2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明綜合檢測學(xué)案 選修2-2

第二章 推理與證明綜合檢測時間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1銳角三角形的面積等于底乘高的一半；直角三角形的面積等于底乘高的一半；鈍角三角形的面積等于底乘高的一半；所以，凡是三角形的面積都等于底乘高的一半以上推理運用的推理規(guī)則是()A三段論推理B假言推理C關(guān)系推理D完全歸納推理答案D解析所有三角形按角分，只有銳角三角形、Rt三角形和鈍角三角形三種情形，上述推理窮盡了所有的可能情形，故為完全歸納推理2數(shù)列1,3,6,10,15，的遞推公式可能是()A.B.C.D.答案B解析記數(shù)列為an，由已知觀察規(guī)律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，可知當n2時，an比an1多n，可得遞推關(guān)系(n2，nN*)3有一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分數(shù)”，結(jié)論顯然是錯誤的，因為()A大前提錯誤B小前提錯誤C推理形式錯誤D不是以上錯誤答案C解析大小前提都正確，其推理形式錯誤故應(yīng)選C.4用數(shù)學(xué)歸納法證明等式123(n3)(nN*)時，驗證n1，左邊應(yīng)取的項是()A1B12C123D1234答案D解析當n1時，左12(13)124，故應(yīng)選D.5在R上定義運算：xyx(1y)若不等式(xa)(xa)1對任意實數(shù)x都成立，則()A1a1B0a2CaDa答案C解析類比題目所給運算的形式，得到不等式(xa)(xa)1的簡化形式，再求其恒成立時a的取值范圍(xa)(xa)1(xa)(1xa)0不等式恒成立的充要條件是14(a2a1)0即4a24a30解得a0，0，所以0，所以a時，f(2k1)f(2k)_.答案解析f(2k1)1f(2k)1f(2k1)f(2k).15觀察sin210cos240sin10cos40；sin26cos236sin6cos36.兩式的結(jié)構(gòu)特點可提出一個猜想的等式為_答案sin2cos2(30)sincos(30)解析觀察401030，36630，由此猜想：sin2cos2(30)sincos(30).可以證明此結(jié)論是正確的，證明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin(302)sin301cos(602)cos2sin(302)12sin(302)sin30sin(302)sin(302)sin(302).16設(shè)P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意a、bP，都有ab、ab、ab、P(除數(shù)b0)，則稱P是一個數(shù)域例如有理數(shù)集Q是數(shù)域；數(shù)集Fab|a，bQ也是數(shù)域有下列命題：整數(shù)集是數(shù)域；若有理數(shù)集QM，則數(shù)集M必為數(shù)域；數(shù)域必為無限集；存在無窮多個數(shù)域其中正確命題的序號是_(把你認為正確命題的序號都填上)答案解析考查閱讀理解、分析等學(xué)習(xí)能力整數(shù)a2，b4，不是整數(shù)；如將有理數(shù)集Q，添上元素，得到數(shù)集M，則取a3，b，abM；由數(shù)域P的定義知，若aP，bP(P中至少含有兩個元素)，則有abP，從而a2b，a3b，anbP，P中必含有無窮多個元素，對設(shè)x是一個非完全平方正整數(shù)(x1)，a，bQ，則由數(shù)域定義知，F(xiàn)ab|a、bQ必是數(shù)域，這樣的數(shù)域F有無窮多個三、解答題(本大題共6個小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本題滿分12分)已知：a、b、cR，且abc1.求證：a2b2c2.證明由a2b22ab，及b2c22bc，c2a22ca.三式相加得a2b2c2abbcca.3(a2b2c2)(a2b2c2)2(abbcca)(abc)2.由abc1，得3(a2b2c2)1，即a2b2c2.18(本題滿分12分)證明下列等式，并從中歸納出一個一般性的結(jié)論2cos，2cos，2cos，證明2cos22cos222cos2219(本題滿分12分)已知數(shù)列an滿足a13，anan12an11.(1)求a2、a3、a4；(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出數(shù)列an的一個通項公式解析(1)由anan12an11得an2，代入a13，n依次取值2,3,4，得a22，a32，a42.(2)證明：由anan12an11變形，得(an1)(an11)(an1)(an11)，即1，所以是等差數(shù)列由，所以n1，變形得an1，所以an為數(shù)列an的一個通項公式20(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)ax(a1)(1)證明：函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)；(2)用反證法證明方程f(x)0沒有負根解析(1)證法1：任取x1，x2(1，)，不妨設(shè)x10，且ax10，又x110，x210，f(x2)f(x1)0，于是f(x2)f(x1)ax2ax10，故函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)證法2：f(x)axlnaaxlnaa1，lna0，axlna0，f(x)0在(1，)上恒成立，即f(x)在(1，)上為增函數(shù)(2)解法1：設(shè)存在x00(x01)滿足f(x0)0則ax0，且0ax01.01，即x02，與假設(shè)x00矛盾故方程f(x)0沒有負數(shù)根解法2：設(shè)x00(x01)若1x00，則2，ax01，f(x0)1.若x00，ax00，f(x0)0.綜上，x0(x1)時，f(x)0，即方程f(x)0無負根21(本題滿分12分)我們知道，在ABC中，若c2a2b2，則ABC是直角三角形現(xiàn)在請你研究：若cnanbn(n2)，問ABC為何種三角形？為什么？解析銳角三角形cnanbn (n2)，ca, cb，由c是ABC的最大邊，所以要證ABC是銳角三角形，只需證角C為銳角，即證cosC0.cosC，要證cosC0，只要證a2b2c2，注意到條件：anbncn，于是將等價變形為：(a2b2)cn2cn.ca，cb，n2，cn2an2，cn2bn2，即cn2an20，cn2bn20，從而(a2b2)cn2cn(a2b2)cn2anbna2(cn2an2)b2(cn2bn2)0，這說明式成立，從而式也成立故cosC0，C是銳角，ABC為銳角三角形22(本題滿分14分)(2020安徽理，20)設(shè)數(shù)列a1，a2，an，中的每一項都不為0.證明an為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何nN，都有.分析本題考查等差數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法與充要條件等有關(guān)知識，考查推理論證、運算求解能力解題思路是利用裂項求和法證必要性，再用數(shù)學(xué)歸納法或綜合法證明充分性證明先證必要性設(shè)數(shù)列an的公差為d.若d0，則所述等式顯然成立若d0，則.再證充分性證法1：(數(shù)學(xué)歸納法)設(shè)所述的等式對一切nN都成立首先，在等式兩端同乘a1a2a3，即得a1a32a2，所以a1，a2，a3成等差數(shù)列，記公差為d，則a2a1d.假設(shè)aka1(k1)d，當nk1時，觀察如下兩個等式，將代入，得，在該式兩端同乘a1akak1，得(k1)ak1a1kak.將aka1(k1)d代入其中，整理后，得ak1a1kd.由數(shù)學(xué)歸納法原理知，對一切nN，都有ana1(