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話說高考解幾求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的消參法的“消”中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師梁關(guān)化 2015,4,5 高考的解幾大題,常常是求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程。較難的題往往要用消參法求解。消參法的主要步驟是:設(shè);列;消。設(shè),就是把引起動(dòng)點(diǎn)變動(dòng)的相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或相關(guān)線的方程的參數(shù)設(shè)為參數(shù)。列,就是根據(jù)明的(題目已知條件)和暗的(已知條件隱含的條件)條件,把動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)和參數(shù)滿足的方程列出(一般n個(gè)參數(shù)需要(n+1)個(gè)方程式方能消去)。消,就是從列出的(n+1)個(gè)方程式中消去n個(gè)參數(shù),保留只含有動(dòng)點(diǎn)兩個(gè)坐標(biāo)x,y的等式。 如何消去參數(shù)?這就要具體問題具體分析。常用方法的有:代入法,加減法,平方后加減法,變形后乘除法等。下面就2015年廣州市和深圳市一模的兩題解法話說消參法中的奇妙的“消”例1(2015年廣州一模,略去(3)小題) 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),兩焦點(diǎn)分別為雙曲線的頂點(diǎn),直線與橢圓交于,兩點(diǎn),且點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)是橢圓上異于點(diǎn),的任意一點(diǎn),點(diǎn)滿足,且,三點(diǎn)不共線. (1) 求橢圓的方程;(2) 求點(diǎn)的軌跡方程;略解:(1)用待定法得 橢圓的方程為 . (2)(用消參法)設(shè)點(diǎn),點(diǎn)當(dāng)時(shí),有, 當(dāng),則點(diǎn)或,此時(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為或 ,其坐標(biāo)也滿足方程. 當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),即點(diǎn),由得 ,解方程組 得點(diǎn)的坐標(biāo)為或.同理, 當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),可得點(diǎn)的坐標(biāo)為或.點(diǎn)的軌跡方程為 , 除去四個(gè)點(diǎn), ,. (這里用的就是變形后乘除法。如果不把(1)(2)式變形后相乘就很難利用(3)消去參數(shù))例2(2015年深圳一模)已知橢圓的離心率為,過左焦點(diǎn)傾斜角為的直線被橢圓截得的弦長為(1)求橢圓的方程;(2)若動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),過點(diǎn)作的垂線垂足為,求點(diǎn)的軌跡方程略解:(1)因?yàn)闄E圓的離心率為,所以,解得, 故橢圓的方程可設(shè)為,則橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為, 過右焦點(diǎn)傾斜角為的直線方程為 設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)記為,由消去,得,解得, 因?yàn)?,解?故橢圓的方程為 (2)(用消參法)(i)當(dāng)切線的斜率存在且不為時(shí),設(shè)的方程為,(k,m為參數(shù))聯(lián)立直線和橢圓的方程,得, 消去并整理,得, 因?yàn)橹本€和橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn), 化簡并整理,得 (1)因?yàn)橹本€與垂直,所以直線的方程為:,聯(lián)立 解得 把(2),(3)兩式兩邊分別平方相加得,把(1)式代入上式得 (4) (ii)當(dāng)切線的斜率為時(shí),此時(shí),符合(4)式 (iii)當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),此時(shí) 或,符合(4)式 綜上所述,點(diǎn)的軌跡方程為 (這里用到平方后加減法。如果不把(2)(3)式平方后相加就很難利用(1)
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