D113對(duì)面積曲面積分.pptVIP

,第三節(jié),一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì),二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,第一型曲面積分,第十一章,一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì),引例:設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度,類似求平面薄板質(zhì)量的思想,可得,求質(zhì),“大化小,常代變,近似和,求極限”,的方法,量M.,其中,表示n小塊曲面的直徑的,最大值(曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者).,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,采用,定義:,設(shè)為光滑曲面,“乘積和式極限”,都存在,的曲面積分,其中f(x,y,z)叫做被積,據(jù)此定義,曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為,曲面面積是封閉的，則記為,f(x,y,z)是定義在上的一,個(gè)有界函數(shù),或第一型曲面積分.,若對(duì)做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn),則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲面上對(duì)面積,函數(shù),叫做積分曲面.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,則對(duì)面積的曲面積分存在.,對(duì)積分域的可加性.,則有,線性性質(zhì).,在光滑曲面上連續(xù),對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分性質(zhì)類似.,積分的存在性.,若是分片光滑的,例如分成兩,片光滑曲面,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,定理:設(shè)有光滑曲面,f(x,y,z)在上連續(xù),存在,且有,二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法,則曲面積分,證明:由定義知,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,而,(光滑),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,說明:,可有類似的公式.如：,1)如果曲面方程為,2)若曲面為參數(shù)方程,只要求出在參數(shù)意義下dS,的表達(dá)式,也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的,二重積分.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例1.計(jì)算曲面積分,其中是球面,被平面,截出的頂部.,解:,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,思考:,若是球面,被平行平面z=h截,出的上下兩部分,則,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例2.計(jì)算,其中是由平面,坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面.,解:設(shè),上的部分,則,與,原式=,分別表示在平面,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例3.,設(shè),計(jì)算,解:錐面,與上半球面,交線為,為上半球面介于錐面間的部分,它在xoy面上的,投影域?yàn)?則,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,思考:若例3中被積函數(shù)改為,計(jì)算結(jié)果如何?,例4.求半徑為R的均勻半球殼的重心.,解:設(shè)的方程為,利用對(duì)稱性可知重心的坐標(biāo),而,球面參數(shù)方程:,思考題:例3是否可用球面參數(shù)方程來計(jì)算?,例3目錄上頁下頁返回結(jié)束,例5.計(jì)算,解:取球面參數(shù)方程,其中,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例6.計(jì)算,其中是球面,利用對(duì)稱性可知,解:顯然球心為,半徑為,利用重心公式,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例7.計(jì)算,其中是介于平面,之間的圓柱面,分析:若將曲面分為前后(或左右),則,解:取曲面面積元素,兩片,則計(jì)算稍繁.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例8.求橢圓柱面,位于xoy面上方及平面,z=y下方那部分柱面的側(cè)面積S.,解:,取,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例9.,設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星,距地面高度,h=36000km,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同,試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比.,(地球半徑R=6400km),解:,建立坐標(biāo)系如圖,覆蓋曲面的,半頂角為,利用球面參數(shù)方程,則,衛(wèi)星覆蓋面積為,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為,由以上結(jié)果可知,衛(wèi)星覆蓋了地球,以上的面積,故使用三顆相隔,角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球,全表面.,說明:此題也可用二重積分求A.,內(nèi)容小結(jié),1.定義:,2.計(jì)算:設(shè),則,(曲面的其他兩種情況類似),注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱性、重心公式,簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,1.計(jì)算,在xoy面上的投影域?yàn)?這是的面積!,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,思考與練習(xí),解,2.,求拋物面殼,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,3.設(shè),一卦限中的部分,則有().,(2000考研),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,補(bǔ)充題1.已知曲面殼,求此曲面殼在平面z1以上部分的,的面密度,