13年高考真題——理科數(shù)學(新課標I卷)

2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試新課標I卷數(shù)學（理科）一選擇題：共12小題，每小題5分，共60分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的一項。1已知，則( )（A） （B） （C） （D）2若復數(shù)滿足，則的虛部為( )（A） （B） （C）4 （D） 3為了解某地區(qū)的中小學生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學生中抽取部分學生進行調查，事先已了解到該地區(qū)小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（ ） （A）簡單隨機抽樣（B）按性別分層抽樣 （C）按學段分層抽樣 （D）系統(tǒng)抽樣4已知雙曲線:的離心率為，則的漸近線方程為( ) （A） （B） （C） （D）5運行如右的程序框圖，如果輸入的，則輸出屬于( ) （A） （B） （C） （D）6如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6，如果不計容器的厚度，則球的體積為( ) （A） （B） （C） （D） 7設等差數(shù)列的前項和為，則( ) （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 8某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為( ) （A） （B） （C） （D）9設為正整數(shù)，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，若，則( ) （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 10已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點。若的中點坐標為，則的方程為（ ）（A） （B） （C） （D）11已知函數(shù)，若，則的取值范圍是( ) （A） （B） （C） （D）12設的三邊長分別為，的面積為，。若，,，則( )（A）為遞減數(shù)列 （B）為遞增數(shù)列 （C）為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列 （D）為遞減數(shù)列，為遞增數(shù)列二填空題：本大題共四小題，每小題5分。13已知兩個單位向量的夾角為，若，則_。14數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項公式是=_。15當時，函數(shù)取得最大值，則_。16若函數(shù)的圖像關于直線對稱，則的最大值是_。三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17（本小題滿分12分）如圖，在中，為內一點，。若，求；若，求。 18（本小題滿分12分）如圖，三棱柱中，。證明：；若平面平面，求直線與平面所成角的正弦。19（本小題滿分12分）一批產(chǎn)品需要進行質量檢驗，檢驗方案是:先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質品的件數(shù)記為。如果，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，若都為優(yōu)質品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；如果，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗，若為優(yōu)質品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗。假設這批產(chǎn)品的優(yōu)質品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質品相互獨立。求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率；已知每件產(chǎn)品檢驗費用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗，對這批產(chǎn)品作質量檢驗所需的費用記為（單位：元），求的分布列及數(shù)學期望。20（本小題滿分12分）已知圓：，圓：，動圓與外切并且與圓內切，圓心的軌跡為曲線。求的方程；是與圓、圓都相切的一條直線，與曲線交于兩點，當圓的半徑最長時，求。 21（本小題滿分共12分）已知函數(shù)，若曲線和曲線都過點，且在點處有相同的切線。求的值；若時，求的取值范圍。請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的 方框涂黑。22（本小題滿分10分）如圖，直線為圓的切線，切點為，點在圓上，的角平分線交圓于點，垂直交圓于。證明：；設圓的半徑為1，延長交于點，求外接圓的半徑。23（本小題10分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為。把的參數(shù)方程化為極坐標方程；求與交點的極坐標（，)。24（本小題滿分10分）已知函數(shù)，。當時，求不等式的解集；設，且當時，求的取值范圍。2013年普通高校招生全國統(tǒng)考數(shù)學試卷新課標I卷解答一BDCCA ACABD DB二132；14；15；1616 17解：由題，故，因此； 設，則。在中，有，化簡可得，故，即。 18解：取中點，連。因，故是正三角形，從而。因，故。因，故平面，所以； 由知，又平面平面，平面平面，故平面，從而，故兩兩垂直。以為坐標原點，的方向為軸正方向，|為單位長度，建立如圖所示空間直角坐標系，有題知，,則,。設是平面的法向量，則，即，取，則，故直線與平面所成角的正弦值為。19解：設第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質品為事件，第一次取出的4件產(chǎn)品中全為優(yōu)質品為事件，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質品為事件，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質品為事件，這批產(chǎn)品通過檢驗為事件，根據(jù)題意有，且與互斥，故； 的可能取值為，并且，400500800，故的分布列如右表所示，且。 20解：由題知，設動圓的圓心為，半徑為，則。故曲線是以為左右焦點，長軸長為4，短軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程為； 對于曲線上任意一點，由于，故,當且僅當時取等。所以當圓的半徑最長時，其方程為。當?shù)膬A斜角為時，則與軸重合，可得；當?shù)膬A斜角不為時，由題知不平行于軸，設與軸的交點為，則，可求得，故可設：，由于圓相切得，解得。當時，將代入的方程并整理得，解得=，因此；當時，由圖形的對稱性可知。綜上，或。 21解：由已知得，而，=，故，；由知，設，則。由題得，即。令得，。若，則。故當時，當時，即在單減，在單增，故在=取最小值，而，故當時，即恒成立；若，則，故當時，因此在單增。而，所以當時，即恒成立；若，則，故當時，不可能恒成立。綜上所述，的取值范圍為。 22解：連，交于點，則，又，故，知。又，故是直徑，由勾股定理可得； 由知，故是的中垂線，因此。設中點為，連，則，故， 所以的外接圓半徑等于。 23解：將