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第五節(jié),常系數線性微分方程,一、常系數齊次線性方程通解求法,n階常系數非齊次線性微分方程的標準形式,二階常系數齊次線性方程的標準形式,二階常系數非齊次線性方程的標準形式,n階常系數齊次線性微分方程的標準形式,-特征方程,將其代入上方程,得,故有,特征根,1.二階常系數齊次線性微分方程的通解求法,有兩個不相等的實根,兩個線性無關的特解,得齊次方程的通解為,特征根為,有兩個相等的實根,得齊次方程的通解為,有一對共軛復根,得齊次方程的通解為,有兩個相等的實根,一特解為,得齊次方程的通解為,特征根為,解,特征方程為,解得,故所求通解為,例1,例2,解,特征方程為,解得,故所求通解為,2.n階常系數齊次線性方程解法,特征方程為,注意,n次代數方程有n個根,而特征方程的每一個根都對應著通解中的一項,且每一項各一個任意常數.,特征根為,故所求通解為,解,特征方程為:,例3解方程:,例4解方程:,解,特征方程為:,特征根為,故所求通解為,練習求方程的通解：,答案：,二階常系數非齊次線性方程,對應齊次方程,則(1)通解結構,難點：如何求特解？,方法：待定系數法.,二.二階常系數非齊次線性方程解的求法,則有特解:,上述結論可推廣到n階常系數非齊次線性微分方程（k是重根次數）.,注意,的特解:,例寫出下列方程的特解形式:,解1.,特征方程為:,解2.,特征方程為:,解,對應齊次方程通解,特征方程,特征根,代入方程,得,原方程通解為,例4,例5,解,特征根,對應齊次方程通解,不,代入方程,得,原方程通解為:,例6,解,原方程通解為:,則特解為:,解,例5,寫出下列方程的特解形式:,特征根,的特解,的特解,解,對應齊方通解,代入原方程:,例6,是特征方程的單根,比較系數得:,通解為:,四、小結,1.二階常系數齊次微分方程求通解的一般步驟:,（1）寫出相應的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據特征根的不同情況,得到相應的通解.,(見下表),2.非齊次方程求特解:,解,特征方程,對應的齊次方程的通解為,設原方程的特解為,例9解方程,原方程的一個特解為,故原方程的通解為,代入初始條件.有,04考題,補充題,例5,解,特征方程,特征根,對應的齊次方程的通解為,設原方程的特解為,原方程的一個特解為,故原方程的通解為,例6,解,代入方程，得,故方程的通解為,解法：歐拉方程是特殊的變系數方程，通過變量代換可化為常系數微分方程.,二、歐拉方程,特點：各項未知函數導數的階數與乘積因子自變量的方次數相同,作變量變換,將自變量換為,用D表示對自變量t的求導運算,則,一般地，,例8,求,的通解,解,作變量變換,四、小結,1.二階常系數齊次微分方程求通解的一般步驟:,（1）寫出相應的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據特征根的不同情況,得到相應的通解.,(見下表),原方程化為,即,或,(1),其特征方程,設特解:,通解:,2.非齊次方程求特解:,解,例10,則由

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