義域.,17,例1求下面函數(shù)的定義域,解,無界閉區(qū)域,即定義域?yàn)?18,解,定義域是,有界半開半閉區(qū)域,練習(xí),19,2.二元函數(shù)的幾何意義,研究單值函數(shù),二元函數(shù)的圖形通常是一張,曲面.,20,如,由空間解析幾何知,函數(shù),的圖形是以原點(diǎn)為中心,R為半徑的上,它在xOy平面上的投影是圓域:,D就是函數(shù),的定義域.,半球面.,21,的圖形是雙曲拋物面(馬鞍面).,又如,它在xOy平面上的投影是全平面.,22,從一元函數(shù)到二元函數(shù),在內(nèi)容和方法,上都會出現(xiàn)一些實(shí)質(zhì)性的差別,而多元函數(shù),之間差異不大.,因此研究多元函數(shù)時(shí),將以二,元函數(shù)為主.,23,三、多元函數(shù)的極限,討論二元函數(shù)z=f(x,y),怎樣描述呢?,(1)P(x,y)趨向于P0(x0,y0)的,回憶:一元函數(shù)的極限,路徑又是多種多樣的.,方向有任意,多個(gè),24,(2)變點(diǎn)P(x,y),這樣,可以在一元函數(shù)的基礎(chǔ)上得出二元函數(shù)極限的一般定義.,總可以用,來表示極限過程:,與定點(diǎn)P0(x0,y0)之間的距離,不論P(yáng)(x,y)趨向于P0(x0,y0),的過程多復(fù)雜,記為,25,記作,定義8.2,有,成立.,的極限.,設(shè)二元函數(shù)f(P)=f(x,y)的,P0(x0,y0)是D的聚點(diǎn).,定義域?yàn)镈,如果存在常數(shù)A,也記作,26,說明,(1)定義中,(2)二元函數(shù)的極限也叫,(doublelimit),的方式是任意的;,二重極限.,關(guān)于二元函數(shù)的極限概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)上去.,27,相同點(diǎn),多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限的,一元函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在的,?,定義相同.,差異,數(shù)必需是點(diǎn)P在定義域內(nèi)以任何方式和途徑,而多元函,趨于P0時(shí),相同點(diǎn)和差異是什么,充要條件是左右極限都存在且相等;,f(P)都有極限,且相等.,28,多元函數(shù)的極限的基本問題有三類:,(1)研究二元函數(shù)極限的存在性.,常研究,若其依賴于k,則,欲證明極限存在,*,特別對于,*,不存在.,常用定義或夾逼定理.,欲證明極限不存在,(通過觀察、猜測).,常選擇兩條不同路徑,求出不同的極限值.,找一條特殊路徑,使函數(shù)沿此路徑的極限不存在.,29,多元函數(shù)的極限的基本問題有三類:,(2)求極限值.,常按一元函數(shù)極限的求法求之.,(3)研究二重極限與累次極限(二次極限)間的,(洛必達(dá)法則除外),關(guān)系.,如極限的保號性、,無窮小與有界量的乘積仍,極限的四則運(yùn)算、,夾逼定理、,等價(jià)無窮小替換乘除因子定理.,兩個(gè)重要,是無窮小、,極限、,30,則當(dāng),例2,證,取,有,證畢.,用定義.,用P與O分別表示點(diǎn)(x,y)與(0,0),因?yàn)?31,則當(dāng),例3,證,取,有,證畢.,用P與O分別表示點(diǎn)(x,y)與(0,0),因?yàn)?用定義.,32,例4求極限,解,其中,用夾逼定理.,所以,33,解,故,原式=,練習(xí),34,設(shè)函數(shù),證明:,當(dāng)P(x,y)沿x軸的方向,當(dāng)P(x,y)沿y軸的方向,也有,證,函數(shù)的極限不存在.,無限接近點(diǎn)(0,0)時(shí),同樣,無限接近點(diǎn)(0,0)時(shí),例4,35,函數(shù)的極限存在且相等.,當(dāng)P(x,y)沿直線y=kx的方向,其值隨k的不同而變化.,所以,極限不存在.,說明函數(shù)取上面兩個(gè),無限接近于,點(diǎn)(0,0)時(shí),另一方面,無限接近點(diǎn)(0,0)時(shí),設(shè)函數(shù),證明:,函數(shù)的極限不存在.,特殊方向,36,練習(xí),取,解,當(dāng)P(x,y)沿x軸的方向無限接近點(diǎn)(0,0)時(shí),當(dāng)P(x,y)沿y軸的方向無限接近點(diǎn)(0,0)時(shí),錯(cuò)!,所以,37,極限不存在.,取,此時(shí)可斷言f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0),找兩種不同趨近方式,但兩者不相等,處極限不存在.,當(dāng)P(x,y)沿y軸的方向無限接近點(diǎn)(0,0)時(shí),思考:,還有別的方法?,38,求極限,解,將分母有理化,得,練習(xí),39,求,答:0,答:不存在.,答:不存在.,二次極限都不存在時(shí),練習(xí),存在.,二次極限與二重極限有本質(zhì)的區(qū)別,但二重極限也可能,二次極限,與二重極限是兩個(gè)不同的概念.,40,四、多元函數(shù)的連續(xù)性,設(shè)二元函數(shù)f(P)=f(x,y)的定義域?yàn)镈,則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)連續(xù).,定義8.3,如果,如果函數(shù)f(x,y)在D的每一點(diǎn)處都連續(xù),連續(xù)函數(shù).,P0(x0,y0)是D的聚點(diǎn),例如,函數(shù),在(x,y)平面上,處處連續(xù).,則稱,函數(shù)f(x,y)在D上連續(xù),或者稱函數(shù)f(x,y)是D上的,41,例5,證,令,證明:f(x,y)在點(diǎn)(0,0)連續(xù).,顯然有,于是,所以f(x,y)在點(diǎn)(0,0)連續(xù).,42,設(shè)函數(shù)f(x,y)的定義域?yàn)镈,則稱點(diǎn)P0(x0,y0)為函數(shù)f(x,y)的間斷點(diǎn).,定義8.4,是D的聚點(diǎn),P0(x0,y0),如果函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)不連續(xù),的間斷線.,(0,0)是函數(shù),的(0,0)點(diǎn)是該函數(shù)的間斷點(diǎn).,函數(shù),函數(shù)的極限不存在,前面已證),例如,的間斷點(diǎn);,是函數(shù),例如,43,在空間直角坐標(biāo)系下,平面區(qū)域E上的二元連,續(xù)函數(shù)z=f(x,y)的圖形是在E上的一張“無孔無縫”,的連續(xù)曲面.,(分母不為零)及復(fù)合仍是連續(xù)的.,同一元函數(shù)一樣,多元函數(shù)的和、差、積、商,每個(gè)自變量的基本,式子表達(dá)的函數(shù)稱為,初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合,由一個(gè),指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域.,一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是,結(jié)論,連續(xù)的.,多元初等函數(shù).,44,例6求極限,解,是初等函數(shù),而(1,0)在其定義域內(nèi),故f(x,y)在(1,0)點(diǎn)處連續(xù),所以,由多元初等函數(shù)的連續(xù)性,代入法,如果要求它在點(diǎn)P0,處的極限,而該點(diǎn)又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi),則極限,值就是函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值,即,45,想一想,如何證明f(x,y)在,?,證,xOy面上處處連續(xù)?,是初等函數(shù),f(x,y)處處連續(xù).,下面證明,也連續(xù).,46,又,于是,即證明了f(x,y)在,由于,xOy面上處處連續(xù).,證明f(x,y)在,xOy面上處處連續(xù)?,從而f(x,y),也連續(xù),夾逼準(zhǔn)則,47,有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)的性質(zhì):,最大值和最小值.,性質(zhì)8.1(有界性與最大值最小值存在性),性質(zhì)8.2(介值存在性),在有